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Theorem minvecolem4 25472
Description: Lemma for minveco 25476. The convergent point of the cauchy sequence  F attains the minimum distance, and so is closer to  A than any other point in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
minveco.t  |-  T  =  ( 1  /  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, F    n, J, x, y    x, M, y   
x, N, y    ph, n, x, y    x, R    S, n, x, y    A, n, x, y    D, n, x, y    x, U, y    x, W, y    T, n    n, X, x   
n, Y, x, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    T( x, y)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 25405 . . . . . 6  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
3 minveco.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 minveco.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  U )
53, 4imsxmet 25274 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
61, 2, 53syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7 minveco.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
87methaus 20758 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
9 lmfun 19648 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
106, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( ~~> t `  J ) )
11 minveco.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
12 minveco.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
13 minveco.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
14 minveco.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
15 minveco.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
16 minveco.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
17 minveco.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
18 minveco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
19 minveco.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
203, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4a 25469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
21 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
22 nnuz 11113 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
2413, 23eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  Y  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
261, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
277mopntop 20678 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
2826, 5, 273syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
29 elin 3687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
3014, 29sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
3130simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
32 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
333, 13, 32sspba 25316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
3426, 31, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
35 xmetres2 20599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
366, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3837mopntopon 20677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
3936, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
40 lmcl 19564 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )  /\  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
4139, 20, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
42 1zzd 10891 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4321, 22, 25, 28, 41, 42, 18lmss 19565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
44 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
4544, 7, 37metrest 20762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
466, 34, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
4746fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  ( Jt  Y ) )  =  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
4847breqd 4458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4943, 48bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5020, 49mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
51 funbrfv 5904 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( F
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  -> 
( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) ) )
5210, 50, 51sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
5352, 41eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y )
543, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4b 25470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
553, 11, 12, 4imsdval 25268 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
5626, 15, 54, 55syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  =  ( N `
 ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
583, 4imsmet 25273 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
591, 2, 583syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
60 metcl 20570 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  e.  RR )
6159, 15, 54, 60syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR )
6261adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  e.  RR )
633, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4c 25471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
6463adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
6526adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
6615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
6734sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
683, 11nvmcl 25218 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
6965, 66, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
703, 12nvcl 25238 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
7165, 69, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
7263, 61ltnled 9727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  -.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
) )
73 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  T )  +  1 ) )
746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
75 minveco.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( 1  /  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
7661, 63readdcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR )
7776rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  e.  RR )
7877resqcld 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR )
7963resqcld 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
8078, 79resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
8263, 61, 63ltadd1d 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  ( S  +  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S ) ) )
8363recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
84832timesd 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( S  +  S ) )
8584breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( S  +  S
)  <  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
86 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
87 2pos 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
8886, 87pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
90 ltmuldiv2 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  S )  <  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  S  <  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
9163, 76, 89, 90syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
S  <  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
9282, 85, 913bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  S  <  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
933, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16minvecolem1 25466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9493simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
9593simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
9693simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
97 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
98 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
9998ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10099rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
10197, 94, 100sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
10297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
103 infmrgelb 10519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10495, 96, 101, 102, 103syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10594, 104mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
106105, 17syl6breqr 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
107 metge0 20583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  0  <_  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )
10859, 15, 54, 107syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )
10961, 63, 108, 106addge0d 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) )
110 divge0 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
11176, 109, 89, 110syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) )
11263, 77, 106, 111lt2sqd 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( S ^ 2 )  <  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
11379, 78posdifd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
11492, 112, 1133bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
115114biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
11681, 115elrpd 11250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR+ )
117116rpreccld 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  e.  RR+ )
11875, 117syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
119118rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T ) )
120 flge0nn0 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  RR  /\  0  <_  T )  -> 
( |_ `  T
)  e.  NN0 )
121 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  T )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN )
122119, 120, 1213syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN )
123122nnzd 10961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  ZZ )
12450, 52breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  F ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  F
) )
12615adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  A  e.  X )
12777adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 )  e.  RR )
128127rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 )  e. 
