Theorem minvecolem4 24249

Description: Lemma for minveco 24253. The convergent point of the cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minveco.f	|- ( ph -> F : NN --> Y )
minveco.1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
minveco.t	|- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, F   n, J, x, y   x, M, y   x, N, y   ph, n, x, y   x, R   S, n, x, y   A, n, x, y   D, n, x, y   x, U, y   x, W, y   T, n   n, X, x   n, Y, x, y

Allowed substitution hints:   R( y, n)   T( x, y)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
2		phnv 24182	. . . . . 6 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
3		minveco.x	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4		minveco.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` U )
5	3, 4	imsxmet 24051	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` X ) )
6	1, 2, 5	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
7		minveco.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
8	7	methaus 20075	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Haus )
9		lmfun 18965	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
10	6, 8, 9	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( ~~> t ` J ) )
11		minveco.m	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
12		minveco.n	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
13		minveco.y	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
14		minveco.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
15		minveco.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
16		minveco.r	. . . . . 6 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
17		minveco.s	. . . . . 6 |- S = sup ( R , RR , `' < )
18		minveco.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> Y )
19		minveco.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
20	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4a 24246	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
21		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
22		nnuz 10888	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23		fvex 5696	. . . . . . . . 9 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
24	13, 23	eqeltri 2508	. . . . . . . 8 |- Y e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. _V )
26	1, 2	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
27	7	mopntop 19995	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
28	26, 5, 27	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
29		elin 3534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) <-> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
30	14, 29	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
31	30	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
32		eqid 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
33	3, 13, 32	sspba 24093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
34	26, 31, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ X )
35		xmetres2 19916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
36	6, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
37		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) )
38	37	mopntopon 19994	. . . . . . . . 9 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
39	36, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
40		lmcl 18881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) /\ F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
41	39, 20, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
42		1zzd 10669	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
43	21, 22, 25, 28, 41, 42, 18	lmss 18882	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
44		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( D |` ( Y X. Y ) )
45	44, 7, 37	metrest 20079	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
46	6, 34, 45	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
47	46	fveq2d 5690	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) = ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
48	47	breqd 4298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
49	43, 48	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
50	20, 49	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
51		funbrfv 5725	. . . 4 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
52	10, 50, 51	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
53	52, 41	eqeltrd 2512	. 2 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y )
54	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4b 24247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X )
55	3, 11, 12, 4	imsdval 24045	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
56	26, 15, 54, 55	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
58	3, 4	imsmet 24050	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
59	1, 2, 58	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
60		metcl 19887	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
61	59, 15, 54, 60	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
62	61	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
63	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4c 24248	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
64	63	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
65	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
66	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
67	34	sselda 3351	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
68	3, 11	nvmcl 23995	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
70	3, 12	nvcl 24015	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
71	65, 69, 70	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
72	63, 61	ltnled 9513	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
73		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
74	6	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
75		minveco.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
76	61, 63	readdcld 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR )
77	76	rehalfcld 10563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
78	77	resqcld 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
79	63	resqcld 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
80	78, 79	resubcld 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
81	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
82	63, 61, 63	ltadd1d 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
83	63	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. CC )
84	83	2timesd 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
85	84	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
86		2re 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
87		2pos 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
88	86, 87	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
90		ltmuldiv2 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
91	63, 76, 89, 90	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
92	82, 85, 91	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
93	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16	minvecolem1 24243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
94	93	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
95	93	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R C_ RR )
96	93	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R =/= (/) )
97		0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
98		breq1 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
99	98	ralbidv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
100	99	rspcev 3068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
101	97, 94, 100	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
102	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 e. RR )
103		infmrgelb 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
104	95, 96, 101, 102, 103	syl31anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
105	94, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
106	105, 17	syl6breqr 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ S )
107		metge0 19900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
108	59, 15, 54, 107	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
109	61, 63, 108, 106	addge0d 9907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) )
110		divge0 10190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
111	76, 109, 89, 110	syl21anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
112	63, 77, 106, 111	lt2sqd 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
