Theorem minvecolem4 25472

Description: Lemma for minveco 25476. The convergent point of the cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minveco.f	|- ( ph -> F : NN --> Y )
minveco.1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
minveco.t	|- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, F   n, J, x, y   x, M, y   x, N, y   ph, n, x, y   x, R   S, n, x, y   A, n, x, y   D, n, x, y   x, U, y   x, W, y   T, n   n, X, x   n, Y, x, y

Allowed substitution hints:   R( y, n)   T( x, y)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
2		phnv 25405	. . . . . 6 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
3		minveco.x	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4		minveco.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` U )
5	3, 4	imsxmet 25274	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` X ) )
6	1, 2, 5	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
7		minveco.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
8	7	methaus 20758	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Haus )
9		lmfun 19648	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
10	6, 8, 9	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( ~~> t ` J ) )
11		minveco.m	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
12		minveco.n	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
13		minveco.y	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
14		minveco.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
15		minveco.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
16		minveco.r	. . . . . 6 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
17		minveco.s	. . . . . 6 |- S = sup ( R , RR , `' < )
18		minveco.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> Y )
19		minveco.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
20	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4a 25469	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
21		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
22		nnuz 11113	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23		fvex 5874	. . . . . . . . 9 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
24	13, 23	eqeltri 2551	. . . . . . . 8 |- Y e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. _V )
26	1, 2	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
27	7	mopntop 20678	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
28	26, 5, 27	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
29		elin 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) <-> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
30	14, 29	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
31	30	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
32		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
33	3, 13, 32	sspba 25316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
34	26, 31, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ X )
35		xmetres2 20599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
36	6, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
37		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) )
38	37	mopntopon 20677	. . . . . . . . 9 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
39	36, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
40		lmcl 19564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) /\ F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
41	39, 20, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
42		1zzd 10891	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
43	21, 22, 25, 28, 41, 42, 18	lmss 19565	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
44		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( D |` ( Y X. Y ) )
45	44, 7, 37	metrest 20762	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
46	6, 34, 45	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
47	46	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) = ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
48	47	breqd 4458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
49	43, 48	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
50	20, 49	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
51		funbrfv 5904	. . . 4 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
52	10, 50, 51	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
53	52, 41	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y )
54	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4b 25470	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X )
55	3, 11, 12, 4	imsdval 25268	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
56	26, 15, 54, 55	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
58	3, 4	imsmet 25273	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
59	1, 2, 58	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
60		metcl 20570	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
61	59, 15, 54, 60	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
62	61	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
63	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4c 25471	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
64	63	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
65	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
66	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
67	34	sselda 3504	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
68	3, 11	nvmcl 25218	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
70	3, 12	nvcl 25238	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
71	65, 69, 70	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
72	63, 61	ltnled 9727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
73		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
74	6	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
75		minveco.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
76	61, 63	readdcld 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR )
77	76	rehalfcld 10781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
78	77	resqcld 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
79	63	resqcld 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
80	78, 79	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
81	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
82	63, 61, 63	ltadd1d 10141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
83	63	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. CC )
84	83	2timesd 10777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
85	84	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
86		2re 10601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
87		2pos 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
88	86, 87	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
90		ltmuldiv2 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
91	63, 76, 89, 90	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
92	82, 85, 91	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
93	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16	minvecolem1 25466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
94	93	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
95	93	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R C_ RR )
96	93	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R =/= (/) )
97		0re 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
98		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
99	98	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
100	99	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
101	97, 94, 100	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
102	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 e. RR )
103		infmrgelb 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
104	95, 96, 101, 102, 103	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
105	94, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
106	105, 17	syl6breqr 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ S )
107		metge0 20583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
108	59, 15, 54, 107	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
109	61, 63, 108, 106	addge0d 10124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) )
110		divge0 10407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
111	76, 109, 89, 110	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