RR* )
129 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ph )
130 eluznn 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
131122, 130sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
13259adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
13315adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  X )
134 fss 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  Y  C_  X )  ->  F : NN --> X )
13518, 34, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
136135ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  X )
137 metcl 20570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
138132, 133, 136, 137syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
139129, 131, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  e.  RR )
140139resqcld 12300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
14163ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  S  e.  RR )
142141resqcld 12300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( S ^
2 )  e.  RR )
143131nnrecred 10577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
144142, 143readdcld 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
14578ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  e.  RR )
146129, 131, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
147118adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
148147rpred 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
149 reflcl 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  RR  ->  ( |_ `  T )  e.  RR )
150 peano2re 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  T )  e.  RR  ->  (
( |_ `  T
)  +  1 )  e.  RR )
151148, 149, 1503syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  T )  +  1 )  e.  RR )
152131nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
153 fllep1 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  RR  ->  T  <_  ( ( |_ `  T )  +  1 ) )
154148, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  <_  (
( |_ `  T
)  +  1 ) )
155 eluzle 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  T
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  <_  n
)
156155adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  T )  +  1 )  <_  n
)
157148, 151, 152, 154, 156letrd 9734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  <_  n
)
15875, 157syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n )
159 1red 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
16080ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
161115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
162131nngt0d 10575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <  n
)
163 lediv23 10433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
164159, 160, 161, 152, 162, 163syl122anc 1237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
165158, 164mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
166142, 143, 145leaddsub2d 10150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_ 
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  n )  <_  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
167165, 166mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) )
168140, 144, 145, 146, 167letrd 9734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) )
16977ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 )  e.  RR )
170 metge0 20583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  0  <_  ( A D ( F `  n ) ) )
171132, 133, 136, 170syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( A D ( F `  n ) ) )
172129, 131, 171syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A D ( F `  n ) ) )
173111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
174139, 169, 172, 173le2sqd 12309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) )  <_ 
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
175168, 174mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
17673, 7, 74, 123, 125, 126, 128, 175lmle 21475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
17761, 63, 61leadd2d 10143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  <->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
17861recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  CC )
1791782timesd 10777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  =  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) ) )
180179breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  <_  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
181 lemuldiv2 10421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
18288, 181mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
18361, 76, 182syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  <_  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
184177, 180, 1833bitr2d 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  <_  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ) )
185184biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
186176, 185syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
187186ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
) )
18872, 187sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  S )
)
189188pm2.18d 111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  S )
190189adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
19195adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
192101adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
193 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
194 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
195 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
196195elrnmpt1 5249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V )  -> 
( N `  ( A M y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) )
197193, 194, 196sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) )
198197, 16syl6eleqr 2566 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  R )
199 infmrlb 10520 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A M y ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
200191, 192, 198, 199syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20117, 200syl5eqbr 4480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20262, 64, 71, 190, 201letrd 9734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20357, 202eqbrtrrd 4469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
204203ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
205 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( A M x )  =  ( A M ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )
206205fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( N `  ( A M x ) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
207206breq1d 4457 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
208207ralbidv 2903 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) ) )
209208rspcev 3214 . 2  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
21053, 204, 209syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   |_cfl 11891   ^cexp 12130   ↾t crest 14672   *Metcxmt 18174   Metcme 18175   MetOpencmopn 18179   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   ~~> tclm 19493   Hauscha 19575   NrmCVeccnv 25153   BaseSetcba 25155   -vcnsb 25158   normCVcnmcv 25159   IndMetcims 25160   SubSpcss 25310   CPreHil OLDccphlo 25403   CBanccbn 25454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lm 19496  df-haus 19582  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-cfil 21429  df-cau 21430  df-cmet 21431  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-ims 25170  df-ssp 25311  df-ph 25404  df-cbn 25455
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