Theorem minvecolem4 22335

Description: Lemma for minveco 22339. The convergent point of the cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minveco.f	|- ( ph -> F : NN --> Y )
minveco.1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
minveco.t	|- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, F   n, J, x, y   x, M, y   x, N, y   ph, n, x, y   x, R   S, n, x, y   A, n, x, y   D, n, x, y   x, U, y   x, W, y   T, n   n, X, x   n, Y, x, y

Allowed substitution hints:   R( y, n)   T( x, y)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
2		phnv 22268	. . . . . 6 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
3		minveco.x	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4		minveco.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` U )
5	3, 4	imsxmet 22137	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( * Met ` X ) )
6	1, 2, 5	3syl 19	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( * Met ` X ) )
7		minveco.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
8	7	methaus 18503	. . . . 5 |- ( D e. ( * Met ` X ) -> J e. Haus )
9		lmfun 17399	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
10	6, 8, 9	3syl 19	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( ~~> t ` J ) )
11		minveco.m	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
12		minveco.n	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
13		minveco.y	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
14		minveco.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
15		minveco.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
16		minveco.r	. . . . . 6 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
17		minveco.s	. . . . . 6 |- S = sup ( R , RR , `' < )
18		minveco.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> Y )
19		minveco.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
20	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4a 22332	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
21		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
22		nnuz 10477	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
24	13, 23	eqeltri 2474	. . . . . . . 8 |- Y e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. _V )
26	1, 2	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
27	7	mopntop 18423	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( * Met ` X ) -> J e. Top )
28	26, 5, 27	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
29		elin 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) <-> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
30	14, 29	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
31	30	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
32		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
33	3, 13, 32	sspba 22179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
34	26, 31, 33	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ X )
35		xmetres2 18344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( * Met ` Y ) )
36	6, 34, 35	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( * Met ` Y ) )
37		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) )
38	37	mopntopon 18422	. . . . . . . . 9 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( * Met ` Y ) -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
39	36, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
40		lmcl 17315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) /\ F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
41	39, 20, 40	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
42		1z 10267	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
44	21, 22, 25, 28, 41, 43, 18	lmss 17316	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
45		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( D |` ( Y X. Y ) )
46	45, 7, 37	metrest 18507	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
47	6, 34, 46	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
48	47	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) = ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
49	48	breqd 4183	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
50	44, 49	bitrd 245	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
51	20, 50	mpbird 224	. . . 4 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
52		funbrfv 5724	. . . 4 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
53	10, 51, 52	sylc 58	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
54	53, 41	eqeltrd 2478	. 2 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y )
55	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4b 22333	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X )
56	3, 11, 12, 4	imsdval 22131	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
57	26, 15, 55, 56	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
58	57	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
59	3, 4	imsmet 22136	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
60	1, 2, 59	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
61		metcl 18315	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
62	60, 15, 55, 61	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
63	62	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR )
64	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19	minvecolem4c 22334	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
65	64	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
66	26	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
67	15	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
68	34	sselda 3308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
69	3, 11	nvmcl 22081	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
71	3, 12	nvcl 22101	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
72	66, 70, 71	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
73	64, 62	ltnled 9176	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
74		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
75	6	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> D e. ( * Met ` X ) )
76		minveco.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
77	62, 64	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR )
78	77	rehalfcld 10170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
79	78	resqcld 11504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
80	64	resqcld 11504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
81	79, 80	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
82	81	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
83	64, 62, 64	ltadd1d 9575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
84	64	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. CC )
85	84	2timesd 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
86	85	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
87		2re 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
88		2pos 10038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
89	87, 88	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
91		ltmuldiv2 9837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
92	64, 77, 90, 91	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
93	83, 86, 92	3bitr2d 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
94	3, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16	minvecolem1 22329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
95	94	simp3d 971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
96	94	simp1d 969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R C_ RR )
97	94	simp2d 970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> R =/= (/) )
98		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
99		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
100	99	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
101	100	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
102	98, 95, 101	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
103	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 e. RR )
104		infmrgelb 9944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
105	96, 97, 102, 103, 104	syl31anc 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
106	95, 105	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
107	106, 17	syl6breqr 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ S )
108		metge0 18328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
109	60, 15, 55, 108	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 0 <_ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
110	62, 64, 109, 107	addge0d 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) )
111		divge0 9835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
112	77, 110, 90, 111	syl21anc 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
113	64, 78, 107, 112	lt2sqd 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
