MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4a Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem4a 25457
Description: Lemma for minveco 25464. 
F is convergent in the subspace topology on  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4a  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4a
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 25393 . . . . . 6  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
4 minveco.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
5 elin 3682 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
64, 5sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
76simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
8 minveco.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 minveco.d . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
10 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
11 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
128, 9, 10, 11sspims 25318 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
133, 7, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
146simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
15 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
1615, 10cbncms 25445 . . . . 5  |-  ( W  e.  CBan  ->  ( IndMet `  W )  e.  (
CMet `  ( BaseSet `  W
) ) )
1714, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
1813, 17eqeltrrd 2551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) ) )
19 minveco.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
20 minveco.m . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
21 minveco.n . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
22 minveco.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
23 minveco.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
24 minveco.r . . . . 5  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
25 minveco.s . . . . 5  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
26 minveco.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
27 minveco.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
2819, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27minvecolem3 25456 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
2919, 9imsmet 25261 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
301, 2, 293syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metxmet 20567 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
33 causs 21467 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F : NN --> Y )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
3432, 26, 33syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
36 eqid 2462 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3736cmetcau 21458 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  F  e.  ( Cau `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
3818, 35, 37syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
39 xmetres 20597 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
4036methaus 20753 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  e.  Haus )
4132, 39, 403syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus )
42 lmfun 19643 . . 3  |-  ( (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e. 
Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
43 funfvbrb 5987 . . 3  |-  ( Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  ( F  e. 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  <-> 
F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4441, 42, 433syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4538, 44mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    i^i cin 3470   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   ran crn 4995    |` cres 4996   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   supcsup 7891   RRcr 9482   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620    / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   ^cexp 12124   *Metcxmt 18169   Metcme 18170   MetOpencmopn 18174   ~~> tclm 19488   Hauscha 19570   Caucca 21422   CMetcms 21423   NrmCVeccnv 25141   BaseSetcba 25143   -vcnsb 25146   normCVcnmcv 25147   IndMetcims 25148   SubSpcss 25298   CPreHil OLDccphlo 25391   CBanccbn 25442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-rest 14669  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-ntr 19282  df-nei 19360  df-lm 19491  df-haus 19577  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-cfil 21424  df-cau 21425  df-cmet 21426  df-grpo 24857  df-gid 24858  df-ginv 24859  df-gdiv 24860  df-ablo 24948  df-vc 25103  df-nv 25149  df-va 25152  df-ba 25153  df-sm 25154  df-0v 25155  df-vs 25156  df-nmcv 25157  df-ims 25158  df-ssp 25299  df-ph 25392  df-cbn 25443
This theorem is referenced by:  minvecolem4b  25458  minvecolem4  25460
  Copyright terms: Public domain W3C validator