Theorem minvecolem4 25923

Description: Lemma for minveco 25927. The convergent point of the cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minveco.f	|- ( ph -> F : NN --> Y )
minveco.1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
minveco.t	|- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, F   n, J, x, y   x, M, y   x, N, y   ph, n, x, y   x, R   S, n, x, y   A, n, x, y   D, n, x, y   x, U, y   x, W, y   T, n   n, X, x   n, Y, x, y

Allowed substitution hints:   R( y, n)   T( x, y)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
2		phnv 25856	. . . . . 6 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
3		minveco.x	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4		minveco.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` U )
5	3, 4	imsxmet 25725	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` X ) )
6	1, 2, 5	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
7		minveco.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
8	7	methaus 21149	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Haus )
9		lmfun 20009	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
10	6, 8, 9	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( ~~> t ` J ) )
11		minveco.m	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
12		minveco.n	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
13		minveco.y	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
14		minveco.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
15		minveco.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
16		minveco.r	. . . . . 6 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
17		minveco.s	. . . . . 6 |- S = sup ( R , RR , `' < )
18		minveco.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> Y )
19		minveco.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
20	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4a 25920	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
21		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
22		nnuz 11141	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
24	13, 23	eqeltri 2541	. . . . . . . 8 |- Y e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. _V )
26	1, 2	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
27	7	mopntop 21069	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
28	26, 5, 27	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
29		elin 3683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) <-> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
30	14, 29	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
31	30	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
32		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
33	3, 13, 32	sspba 25767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
34	26, 31, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ X )
35		xmetres2 20990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
36	6, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
37		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) )
38	37	mopntopon 21068	. . . . . . . . 9 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
39	36, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
40		lmcl 19925	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) /\ F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
41	39, 20, 40	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
42		1zzd 10916	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
43	21, 22, 25, 28, 41, 42, 18	lmss 19926	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
44		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( D |` ( Y X. Y ) )
45	44, 7, 37	metrest 21153	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
46	6, 34, 45	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
47	46	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) = ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
48	47	breqd 4467	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
49	43, 48	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
50	20, 49	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
51		funbrfv 5911	. . . 4 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
52	10, 50, 51	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
53	52, 41	eqeltrd 2545	. 2 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y )
54	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4b 25921	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X )
55	3, 11, 12, 4	imsdval 25719	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
56	26, 15, 54, 55	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
58	3, 4	imsmet 25724	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
59	1, 2, 58	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
60		metcl 20961	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
61	59, 15, 54, 60	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
62	61	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
63	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4c 25922	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
64	63	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
65	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
66	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
67	34	sselda 3499	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
68	3, 11	nvmcl 25669	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
70	3, 12	nvcl 25689	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
71	65, 69, 70	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
72	63, 61	ltnled 9749	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
73		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
74	6	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
75		minveco.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
76	61, 63	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR )
77	76	rehalfcld 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
78	77	resqcld 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
79	63	resqcld 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
80	78, 79	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
81	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
82	63, 61, 63	ltadd1d 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
83	63	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. CC )
84	83	2timesd 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
85	84	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
86		2re 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
87		2pos 10648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
88	86, 87	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
90		ltmuldiv2 10437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
91	63, 76, 89, 90	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
92	82, 85, 91	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
93	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16	minvecolem1 25917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
94	93	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
95	93	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R C_ RR )
96	93	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R =/= (/) )
97		0re 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
98		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
99	98	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
100	99	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
101	97, 94, 100	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
102	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 e. RR )
103		infmrgelb 10543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
104	95, 96, 101, 102, 103	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
105	94, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
106	105, 17	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ S )
107		metge0 20974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
108	59, 15, 54, 107	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
109	61, 63, 108, 106	addge0d 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) )
110		divge0 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
111	76, 109, 89, 110	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
112	63, 77, 106, 111	lt2sqd 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
113	79, 78	posdifd 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
114	92, 112, 113	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
115	114	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
116	81, 115	elrpd 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
117	116	rpreccld 11291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
118	75, 117	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> T e. RR+ )
119	118	rprege0d 11288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( T e. RR /\ 0 <_ T ) )
120		flge0nn0 11957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. RR /\ 0 <_ T ) -> ( |_ ` T ) e. NN0 )
121		nn0p1nn 10856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` T ) e. NN0 -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
122	119, 120, 121	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
123	122	nnzd 10989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. ZZ )
124	50, 52	breqtrrd 4482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
126	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> A e. X )
127	77	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
128	127	rexrd 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR* )
129		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ph )
130		eluznn 11177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
131	122, 130	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
132	59	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
133	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. X )
134	18, 34	fssd 5746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : NN --> X )
135	134	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. X )
136		metcl 20961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
137	132, 133, 135, 136	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
138	129, 131, 137	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
139	138	resqcld 12339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) e. RR )
140	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> S e. RR )
141	140	resqcld 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
142	131	nnrecred 10602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
143	141, 142	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
144	78	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
145	129, 131, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
146	118	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR+ )
147	146	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR )
148		reflcl 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> ( |_ ` T ) e. RR )
149		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` T ) e. RR -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
150	147, 148, 149	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
151	131	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
152		fllep1 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
153	147, 152	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
154		eluzle 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
155	154	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
156	147, 150, 151, 153, 155	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ n )
157	75, 156	syl5eqbrr 4490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n )
158		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
159	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
160	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
161	131	nngt0d 10600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < n )
162		lediv23 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
163	158, 159, 160, 151, 161, 162	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
164	157, 163	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
165	141, 142, 144	leaddsub2d 10175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
166	164, 165	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
167	139, 143, 144, 145, 166	letrd 9756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
168	77	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
169		metge0 20974	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
170	132, 133, 135, 169	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
171	129, 131, 170	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
172	111	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
173	138, 168, 171, 172	le2sqd 12348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
174	167, 173	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
175	73, 7, 74, 123, 125, 126, 128, 174	lmle 21866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
176	61, 63, 61	leadd2d 10168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
177	61	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. CC )
178	177	2timesd 10802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) = ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
179	178	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
180		lemuldiv2 10445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
181	88, 180	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
182	61, 76, 181	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
183	176, 179, 182	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
184	183	biimpar 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
185	175, 184	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
186	185	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
187	72, 186	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
188	187	pm2.18d 111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
189	188	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
190	95	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
191	101	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
192		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
193		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
194		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
195	194	elrnmpt1 5261	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A M y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
196	192, 193, 195	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
197	196, 16	syl6eleqr 2556	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. R )
198		infmrlb 10544	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A M y ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
199	190, 191, 197, 198	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
200	17, 199	syl5eqbr 4489	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A M y ) ) )
201	62, 64, 71, 189, 200	letrd 9756	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
202	57, 201	eqbrtrrd 4478	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
203	202	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
204		oveq2 6304	. . . . . 6 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A M x ) = ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
205	204	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( N ` ( A M x ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
206	205	breq1d 4466	. . . 4 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
207	206	ralbidv 2896	. . 3 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
208	207	rspcev 3210	. 2 |- ( ( ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
209	53, 203, 208	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   |` cres 5010   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   |_cfl 11930   ^cexp 12169   ↾_t crest 14838   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   ~~> tclm 19854   Hauscha 19936   NrmCVeccnv 25604   BaseSetcba 25606   -vcnsb 25609   norm_CVcnmcv 25610   IndMetcims 25611   SubSpcss 25761   CPreHil OLDccphlo 25854   CBanccbn 25905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lm 19857  df-haus 19943  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621  df-ssp 25762  df-ph 25855  df-cbn 25906

This theorem is referenced by:  minvecolem5  25924