MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4a Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem4a 26504
Description: Lemma for minveco 26511. 
F is convergent in the subspace topology on  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  = inf ( R ,  RR ,  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4a  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4a
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 26440 . . . . . 6  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3649 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 minveco.d . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
10 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
11 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
128, 9, 10, 11sspims 26365 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
133, 7, 12syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
146simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
15 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
1615, 10cbncms 26492 . . . . 5  |-  ( W  e.  CBan  ->  ( IndMet `  W )  e.  (
CMet `  ( BaseSet `  W
) ) )
1714, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
1813, 17eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
19 minveco.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
20 minveco.m . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
21 minveco.n . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
22 minveco.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
23 minveco.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
24 minveco.r . . . . 5  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . 5  |-  S  = inf ( R ,  RR ,  <  )
26 minveco.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
2819, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27minvecolem3 26503 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
2919, 9imsmet 26308 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metxmet 21335 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3230, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
33 causs 22254 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
3432, 26, 33syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
36 eqid 2422 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3736cmetcau 22245 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3818, 35, 37syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
39 xmetres 21365 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
4036methaus 21521 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  e.  Haus )
4132, 39, 403syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus )
42 lmfun 20383 . . 3  |-  ( (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
43 funfvbrb 6006 . . 3  |-  ( Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( F  e. 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  <-> 
F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4441, 42, 433syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4538, 44mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    i^i cin 3435   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   dom cdm 4849   ran crn 4850    |` cres 4851   Fun wfun 5591   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301  infcinf 7957   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ^cexp 12271   *Metcxmt 18942   Metcme 18943   MetOpencmopn 18947   ~~> tclm 20228   Hauscha 20310   Caucca 22209   CMetcms 22210   NrmCVeccnv 26188   BaseSetcba 26190   -vcnsb 26193   normCVcnmcv 26194   IndMetcims 26195   SubSpcss 26345   CPreHil OLDccphlo 26438   CBanccbn 26489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-ntr 20021  df-nei 20100  df-lm 20231  df-haus 20317  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-cfil 22211  df-cau 22212  df-cmet 22213  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-gdiv 25907  df-ablo 25995  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-vs 26203  df-nmcv 26204  df-ims 26205  df-ssp 26346  df-ph 26439  df-cbn 26490
This theorem is referenced by:  minvecolem4b  26505  minvecolem4  26507
  Copyright terms: Public domain W3C validator