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Theorem minvecolem6 26509
Description: Lemma for minveco 26511. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  = inf ( R ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem6
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 26440 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
43adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
5 minveco.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
65adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
7 inss1 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
8 minveco.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
97, 8sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
10 minveco.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 minveco.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1310, 11, 12sspba 26351 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
143, 9, 13syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1514sselda 3464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
16 minveco.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( -v `  U
)
17 minveco.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
18 minveco.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  U )
1910, 16, 17, 18imsdval 26303 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A M x ) ) )
204, 6, 15, 19syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A M x ) ) )
2120oveq1d 6316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M x ) ) ^
2 ) )
22 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  = inf ( R ,  RR ,  <  )
23 minveco.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
24 minveco.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2510, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24minvecolem1 26501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2625adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2726simp1d 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
2826simp2d 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
29 0red 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3026simp3d 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
31 breq1 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3231ralbidv 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3332rspcev 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3429, 30, 33syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
35 infrecl 10590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  -> inf ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3627, 28, 34, 35syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  -> inf ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3722, 36syl5eqel 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
3837resqcld 12441 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
3938recnd 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4039addid1d 9833 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4121, 40breq12d 4433 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A M x ) ) ^ 2 )  <_ 
( S ^ 2 ) ) )
4210, 16nvmcl 26253 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A M x )  e.  X )
434, 6, 15, 42syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A M x )  e.  X )
4410, 17nvcl 26273 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M x ) )  e.  RR )
454, 43, 44syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M x ) )  e.  RR )
4610, 17nvge0 26288 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M x ) ) )
474, 43, 46syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M x ) ) )
48 infregelb 10594 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4927, 28, 34, 29, 48syl31anc 1267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5030, 49mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_ inf ( R ,  RR ,  <  ) )
5150, 22syl6breqr 4461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5245, 37, 47, 51le2sqd 12450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A M x ) ) ^ 2 )  <_ 
( S ^ 2 ) ) )
5322breq2i 4428 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A M x ) )  <_ inf ( R ,  RR ,  <  ) )
54 infregelb 10594 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A M x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5527, 28, 34, 45, 54syl31anc 1267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5653, 55syl5bb 260 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5741, 52, 563bitr2d 284 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w
) )
5824raleqi 3029 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( N `
 ( A M x ) )  <_  w )
59 fvex 5887 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
6059rgenw 2786 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
61 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
62 breq2 4424 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6361, 62ralrnmpt 6042 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6460, 63ax-mp 5 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6558, 64bitri 252 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A M x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6657, 65syl6bb 264 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ran crn 4850   ` cfv 5597  (class class class)co 6301  infcinf 7957   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   2c2 10659   ^cexp 12271   MetOpencmopn 18947   NrmCVeccnv 26188   BaseSetcba 26190   -vcnsb 26193   normCVcnmcv 26194   IndMetcims 26195   SubSpcss 26345   CPreHil OLDccphlo 26438   CBanccbn 26489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-gdiv 25907  df-ablo 25995  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-vs 26203  df-nmcv 26204  df-ims 26205  df-ssp 26346  df-ph 26439  df-cbn 26490
This theorem is referenced by:  minvecolem7  26510
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