Theorem minvecolem5OLD 26533

Description: Lemma for minvecoOLD 26536. Discharge the assumption about the sequence F by applying countable choice ax-cc 8865. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) Obsolete version of minvecolem5 26523 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvecoOLD.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minvecoOLD.m	|- M = ( -v ` U )
minvecoOLD.n	|- N = ( normCV ` U )
minvecoOLD.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minvecoOLD.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minvecoOLD.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minvecoOLD.a	|- ( ph -> A e. X )
minvecoOLD.d	|- D = ( IndMet ` U )
minvecoOLD.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minvecoOLD.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minvecoOLD.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem5OLD	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, R   x, S, y   x, A, y   x, D, y   x, U, y   x, W, y   x, X   x, Y, y

Allowed substitution hints:   R( y)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem5OLD

Dummy variables n k w f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecgt0 10647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 0 < ( 1 / n ) )
2	1	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 < ( 1 / n ) )
3		nnrecre 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
4	3	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
5		minvecoOLD.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = sup ( R , RR , `' < )
6		minvecoOLD.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = ( BaseSet ` U )
7		minvecoOLD.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- M = ( -v ` U )
8		minvecoOLD.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( normCV ` U )
9		minvecoOLD.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Y = ( BaseSet ` W )
10		minvecoOLD.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
11		minvecoOLD.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
12		minvecoOLD.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. X )
13		minvecoOLD.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- D = ( IndMet ` U )
14		minvecoOLD.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- J = ( MetOpen ` D )
15		minvecoOLD.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
16	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	minvecolem1 26516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
18	17	simp1d 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R C_ RR )
19	17	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R =/= (/) )
20		0re 9643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
21	17	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. w e. R 0 <_ w )
22		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
23	22	ralbidv 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
24	23	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
25	20, 21, 24	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
26		infmrclOLD 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
27	18, 19, 25, 26	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
28	5, 27	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S e. RR )
29	28	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
30	4, 29	ltaddposd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 < ( 1 / n ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
31	2, 30	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
32	29, 4	readdcld 9670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
33	28	sqge0d 12443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( S ^ 2 ) )
34	29, 4, 33, 2	addgegt0d 10187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 < ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
35	32, 34	elrpd 11338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR+ )
36	35	rpge0d 11345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
37		resqrtth 13319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
38	32, 36, 37	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
39	31, 38	breqtrrd 4429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) )
40	35	rpsqrtcld 13473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR+ )
41	40	rpred 11341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR )
42		0red 9644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR )
43		infmrgelbOLD 10595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
44	18, 19, 25, 42, 43	syl31anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
45	21, 44	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
46	45, 5	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ S )
47	32, 36	sqrtge0d 13482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
48	28, 41, 46, 47	lt2sqd 12450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) ) )
49	39, 48	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
50	28, 41	ltnled 9782	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <-> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S ) )
51	49, 50	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S )
52	5	breq2i 4410	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) )
53		infmrgelbOLD 10595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w ) )
54	18, 19, 25, 41, 53	syl31anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w ) )
55	52, 54	syl5bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w ) )
56	15	raleqi 2991	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w )
57		fvex 5875	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
58	57	rgenw 2749	. . . . . . . . . 10 |- A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V
59		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
60		breq2 4406	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( N ` ( A M y ) ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
61	59, 60	ralrnmpt 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
63	56, 62	bitri 253	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
64	55, 63	syl6bb 265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
65	51, 64	mtbid 302	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
66		rexnal 2836	. . . . . 6 |- ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
67	65, 66	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
68	32	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
69		phnv 26455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
70	10, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
71	70	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
72	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
73		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) C_ ( SubSp ` U )
74	73, 11	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
75		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
76	6, 9, 75	sspba 26366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
77	70, 74, 76	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y C_ X )
78	77	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y C_ X )
79	78	sselda 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
80	6, 7	nvmcl 26268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
81	71, 72, 79, 80	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
82	6, 8	nvcl 26288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
83	71, 81, 82	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
84	83	resqcld 12442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) e. RR )
85	68, 84	letrid 9787	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) \/ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
86	85	ord 379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) -> ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
87	41	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR )
88	47	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
89	6, 8	nvge0 26303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
90	71, 81, 89	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
91	87, 83, 88, 90	le2sqd 12451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
92	38	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
93	92	breq1d 4412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <-> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
94	91, 93	bitrd 257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
95	94	notbid 296	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> -. ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
96	6, 7, 8, 13	imsdval 26318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A M y ) ) )
97	71, 72, 79, 96	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A M y ) ) )
98	97	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) )
99	98	breq1d 4412	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <-> ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
100	86, 95, 99	3imtr4d 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
101	100	reximdva 2862	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
102	67, 101	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
103	102	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
104		fvex 5875	. . . . 5 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
105	9, 104	eqeltri 2525	. . . 4 |- Y e. _V
106		nnenom 12193	. . . 4 |- NN ~~ om
107		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` n ) -> ( A D y ) = ( A D ( f ` n ) ) )
108	107	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( y = ( f ` n ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) = ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) )
109	108	breq1d 4412	. . . 4 |- ( y = ( f ` n ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <-> ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
110	105, 106, 109	axcc4 8869	. . 3 |- ( A. n e. NN E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) -> E. f ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
111	103, 110	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
112	10	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> U e. CPreHil OLD )
113	11	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
114	12	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> A e. X )
115		simprl 764	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> f : NN --> Y )
116		simprr 766	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
117		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
118	117	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( A D ( f ` n ) ) = ( A D ( f ` k ) ) )
119	118	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) = ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) )
120		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( 1 / n ) = ( 1 / k ) )
121	120	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) )
122	119, 121	breq12d 4415	. . . . 5 |- ( n = k -> ( ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <-> ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) ) )
123	122	rspccva 3149	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) )
124	116, 123	sylan 474	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) )
125		eqid 2451	. . 3 |- ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` f ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` f ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
126	6, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125	minvecolem4OLD 26532	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
127	111, 126	exlimddv 1781	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   MetOpencmopn 18960   ~~> tclm 20242   NrmCVeccnv 26203   BaseSetcba 26205   -vcnsb 26208   norm_CVcnmcv 26209   IndMetcims 26210   SubSpcss 26360   CPreHil OLDccphlo 26453   CBanccbn 26504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lm 20245  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-cfil 22225  df-cau 22226  df-cmet 22227  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-vs 26218  df-nmcv 26219  df-ims 26220  df-ssp 26361  df-ph 26454  df-cbn 26505

This theorem is referenced by:  minvecolem7OLD  26535