MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem4b 24451
Description: Lemma for minveco 24457. The convergent point of the cauchy sequence  F is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 24386 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3650 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
9 minveco.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
118, 9, 10sspba 24297 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
123, 7, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
13 minveco.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
148, 13imsxmet 24255 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
153, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
16 minveco.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1716methaus 20230 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
19 lmfun 19120 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( ~~> t `  J ) )
21 minveco.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
22 minveco.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
23 minveco.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
24 minveco.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
26 minveco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 24450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
29 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
30 nnuz 11010 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 fvex 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
329, 31eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  Y  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
3416mopntop 20150 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3515, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
36 xmetres2 20071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
3715, 12, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
38 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3938mopntopon 20149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
41 lmcl 19036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )  /\  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
4240, 28, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
43 1zzd 10791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4429, 30, 33, 35, 42, 43, 26lmss 19037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
45 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
4645, 16, 38metrest 20234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4715, 12, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
4847fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  ( Jt  Y ) )  =  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
4948breqd 4414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5044, 49bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5128, 50mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
52 funbrfv 5842 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( F
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  -> 
( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) ) )
5320, 51, 52sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
5453, 42eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y )
5512, 54sseldd 3468 1  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    i^i cin 3438    C_ wss 3439   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   ran crn 4952    |` cres 4953   Fun wfun 5523   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supcsup 7804   RRcr 9395   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533    / cdiv 10107   NNcn 10436   2c2 10485   ^cexp 11985   ↾t crest 14481   *Metcxmt 17929   MetOpencmopn 17934   Topctop 18633  TopOnctopon 18634   ~~> tclm 18965   Hauscha 19047   NrmCVeccnv 24134   BaseSetcba 24136   -vcnsb 24139   normCVcnmcv 24140   IndMetcims 24141   SubSpcss 24291   CPreHil OLDccphlo 24384   CBanccbn 24435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-rest 14483  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-ntr 18759  df-nei 18837  df-lm 18968  df-haus 19054  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-ssp 24292  df-ph 24385  df-cbn 24436
This theorem is referenced by:  minvecolem4  24453
  Copyright terms: Public domain W3C validator