Theorem minvecolem4 24416

Description: Lemma for minveco 24420. The convergent point of the cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minveco.f	|- ( ph -> F : NN --> Y )
minveco.1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
minveco.t	|- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, F   n, J, x, y   x, M, y   x, N, y   ph, n, x, y   x, R   S, n, x, y   A, n, x, y   D, n, x, y   x, U, y   x, W, y   T, n   n, X, x   n, Y, x, y

Allowed substitution hints:   R( y, n)   T( x, y)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
2		phnv 24349	. . . . . 6 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
3		minveco.x	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4		minveco.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` U )
5	3, 4	imsxmet 24218	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` X ) )
6	1, 2, 5	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
7		minveco.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
8	7	methaus 20211	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Haus )
9		lmfun 19101	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
10	6, 8, 9	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( ~~> t ` J ) )
11		minveco.m	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
12		minveco.n	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
13		minveco.y	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
14		minveco.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
15		minveco.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
16		minveco.r	. . . . . 6 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
17		minveco.s	. . . . . 6 |- S = sup ( R , RR , `' < )
18		minveco.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> Y )
19		minveco.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
20	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4a 24413	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
21		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
22		nnuz 10997	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23		fvex 5799	. . . . . . . . 9 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
24	13, 23	eqeltri 2535	. . . . . . . 8 |- Y e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. _V )
26	1, 2	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
27	7	mopntop 20131	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
28	26, 5, 27	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
29		elin 3637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) <-> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
30	14, 29	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
31	30	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
32		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
33	3, 13, 32	sspba 24260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
34	26, 31, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ X )
35		xmetres2 20052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
36	6, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
37		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) )
38	37	mopntopon 20130	. . . . . . . . 9 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
39	36, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
40		lmcl 19017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) /\ F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
41	39, 20, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
42		1zzd 10778	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
43	21, 22, 25, 28, 41, 42, 18	lmss 19018	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
44		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( D |` ( Y X. Y ) )
45	44, 7, 37	metrest 20215	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
46	6, 34, 45	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
47	46	fveq2d 5793	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) = ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
48	47	breqd 4401	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
49	43, 48	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
50	20, 49	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
51		funbrfv 5829	. . . 4 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
52	10, 50, 51	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
53	52, 41	eqeltrd 2539	. 2 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y )
54	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4b 24414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X )
55	3, 11, 12, 4	imsdval 24212	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
56	26, 15, 54, 55	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
58	3, 4	imsmet 24217	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
59	1, 2, 58	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
60		metcl 20023	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
61	59, 15, 54, 60	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
62	61	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
63	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4c 24415	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
64	63	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
65	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
66	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
67	34	sselda 3454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
68	3, 11	nvmcl 24162	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
70	3, 12	nvcl 24182	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
71	65, 69, 70	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
72	63, 61	ltnled 9622	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
73		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
74	6	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
75		minveco.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
76	61, 63	readdcld 9514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR )
77	76	rehalfcld 10672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
78	77	resqcld 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
79	63	resqcld 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
80	78, 79	resubcld 9877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
81	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
82	63, 61, 63	ltadd1d 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
83	63	recnd 9513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. CC )
84	83	2timesd 10668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
85	84	breq1d 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
86		2re 10492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
87		2pos 10514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
88	86, 87	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
90		ltmuldiv2 10304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
91	63, 76, 89, 90	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
92	82, 85, 91	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
93	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16	minvecolem1 24410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
94	93	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
95	93	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R C_ RR )
96	93	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R =/= (/) )
97		0re 9487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
98		breq1 4393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
99	98	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
100	99	rspcev 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
101	97, 94, 100	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
102	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 e. RR )
103		infmrgelb 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
104	95, 96, 101, 102, 103	syl31anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
105	94, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
106	105, 17	syl6breqr 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ S )
107		metge0 20036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
108	59, 15, 54, 107	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
109	61, 63, 108, 106	addge0d 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) )
110		divge0 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
111	76, 109, 89, 110	syl21anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
112	63, 77, 106, 111	lt2sqd 12143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
113	79, 78	posdifd 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
114	92, 112, 113	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
115	114	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
116	81, 115	elrpd 11126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
