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Theorem minvecolem4OLD 26525
 Description: Lemma for minvecoOLD 26529. The convergent point of the cauchy sequence attains the minimum distance, and so is closer to than any other point in . (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) Obsolete version of minvecolem4 26515 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecoOLD.x
minvecoOLD.m
minvecoOLD.n CV
minvecoOLD.y
minvecoOLD.u
minvecoOLD.w
minvecoOLD.a
minvecoOLD.d
minvecoOLD.j
minvecoOLD.r
minvecoOLD.s
minvecoOLD.f
minvecoOLD.1
minvecoOLD.t
Assertion
Ref Expression
minvecolem4OLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem minvecolem4OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvecoOLD.u . . . . . 6
2 phnv 26448 . . . . . 6
3 minvecoOLD.x . . . . . . 7
4 minvecoOLD.d . . . . . . 7
53, 4imsxmet 26317 . . . . . 6
61, 2, 53syl 18 . . . . 5
7 minvecoOLD.j . . . . . 6
87methaus 21528 . . . . 5
9 lmfun 20390 . . . . 5
106, 8, 93syl 18 . . . 4
11 minvecoOLD.m . . . . . 6
12 minvecoOLD.n . . . . . 6 CV
13 minvecoOLD.y . . . . . 6
14 minvecoOLD.w . . . . . 6
15 minvecoOLD.a . . . . . 6
16 minvecoOLD.r . . . . . 6
17 minvecoOLD.s . . . . . 6
18 minvecoOLD.f . . . . . 6
19 minvecoOLD.1 . . . . . 6
203, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4aOLD 26522 . . . . 5
21 eqid 2450 . . . . . . 7 t t
22 nnuz 11191 . . . . . . 7
23 fvex 5873 . . . . . . . . 9
2413, 23eqeltri 2524 . . . . . . . 8
2524a1i 11 . . . . . . 7
261, 2syl 17 . . . . . . . 8
277mopntop 21448 . . . . . . . 8
2826, 5, 273syl 18 . . . . . . 7
29 elin 3616 . . . . . . . . . . . . 13
3014, 29sylib 200 . . . . . . . . . . . 12
3130simpld 461 . . . . . . . . . . 11
32 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12
333, 13, 32sspba 26359 . . . . . . . . . . 11
3426, 31, 33syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
35 xmetres2 21369 . . . . . . . . . 10
366, 34, 35syl2anc 666 . . . . . . . . 9
37 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
3837mopntopon 21447 . . . . . . . . 9 TopOn
3936, 38syl 17 . . . . . . . 8 TopOn
40 lmcl 20306 . . . . . . . 8 TopOn
4139, 20, 40syl2anc 666 . . . . . . 7
42 1zzd 10965 . . . . . . 7
4321, 22, 25, 28, 41, 42, 18lmss 20307 . . . . . 6 t
44 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
4544, 7, 37metrest 21532 . . . . . . . . 9 t
466, 34, 45syl2anc 666 . . . . . . . 8 t
4746fveq2d 5867 . . . . . . 7 t
4847breqd 4412 . . . . . 6 t
4943, 48bitrd 257 . . . . 5
5020, 49mpbird 236 . . . 4
51 funbrfv 5901 . . . 4
5210, 50, 51sylc 62 . . 3
5352, 41eqeltrd 2528 . 2
543, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4bOLD 26523 . . . . . 6
553, 11, 12, 4imsdval 26311 . . . . . 6
5626, 15, 54, 55syl3anc 1267 . . . . 5
5756adantr 467 . . . 4
583, 4imsmet 26316 . . . . . . . 8
591, 2, 583syl 18 . . . . . . 7
60 metcl 21340 . . . . . . 7
6159, 15, 54, 60syl3anc 1267 . . . . . 6
6261adantr 467 . . . . 5
633, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4cOLD 26524 . . . . . 6
6463adantr 467 . . . . 5
6526adantr 467 . . . . . 6
6615adantr 467 . . . . . . 7
6734sselda 3431 . . . . . . 7
683, 11nvmcl 26261 . . . . . . 7
6965, 66, 67, 68syl3anc 1267 . . . . . 6
703, 12nvcl 26281 . . . . . 6
7165, 69, 70syl2anc 666 . . . . 5
7263, 61ltnled 9779 . . . . . . . 8
73 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11
746adantr 467 . . . . . . . . . . 11
75 minvecoOLD.t . . . . . . . . . . . . . . 15
7661, 63readdcld 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776rehalfcld 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7877resqcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7963resqcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8078, 79resubcld 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8263, 61, 63ltadd1d 10203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8363recnd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
84832timesd 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8584breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86 2re 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
87 2pos 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8886, 87pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90 ltmuldiv2 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9163, 76, 89, 90syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9282, 85, 913bitr2d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
933, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16minvecolem1 26509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9493simp3d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9593simp1d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9693simp2d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
97 0re 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
98 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9998ralbidv 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10099rspcev 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10197, 94, 100sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103 infmrgelbOLD 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10495, 96, 101, 102, 103syl31anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10594, 104mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106105, 17syl6breqr 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107 metge0 21353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10859, 15, 54, 107syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10961, 63, 108, 106addge0d 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
110 divge0 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11176, 109, 89, 110syl21anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11263, 77, 106, 111lt2sqd 12447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11379, 78posdifd 10197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11492, 112, 1133bitrd 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115114biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11681, 115elrpd 11335 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116rpreccld 11348 . . . . . . . . . . . . . . 15