113	79, 78	posdifd 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
114	92, 112, 113	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
115	114	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
116	81, 115	elrpd 11017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
117	116	rpreccld 11029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
118	75, 117	syl5eqel 2522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> T e. RR+ )
119	118	rprege0d 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( T e. RR /\ 0 <_ T ) )
120		flge0nn0 11658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. RR /\ 0 <_ T ) -> ( |_ ` T ) e. NN0 )
121		nn0p1nn 10611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` T ) e. NN0 -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
122	119, 120, 121	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
123	122	nnzd 10738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. ZZ )
124	50, 52	breqtrrd 4313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
126	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> A e. X )
127	77	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
128	127	rexrd 9425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR* )
129		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ph )
130		eluznn 10917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
131	122, 130	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
132	59	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
133	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. X )
134		fss 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> Y /\ Y C_ X ) -> F : NN --> X )
135	18, 34, 134	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : NN --> X )
136	135	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. X )
137		metcl 19887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
138	132, 133, 136, 137	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
139	129, 131, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
140	139	resqcld 12026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) e. RR )
141	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> S e. RR )
142	141	resqcld 12026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
143	131	nnrecred 10359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
144	142, 143	readdcld 9405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
145	78	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
146	129, 131, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
147	118	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR+ )
148	147	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR )
149		reflcl 11638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> ( |_ ` T ) e. RR )
150		peano2re 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` T ) e. RR -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
151	148, 149, 150	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
152	131	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
153		fllep1 11643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
154	148, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
155		eluzle 10865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
156	155	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
157	148, 151, 152, 154, 156	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ n )
158	75, 157	syl5eqbrr 4321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n )
159		1red 9393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
160	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
161	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
162	131	nngt0d 10357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < n )
163		lediv23 10216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
164	159, 160, 161, 152, 162, 163	syl122anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
165	158, 164	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
166	142, 143, 145	leaddsub2d 9933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
167	165, 166	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
168	140, 144, 145, 146, 167	letrd 9520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
169	77	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
170		metge0 19900	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
171	132, 133, 136, 170	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
172	129, 131, 171	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
173	111	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
174	139, 169, 172, 173	le2sqd 12035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
175	168, 174	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
176	73, 7, 74, 123, 125, 126, 128, 175	lmle 20792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
177	61, 63, 61	leadd2d 9926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
178	61	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. CC )
179	178	2timesd 10559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) = ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
180	179	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
181		lemuldiv2 10204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
182	88, 181	mp3an3 1303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
183	61, 76, 182	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
184	177, 180, 183	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
185	184	biimpar 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
186	176, 185	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
187	186	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
188	72, 187	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
189	188	pm2.18d 111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
190	189	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
191	95	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
192	101	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
193		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
194		fvex 5696	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
195		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
196	195	elrnmpt1 5083	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A M y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
197	193, 194, 196	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
198	197, 16	syl6eleqr 2529	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. R )
199		infmrlb 10303	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A M y ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
200	191, 192, 198, 199	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
201	17, 200	syl5eqbr 4320	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A M y ) ) )
202	62, 64, 71, 190, 201	letrd 9520	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
203	57, 202	eqbrtrrd 4309	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
204	203	ralrimiva 2794	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
205		oveq2 6094	. . . . . 6 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A M x ) = ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
206	205	fveq2d 5690	. . . . 5 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( N ` ( A M x ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
207	206	breq1d 4297	. . . 4 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
208	207	ralbidv 2730	. . 3 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
209	208	rspcev 3068	. 2 |- ( ( ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
210	53, 204, 209	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836   |` cres 4837   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   |_cfl 11632   ^cexp 11857   ↾_t crest 14351   *Metcxmt 17781   Metcme 17782   MetOpencmopn 17786   Topctop 18478  TopOnctopon 18479   ~~> tclm 18810   Hauscha 18892   NrmCVeccnv 23930   BaseSetcba 23932   -vcnsb 23935   norm_CVcnmcv 23936   IndMetcims 23937   SubSpcss 24087   CPreHil OLDccphlo 24180   CBanccbn 24231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lm 18813  df-haus 18899  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-cfil 20746  df-cau 20747  df-cmet 20748  df-grpo 23646  df-gid 23647  df-ginv 23648  df-gdiv 23649  df-ablo 23737  df-vc 23892  df-nv 23938  df-va 23941  df-ba 23942  df-sm 23943  df-0v 23944  df-vs 23945  df-nmcv 23946  df-ims 23947  df-ssp 24088  df-ph 24181  df-cbn 24232

This theorem is referenced by:  minvecolem5  24250