114	80, 79	posdifd 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
115	93, 113, 114	3bitrd 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
116	115	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
117	82, 116	elrpd 10602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
118	117	rpreccld 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
119	76, 118	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> T e. RR+ )
120	119	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( T e. RR /\ 0 <_ T ) )
121		flge0nn0 11180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. RR /\ 0 <_ T ) -> ( |_ ` T ) e. NN0 )
122		nn0p1nn 10215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` T ) e. NN0 -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
123	120, 121, 122	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN )
124	123	nnzd 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. ZZ )
125	51, 53	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
126	125	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` F ) )
127	15	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> A e. X )
128	78	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
129	128	rexrd 9090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR* )
130		simpll 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ph )
131	22	uztrn2 10459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
132	123, 131	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
133	60	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
134	15	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. X )
135		fss 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> Y /\ Y C_ X ) -> F : NN --> X )
136	18, 34, 135	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : NN --> X )
137	136	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. X )
138		metcl 18315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
139	133, 134, 137, 138	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
140	130, 132, 139	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
141	140	resqcld 11504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) e. RR )
142	64	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> S e. RR )
143	142	resqcld 11504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
144	132	nnrecred 10001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
145	143, 144	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
146	79	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
147	130, 132, 19	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
148	119	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR+ )
149	148	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T e. RR )
150		reflcl 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> ( |_ ` T ) e. RR )
151		peano2re 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` T ) e. RR -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
152	149, 150, 151	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) e. RR )
153	132	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
154		fllep1 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T e. RR -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
155	149, 154	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ ( ( |_ ` T ) + 1 ) )
156		eluzle 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
157	156	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` T ) + 1 ) <_ n )
158	149, 152, 153, 155, 157	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> T <_ n )
159	76, 158	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n )
160		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
162	81	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
163	116	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
164	132	nngt0d 9999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 < n )
165		lediv23 9858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
166	161, 162, 163, 153, 164, 165	syl122anc 1193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
167	159, 166	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
168	143, 144, 146	leaddsub2d 9584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> ( 1 / n ) <_ ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
169	167, 168	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
170	141, 145, 146, 147, 169	letrd 9183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
171	78	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) e. RR )
172		metge0 18328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
173	133, 134, 137, 172	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
174	130, 132, 173	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A D ( F ` n ) ) )
175	112	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
176	140, 171, 174, 175	le2sqd 11513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
177	170, 176	mpbird 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` T ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
178	74, 7, 75, 124, 126, 127, 129, 177	lmle 19207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) )
179	62, 64, 62	leadd2d 9577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
180	62	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. CC )
181	180	2timesd 10166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) = ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
182	181	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) ) )
183		lemuldiv2 9846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
184	89, 183	mp3an3 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) e. RR /\ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
185	62, 77, 184	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
186	179, 182, 185	3bitr2d 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S <-> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) )
187	186	biimpar 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
188	178, 187	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
189	188	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
190	73, 189	sylbird 227	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S ) )
191	190	pm2.18d 105	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
192	191	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ S )
193	96	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
194	102	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
195		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
196		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
197		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
198	197	elrnmpt1 5078	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A M y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
199	195, 196, 198	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
200	199, 16	syl6eleqr 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. R )
201		infmrlb 9945	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A M y ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
202	193, 194, 200, 201	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
203	17, 202	syl5eqbr 4205	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A M y ) ) )
204	63, 65, 72, 192, 203	letrd 9183	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
205	58, 204	eqbrtrrd 4194	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
206	205	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
207		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A M x ) = ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) )
208	207	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( N ` ( A M x ) ) = ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) )
209	208	breq1d 4182	. . . 4 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
210	209	ralbidv 2686	. . 3 |- ( x = ( ( ~~> t ` J ) ` F ) -> ( A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
211	210	rspcev 3012	. 2 |- ( ( ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A M ( ( ~~> t ` J ) ` F ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
212	54, 206, 211	syl2anc 643	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   |` cres 4839   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   |_cfl 11156   ^cexp 11337   ↾_t crest 13603   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   MetOpencmopn 16646   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   ~~> tclm 17244   Hauscha 17326   NrmCVeccnv 22016   BaseSetcba 22018   -vcnsb 22021   norm_CVcnmcv 22022   IndMetcims 22023   SubSpcss 22173   CPreHil OLDccphlo 22266   CBanccbn 22317

This theorem is referenced by:  minvecolem5  22336

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lm 17247  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318