11875, 117syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . . . 14
119118rprege0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13
120 flge0nn0 12051 . . . . . . . . . . . . 13
121 nn0p1nn 10906 . . . . . . . . . . . . 13
122119, 120, 1213syl 18 . . . . . . . . . . . 12
123122nnzd 11036 . . . . . . . . . . 11
12450, 52breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . . 12
125124adantr 467 . . . . . . . . . . 11
12615adantr 467 . . . . . . . . . . 11
12777adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
128127rexrd 9687 . . . . . . . . . . 11
129 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 eluznn 11226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131122, 130sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
13259adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13315adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13418, 34fssd 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 metcl 21340 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137132, 133, 135, 136syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15
138129, 131, 137syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14
139138resqcld 12439 . . . . . . . . . . . . 13
14063ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
141140resqcld 12439 . . . . . . . . . . . . . 14
142131nnrecred 10652 . . . . . . . . . . . . . 14
143141, 142readdcld 9667 . . . . . . . . . . . . 13
14478ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13
145129, 131, 19syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13
146118adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147146rpred 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148 reflcl 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149 peano2re 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150147, 148, 1493syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151131nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152 fllep1 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153147, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154 eluzle 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
155154adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
156147, 150, 151, 153, 155letrd 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15775, 156syl5eqbrr 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15
158 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15980ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161131nngt0d 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162 lediv23 10495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163158, 159, 160, 151, 161, 162syl122anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . 15
164157, 163mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14
165141, 142, 144leaddsub2d 10212 . . . . . . . . . . . . . 14
166164, 165mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13
167139, 143, 144, 145, 166letrd 9789 . . . . . . . . . . . 12
16877ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13
169 metge0 21353 . . . . . . . . . . . . . . 15
170132, 133, 135, 169syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14
171129, 131, 170syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13
172111ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13
173138, 168, 171, 172le2sqd 12448 . . . . . . . . . . . 12
174167, 173mpbird 236 . . . . . . . . . . 11
17573, 7, 74, 123, 125, 126, 128, 174lmle 22264 . . . . . . . . . 10
17661, 63, 61leadd2d 10205 . . . . . . . . . . . 12
17761recnd 9666 . . . . . . . . . . . . . 14
1781772timesd 10852 . . . . . . . . . . . . 13
179178breq1d 4411 . . . . . . . . . . . 12
180 lemuldiv2 10484 . . . . . . . . . . . . . 14
18188, 180mp3an3 1352 . . . . . . . . . . . . 13
18261, 76, 181syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
183176, 179, 1823bitr2d 285 . . . . . . . . . . 11
184183biimpar 488 . . . . . . . . . 10
185175, 184syldan 473 . . . . . . . . 9
186185ex 436 . . . . . . . 8
18772, 186sylbird 239 . . . . . . 7
188187pm2.18d 115 . . . . . 6
189188adantr 467 . . . . 5
19095adantr 467 . . . . . . 7
191101adantr 467 . . . . . . 7
192 simpr 463 . . . . . . . . 9
193 fvex 5873 . . . . . . . . 9
194 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
195194elrnmpt1 5082 . . . . . . . . 9
196192, 193, 195sylancl 667 . . . . . . . 8
197196, 16syl6eleqr 2539 . . . . . . 7
198 infmrlbOLD 10594 . . . . . . 7
199190, 191, 197, 198syl3anc 1267 . . . . . 6
20017, 199syl5eqbr 4435 . . . . 5
20162, 64, 71, 189, 200letrd 9789 . . . 4
20257, 201eqbrtrrd 4424 . . 3
203202ralrimiva 2801 . 2
204 oveq2 6296 . . . . . 6
205204fveq2d 5867 . . . . 5
206205breq1d 4411 . . . 4
207206ralbidv 2826 . . 3
208207rspcev 3149 . 2
20953, 203, 208syl2anc 666 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737  cvv 3044   cin 3402   wss 3403  c0 3730   class class class wbr 4401   cmpt 4460   cxp 4831  ccnv 4832   crn 4834   cres 4835   wfun 5575  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  csup 7951  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541   clt 9672   cle 9673   cmin 9857   cdiv 10266  cn 10606  c2 10656  cn0 10866  cuz 11156  crp 11299  cfl 12023  cexp 12269   ↾t crest 15312  cxmt 18948  cme 18949  cmopn 18953  ctop 19910  TopOnctopon 19911  clm 20235  cha 20317  cnv 26196  cba 26198  cnsb 26201  CVcnmcv 26202  cims 26203  css 26353  ccphlo 26446  ccbn 26497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lm 20238  df-haus 20324  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498 This theorem is referenced by:  minvecolem5OLD  26526
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