MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem4b 25921
Description: Lemma for minveco 25927. The convergent point of the cauchy sequence  F is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 25856 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3683 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
9 minveco.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 eqid 2457 . . . 4  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
118, 9, 10sspba 25767 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
123, 7, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
13 minveco.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
148, 13imsxmet 25725 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
153, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
16 minveco.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1716methaus 21149 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
19 lmfun 20009 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( ~~> t `  J ) )
21 minveco.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
22 minveco.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
23 minveco.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
24 minveco.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
26 minveco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 25920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
29 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
30 nnuz 11141 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
329, 31eqeltri 2541 . . . . . . . 8  |-  Y  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
3416mopntop 21069 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3515, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
36 xmetres2 20990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
3715, 12, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
38 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3938mopntopon 21068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
41 lmcl 19925 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )  /\  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
4240, 28, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
43 1zzd 10916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4429, 30, 33, 35, 42, 43, 26lmss 19926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
45 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
4645, 16, 38metrest 21153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4715, 12, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
4847fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  ( Jt  Y ) )  =  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
4948breqd 4467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5044, 49bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5128, 50mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
52 funbrfv 5911 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( F
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  -> 
( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) ) )
5320, 51, 52sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
5453, 42eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y )
5512, 54sseldd 3500 1  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    |` cres 5010   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ^cexp 12169   ↾t crest 14838   *Metcxmt 18530   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   ~~> tclm 19854   Hauscha 19936   NrmCVeccnv 25604   BaseSetcba 25606   -vcnsb 25609   normCVcnmcv 25610   IndMetcims 25611   SubSpcss 25761   CPreHil OLDccphlo 25854   CBanccbn 25905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-lm 19857  df-haus 19943  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621  df-ssp 25762  df-ph 25855  df-cbn 25906
This theorem is referenced by:  minvecolem4  25923
  Copyright terms: Public domain W3C validator