Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem minvecolem5OLD 26533
 Description: Lemma for minvecoOLD 26536. Discharge the assumption about the sequence by applying countable choice ax-cc 8865. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) Obsolete version of minvecolem5 26523 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecoOLD.x
minvecoOLD.m
minvecoOLD.n CV
minvecoOLD.y
minvecoOLD.u
minvecoOLD.w
minvecoOLD.a
minvecoOLD.d
minvecoOLD.j
minvecoOLD.r
minvecoOLD.s
Assertion
Ref Expression
minvecolem5OLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem minvecolem5OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 10647 . . . . . . . . . . . 12
21adantl 468 . . . . . . . . . . 11
3 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . . 13
43adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
5 minvecoOLD.s . . . . . . . . . . . . . 14
6 minvecoOLD.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 minvecoOLD.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 minvecoOLD.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV
9 minvecoOLD.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 minvecoOLD.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 minvecoOLD.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 minvecoOLD.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13 minvecoOLD.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 minvecoOLD.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 minvecoOLD.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 26516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2117simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2322ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2520, 21, 24sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 infmrclOLD 10593 . . . . . . . . . . . . . . 15
2718, 19, 25, 26syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14
285, 27syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . 13
2928resqcld 12442 . . . . . . . . . . . 12
304, 29ltaddposd 10197 . . . . . . . . . . 11
312, 30mpbid 214 . . . . . . . . . 10
3229, 4readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11
3328sqge0d 12443 . . . . . . . . . . . . . 14
3429, 4, 33, 2addgegt0d 10187 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34elrpd 11338 . . . . . . . . . . . 12
3635rpge0d 11345 . . . . . . . . . . 11
37 resqrtth 13319 . . . . . . . . . . 11
3832, 36, 37syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
3931, 38breqtrrd 4429 . . . . . . . . 9
4035rpsqrtcld 13473 . . . . . . . . . . 11
4140rpred 11341 . . . . . . . . . 10
42 0red 9644 . . . . . . . . . . . . 13
43 infmrgelbOLD 10595 . . . . . . . . . . . . 13
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . 12
4521, 44mpbird 236 . . . . . . . . . . 11
4645, 5syl6breqr 4443 . . . . . . . . . 10
4732, 36sqrtge0d 13482 . . . . . . . . . 10
4828, 41, 46, 47lt2sqd 12450 . . . . . . . . 9
4939, 48mpbird 236 . . . . . . . 8
5028, 41ltnled 9782 . . . . . . . 8
5149, 50mpbid 214 . . . . . . 7
525breq2i 4410 . . . . . . . . 9
53 infmrgelbOLD 10595 . . . . . . . . . 10
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1271 . . . . . . . . 9
5552, 54syl5bb 261 . . . . . . . 8
5615raleqi 2991 . . . . . . . . 9
57 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11
5857rgenw 2749 . . . . . . . . . 10
59 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
60 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11
6159, 60ralrnmpt 6031 . . . . . . . . . 10
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9
6356, 62bitri 253 . . . . . . . 8
6455, 63syl6bb 265 . . . . . . 7
6551, 64mtbid 302 . . . . . 6
66 rexnal 2836 . . . . . 6
6765, 66sylibr 216 . . . . 5
6832adantr 467 . . . . . . . . 9
69 phnv 26455 . . . . . . . . . . . . 13
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7170ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11
7212ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12
73 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473, 11sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
766, 9, 75sspba 26366 . . . . . . . . . . . . . . 15
7770, 74, 76syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
7978sselda 3432 . . . . . . . . . . . 12
806, 7nvmcl 26268 . . . . . . . . . . . 12
8171, 72, 79, 80syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
826, 8nvcl 26288 . . . . . . . . . . 11
8371, 81, 82syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
8483resqcld 12442 . . . . . . . . 9
8568, 84letrid 9787 . . . . . . . 8
8685ord 379 . . . . . . 7
8741adantr 467 . . . . . . . . . 10
8847adantr 467 . . . . . . . . . 10
896, 8nvge0 26303 . . . . . . . . . . 11
9071, 81, 89syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
9187, 83, 88, 90le2sqd 12451 . . . . . . . . 9
9238adantr 467 . . . . . . . . . 10
9392breq1d 4412 . . . . . . . . 9
9491, 93bitrd 257 . . . . . . . 8
9594notbid 296 . . . . . . 7
966, 7, 8, 13imsdval 26318 . . . . . . . . . 10
9771, 72, 79, 96syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
9897oveq1d 6305 . . . . . . . 8
9998breq1d 4412 . . . . . . 7
10086, 95, 993imtr4d 272 . . . . . 6
101100reximdva 2862 . . . . 5
10267, 101mpd 15 . . . 4
103102ralrimiva 2802 . . 3
104 fvex 5875 . . . . 5
1059, 104eqeltri 2525 . . . 4
106 nnenom 12193 . . . 4
107 oveq2 6298 . . . . . 6
108107oveq1d 6305 . . . . 5
109108breq1d 4412 . . . 4
110105, 106, 109axcc4 8869 . . 3
111103, 110syl 17 . 2
11210adantr 467 . . 3
11311adantr 467 . . 3
11412adantr 467 . . 3
115 simprl 764 . . 3
116 simprr 766 . . . 4
117 fveq2 5865 . . . . . . . 8
118117oveq2d 6306 . . . . . . 7
119118oveq1d 6305 . . . . . 6
120 oveq2 6298 . . . . . . 7
121120oveq2d 6306 . . . . . 6
122119, 121breq12d 4415 . . . . 5
123122rspccva 3149 . . . 4
124116, 123sylan 474 . . 3
125 eqid 2451 . . 3
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4OLD 26532 . 2
127111, 126exlimddv 1781 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045   cin 3403   wss 3404  c0 3731   class class class wbr 4402   cmpt 4461  ccnv 4833   crn 4835  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  csup 7954  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  cexp 12272  csqrt 13296  cmopn 18960  clm 20242  cnv 26203  cba 26205  cnsb 26208  CVcnmcv 26209  cims 26210  css 26360  ccphlo 26453  ccbn 26504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lm 20245  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-cfil 22225  df-cau 22226  df-cmet 22227  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-vs 26218  df-nmcv 26219  df-ims 26220  df-ssp 26361  df-ph 26454  df-cbn 26505 This theorem is referenced by:  minvecolem7OLD  26535
 Copyright terms: Public domain W3C validator