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Theorem minvecolem5OLD 26533
Description: Lemma for minvecoOLD 26536. Discharge the assumption about the sequence  F by applying countable choice ax-cc 8865. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) Obsolete version of minvecolem5 26523 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecoOLD.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minvecoOLD.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minvecoOLD.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minvecoOLD.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minvecoOLD.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minvecoOLD.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minvecoOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvecoOLD.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minvecoOLD.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minvecoOLD.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minvecoOLD.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5OLD  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem5OLD
Dummy variables  n  k  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  n
) )
21adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  n
) )
3 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
43adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
5 minvecoOLD.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
6 minvecoOLD.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 minvecoOLD.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  =  ( -v `  U
)
8 minvecoOLD.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 minvecoOLD.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 minvecoOLD.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11 minvecoOLD.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
12 minvecoOLD.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
13 minvecoOLD.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  ( IndMet `  U )
14 minvecoOLD.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 minvecoOLD.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 26516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w
) )
1817simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  C_  RR )
1917simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  =/=  (/) )
20 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
2117simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
22 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
2322ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2423rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2520, 21, 24sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
26 infmrclOLD 10593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
285, 27syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
2928resqcld 12442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
304, 29ltaddposd 10197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  /  n )  <->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
312, 30mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3229, 4readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3328sqge0d 12443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( S ^ 2 ) )
3429, 4, 33, 2addgegt0d 10187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3532, 34elrpd 11338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
3635rpge0d 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
37 resqrtth 13319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
3832, 36, 37syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3931, 38breqtrrd 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) )
4035rpsqrtcld 13473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
4140rpred 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
42 0red 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
43 infmrgelbOLD 10595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
)
4521, 44mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
4645, 5syl6breqr 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  S )
4732, 36sqrtge0d 13482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4828, 41, 46, 47lt2sqd 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  ( S ^
2 )  <  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
4939, 48mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  < 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
5028, 41ltnled 9782 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S
) )
5149, 50mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  S )
525breq2i 4410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
53 infmrgelbOLD 10595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w ) )
5552, 54syl5bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5615raleqi 2991 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w )
57 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
5857rgenw 2749 . . . . . . . . . 10  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
59 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
60 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<->  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6159, 60ralrnmpt 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6356, 62bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6455, 63syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6551, 64mtbid 302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
66 rexnal 2836 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6765, 66sylibr 216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
6832adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
69 phnv 26455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
7170ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
7212ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
73 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
7473, 11sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
75 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
766, 9, 75sspba 26366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
7770, 74, 76syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  C_  X )
7978sselda 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
806, 7nvmcl 26268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
8171, 72, 79, 80syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
826, 8nvcl 26288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8371, 81, 82syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8483resqcld 12442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8568, 84letrid 9787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  \/  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8685ord 379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  -> 
( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8741adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
8847adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
896, 8nvge0 26303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9071, 81, 89syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9187, 83, 88, 90le2sqd 12451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9238adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9392breq1d 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9491, 93bitrd 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9594notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) ) )
966, 7, 8, 13imsdval 26318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9771, 72, 79, 96syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9897oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) )
9998breq1d 4412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10086, 95, 993imtr4d 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
101100reximdva 2862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10267, 101mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
103102ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
104 fvex 5875 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
1059, 104eqeltri 2525 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
106 nnenom 12193 . . . 4  |-  NN  ~~  om
107 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( A D y )  =  ( A D ( f `  n ) ) )
108107oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 ) )
109108breq1d 4412 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
110105, 106, 109axcc4 8869 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
111103, 110syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
11210adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11311adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
11412adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
115 simprl 764 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  f : NN --> Y )
116 simprr 766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
117 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
118117oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A D ( f `  n ) )  =  ( A D ( f `  k ) ) )
119118oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 ) )
120 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
121120oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
122119, 121breq12d 4415 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) ) )
123122rspccva 3149 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A D ( f `  k ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
124116, 123sylan 474 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) )
125 eqid 2451 . . 3  |-  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4OLD 26532 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
127111, 126exlimddv 1781 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   MetOpencmopn 18960   ~~> tclm 20242   NrmCVeccnv 26203   BaseSetcba 26205   -vcnsb 26208   normCVcnmcv 26209   IndMetcims 26210   SubSpcss 26360   CPreHil OLDccphlo 26453   CBanccbn 26504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lm 20245  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-cfil 22225  df-cau 22226  df-cmet 22227  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-vs 26218  df-nmcv 26219  df-ims 26220  df-ssp 26361  df-ph 26454  df-cbn 26505
This theorem is referenced by:  minvecolem7OLD  26535
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