112	63, 77, 106, 111	lt2sqd 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
113	79, 78	posdifd 10135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
114	92, 112, 113	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
115	114	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
116	81, 115	elrpd 11250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
117	116	rpreccld 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
118	75, 117	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> T e. RR+ )
119	118	rprege0d 11259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( T e. RR /\ 0 <_ T ) )
120		flge0nn0 11918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. RR /\ 0 <_ T ) -> ( |_ ` T ) e. NN0 )
121		nn0p1nn 10831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` T ) e. NN0 -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
122	119, 120, 121	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
123	122	nnzd 10961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. ZZ )
124	50, 52	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
126	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> A e. X )
127	77	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
128	127	rexrd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR* )
129		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ph )
130		eluznn 11148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
131	122, 130	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
132	59	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
133	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. X )
134		fss 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> Y /\ Y C_ X ) -> F : NN --> X )
135	18, 34, 134	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : NN --> X )
136	135	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. X )
137		metcl 20570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
138	132, 133, 136, 137	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
139	129, 131, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
140	139	resqcld 12300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) e. RR )
141	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> S e. RR )
142	141	resqcld 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
143	131	nnrecred 10577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
144	142, 143	readdcld 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
145	78	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
146	129, 131, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
147	118	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR+ )
148	147	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR )
149		reflcl 11897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> ( |_ ` T ) e. RR )
150		peano2re 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` T ) e. RR -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
151	148, 149, 150	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
152	131	nnred 10547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
153		fllep1 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
154	148, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
155		eluzle 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
156	155	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
157	148, 151, 152, 154, 156	letrd 9734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ n )
158	75, 157	syl5eqbrr 4481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n )
159		1red 9607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
160	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
161	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
162	131	nngt0d 10575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < n )
163		lediv23 10433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
164	159, 160, 161, 152, 162, 163	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
165	158, 164	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
166	142, 143, 145	leaddsub2d 10150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
167	165, 166	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
168	140, 144, 145, 146, 167	letrd 9734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
169	77	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
170		metge0 20583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
171	132, 133, 136, 170	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
172	129, 131, 171	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
173	111	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
174	139, 169, 172, 173	le2sqd 12309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
175	168, 174	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
176	73, 7, 74, 123, 125, 126, 128, 175	lmle 21475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
177	61, 63, 61	leadd2d 10143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
178	61	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. CC )
179	178	2timesd 10777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) = ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
180	179	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
181		lemuldiv2 10421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
182	88, 181	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
183	61, 76, 182	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
184	177, 180, 183	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
185	184	biimpar 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
186	176, 185	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
187	186	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
188	72, 187	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
189	188	pm2.18d 111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
190	189	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
191	95	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
192	101	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
193		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
194		fvex 5874	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
195		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
196	195	elrnmpt1 5249	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A M y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
197	193, 194, 196	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
198	197, 16	syl6eleqr 2566	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. R )
199		infmrlb 10520	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A M y ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
200	191, 192, 198, 199	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
201	17, 200	syl5eqbr 4480	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A M y ) ) )
202	62, 64, 71, 190, 201	letrd 9734	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
203	57, 202	eqbrtrrd 4469	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
204	203	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
205		oveq2 6290	. . . . . 6 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A M x ) = ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
206	205	fveq2d 5868	. . . . 5 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( N ` ( A M x ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
207	206	breq1d 4457	. . . 4 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
208	207	ralbidv 2903	. . 3 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
209	208	rspcev 3214	. 2 |- ( ( ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
210	53, 204, 209	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000   |` cres 5001   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   |_cfl 11891   ^cexp 12130   ↾_t crest 14672   *Metcxmt 18174   Metcme 18175   MetOpencmopn 18179   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   ~~> tclm 19493   Hauscha 19575   NrmCVeccnv 25153   BaseSetcba 25155   -vcnsb 25158   norm_CVcnmcv 25159   IndMetcims 25160   SubSpcss 25310   CPreHil OLDccphlo 25403   CBanccbn 25454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lm 19496  df-haus 19582  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-cfil 21429  df-cau 21430  df-cmet 21431  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-ims 25170  df-ssp 25311  df-ph 25404  df-cbn 25455

This theorem is referenced by:  minvecolem5  25473