117	116	rpreccld 11138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
118	75, 117	syl5eqel 2543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> T e. RR+ )
119	118	rprege0d 11135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( T e. RR /\ 0 <_ T ) )
120		flge0nn0 11767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. RR /\ 0 <_ T ) -> ( |_ ` T ) e. NN0 )
121		nn0p1nn 10720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` T ) e. NN0 -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
122	119, 120, 121	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
123	122	nnzd 10847	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. ZZ )
124	50, 52	breqtrrd 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
126	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> A e. X )
127	77	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
128	127	rexrd 9534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR* )
129		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ph )
130		eluznn 11026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
131	122, 130	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
132	59	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
133	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. X )
134		fss 5665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> Y /\ Y C_ X ) -> F : NN --> X )
135	18, 34, 134	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : NN --> X )
136	135	ffvelrnda 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. X )
137		metcl 20023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
138	132, 133, 136, 137	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
139	129, 131, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
140	139	resqcld 12135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) e. RR )
141	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> S e. RR )
142	141	resqcld 12135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
143	131	nnrecred 10468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
144	142, 143	readdcld 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
145	78	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
146	129, 131, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
147	118	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR+ )
148	147	rpred 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR )
149		reflcl 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> ( |_ ` T ) e. RR )
150		peano2re 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` T ) e. RR -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
151	148, 149, 150	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
152	131	nnred 10438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
153		fllep1 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
154	148, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
155		eluzle 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
156	155	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
157	148, 151, 152, 154, 156	letrd 9629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ n )
158	75, 157	syl5eqbrr 4424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n )
159		1red 9502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
160	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
161	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
162	131	nngt0d 10466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < n )
163		lediv23 10325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
164	159, 160, 161, 152, 162, 163	syl122anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
165	158, 164	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
166	142, 143, 145	leaddsub2d 10042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
167	165, 166	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
168	140, 144, 145, 146, 167	letrd 9629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
169	77	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
170		metge0 20036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
171	132, 133, 136, 170	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
172	129, 131, 171	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
173	111	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
174	139, 169, 172, 173	le2sqd 12144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
175	168, 174	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
176	73, 7, 74, 123, 125, 126, 128, 175	lmle 20928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
177	61, 63, 61	leadd2d 10035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
178	61	recnd 9513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. CC )
179	178	2timesd 10668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) = ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
180	179	breq1d 4400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
181		lemuldiv2 10313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
182	88, 181	mp3an3 1304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
183	61, 76, 182	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
184	177, 180, 183	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
185	184	biimpar 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
186	176, 185	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
187	186	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
188	72, 187	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
189	188	pm2.18d 111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
190	189	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
191	95	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
192	101	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
193		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
194		fvex 5799	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
195		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
196	195	elrnmpt1 5186	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A M y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
197	193, 194, 196	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
198	197, 16	syl6eleqr 2550	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. R )
199		infmrlb 10412	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A M y ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
200	191, 192, 198, 199	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
201	17, 200	syl5eqbr 4423	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A M y ) ) )
202	62, 64, 71, 190, 201	letrd 9629	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
203	57, 202	eqbrtrrd 4412	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
204	203	ralrimiva 2822	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
205		oveq2 6198	. . . . . 6 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A M x ) = ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
206	205	fveq2d 5793	. . . . 5 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( N ` ( A M x ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
207	206	breq1d 4400	. . . 4 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
208	207	ralbidv 2839	. . 3 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
209	208	rspcev 3169	. 2 |- ( ( ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
210	53, 204, 209	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   i^i cin 3425   C_ wss 3426   (/)c0 3735   class class class wbr 4390   |-> cmpt 4448   X. cxp 4936   `'ccnv 4937   ran crn 4939   |` cres 4940   Fun wfun 5510   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   supcsup 7791   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   x. cmul 9388   < clt 9519   <_ cle 9520   - cmin 9696   / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   NN0cn0 10680   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   |_cfl 11741   ^cexp 11966   ↾_t crest 14461   *Metcxmt 17910   Metcme 17911   MetOpencmopn 17915   Topctop 18614  TopOnctopon 18615   ~~> tclm 18946   Hauscha 19028   NrmCVeccnv 24097   BaseSetcba 24099   -vcnsb 24102   norm_CVcnmcv 24103   IndMetcims 24104   SubSpcss 24254   CPreHil OLDccphlo 24347   CBanccbn 24398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fi 7762  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-rest 14463  df-topgen 14484  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lm 18949  df-haus 19035  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-cfil 20882  df-cau 20883  df-cmet 20884  df-grpo 23813  df-gid 23814  df-ginv 23815  df-gdiv 23816  df-ablo 23904  df-vc 24059  df-nv 24105  df-va 24108  df-ba 24109  df-sm 24110  df-0v 24111  df-vs 24112  df-nmcv 24113  df-ims 24114  df-ssp 24255  df-ph 24348  df-cbn 24399

This theorem is referenced by:  minvecolem5  24417