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Theorem minvecolem4 24249
Description: Lemma for minveco 24253. The convergent point of the cauchy sequence  F attains the minimum distance, and so is closer to  A than any other point in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
minveco.t  |-  T  =  ( 1  /  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, F    n, J, x, y    x, M, y   
x, N, y    ph, n, x, y    x, R    S, n, x, y    A, n, x, y    D, n, x, y    x, U, y    x, W, y    T, n    n, X, x   
n, Y, x, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    T( x, y)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
2 phnv 24182 . . . . . 6  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
3 minveco.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 minveco.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  U )
53, 4imsxmet 24051 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
61, 2, 53syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7 minveco.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
87methaus 20075 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
9 lmfun 18965 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
106, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( ~~> t `  J ) )
11 minveco.m . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
12 minveco.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
13 minveco.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
14 minveco.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
15 minveco.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
16 minveco.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
17 minveco.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
18 minveco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
19 minveco.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
203, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4a 24246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )
21 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
22 nnuz 10888 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
2413, 23eqeltri 2508 . . . . . . . 8  |-  Y  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
261, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
277mopntop 19995 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
2826, 5, 273syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
29 elin 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
3014, 29sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
3130simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
333, 13, 32sspba 24093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
3426, 31, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
35 xmetres2 19916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
366, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
37 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3837mopntopon 19994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
3936, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )
)
40 lmcl 18881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  e.  (TopOn `  Y )  /\  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) )  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
4139, 20, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  e.  Y )
42 1zzd 10669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4321, 22, 25, 28, 41, 42, 18lmss 18882 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
44 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
4544, 7, 37metrest 20079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
466, 34, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
4746fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  ( Jt  Y ) )  =  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) )
4847breqd 4298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  Y ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
4943, 48bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
)  <->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F ) ) )
5020, 49mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
51 funbrfv 5725 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( F
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ) `
 F )  -> 
( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) ) )
5210, 50, 51sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) `  F
) )
5352, 41eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y )
543, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4b 24247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  X )
553, 11, 12, 4imsdval 24045 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
5626, 15, 54, 55syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  =  ( N `
 ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
583, 4imsmet 24050 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
591, 2, 583syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
60 metcl 19887 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  e.  RR )
6159, 15, 54, 60syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR )
6261adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  e.  RR )
633, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16, 17, 18, 19minvecolem4c 24248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
6463adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
6526adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
6615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
6734sselda 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
683, 11nvmcl 23995 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
6965, 66, 67, 68syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
703, 12nvcl 24015 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
7165, 69, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
7263, 61ltnled 9513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  -.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
) )
73 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  T )  +  1 ) )
746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
75 minveco.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( 1  /  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
7661, 63readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR )
7776rehalfcld 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  e.  RR )
7877resqcld 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR )
7963resqcld 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
8078, 79resubcld 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
8263, 61, 63ltadd1d 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  ( S  +  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S ) ) )
8363recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
84832timesd 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( S  +  S ) )
8584breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( S  +  S
)  <  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
86 2re 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
87 2pos 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
8886, 87pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
90 ltmuldiv2 10195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  S )  <  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  S  <  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
9163, 76, 89, 90syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
S  <  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
9282, 85, 913bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  S  <  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
933, 11, 12, 13, 1, 14, 15, 4, 7, 16minvecolem1 24243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9493simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
9593simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
9693simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
97 0re 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
98 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
9998ralbidv 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10099rspcev 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
10197, 94, 100sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
10297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
103 infmrgelb 10302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10495, 96, 101, 102, 103syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
10594, 104mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
106105, 17syl6breqr 4327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
107 metge0 19900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  F )  e.  X )  ->  0  <_  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )
10859, 15, 54, 107syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )
10961, 63, 108, 106addge0d 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) )
110 divge0 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
11176, 109, 89, 110syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) )
11263, 77, 106, 111lt2sqd 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( S ^ 2 )  <  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
11379, 78posdifd 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
11492, 112, 1133bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
115114biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
11681, 115elrpd 11017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR+ )
117116rpreccld 11029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  e.  RR+ )
11875, 117syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
119118rprege0d 11026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T ) )
120 flge0nn0 11658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  RR  /\  0  <_  T )  -> 
( |_ `  T
)  e.  NN0 )
121 nn0p1nn 10611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  T )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN )
122119, 120, 1213syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN )
123122nnzd 10738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  ZZ )
12450, 52breqtrrd 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  F ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  F
) )
12615adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  A  e.  X )
12777adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 )  e.  RR )
128127rexrd 9425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 )  e. 
RR* )
129 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ph )
130 eluznn 10917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( |_ `  T )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
131122, 130sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
13259adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
13315adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  X )
134 fss 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  Y  C_  X )  ->  F : NN --> X )
13518, 34, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
136135ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  X )
137 metcl 19887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
138132, 133, 136, 137syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
139129, 131, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  e.  RR )
140139resqcld 12026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
14163ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  S  e.  RR )
142141resqcld 12026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( S ^
2 )  e.  RR )
143131nnrecred 10359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
144142, 143readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
14578ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  e.  RR )
146129, 131, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
147118adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
148147rpred 11019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
149 reflcl 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  RR  ->  ( |_ `  T )  e.  RR )
150 peano2re 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  T )  e.  RR  ->  (
( |_ `  T
)  +  1 )  e.  RR )
151148, 149, 1503syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  T )  +  1 )  e.  RR )
152131nnred 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
153 fllep1 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  RR  ->  T  <_  ( ( |_ `  T )  +  1 ) )
154148, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  <_  (
( |_ `  T
)  +  1 ) )
155 eluzle 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  T
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  T )  +  1 )  <_  n
)
156155adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  T )  +  1 )  <_  n
)
157148, 151, 152, 154, 156letrd 9520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  T  <_  n
)
15875, 157syl5eqbrr 4321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n )
159 1red 9393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
16080ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
161115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
162131nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <  n
)
163 lediv23 10216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
164159, 160, 161, 152, 162, 163syl122anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
165158, 164mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
166142, 143, 145leaddsub2d 9933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_ 
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  n )  <_  (
( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
167165, 166mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) )
168140, 144, 145, 146, 167letrd 9520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) )
16977ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 )  e.  RR )
170 metge0 19900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  0  <_  ( A D ( F `  n ) ) )
171132, 133, 136, 170syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( A D ( F `  n ) ) )
172129, 131, 171syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A D ( F `  n ) ) )
173111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
174139, 169, 172, 173le2sqd 12035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) )  <_ 
( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
175168, 174mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  T )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
17673, 7, 74, 123, 125, 126, 128, 175lmle 20792 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )
17761, 63, 61leadd2d 9926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  <->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
17861recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  CC )
1791782timesd 10559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  =  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) ) )
180179breq1d 4297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  <_  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  <_  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
) ) )
181 lemuldiv2 10204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
18288, 181mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  e.  RR  /\  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) ) )
18361, 76, 182syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )  <_  (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  <-> 
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  ( (
( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  +  S )  /  2 ) ) )
184177, 180, 1833bitr2d 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  <->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  <_  ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) )  +  S )  / 
2 ) ) )
185184biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  (
( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  +  S
)  /  2 ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
186176, 185syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
187186ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
) )
18872, 187sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  S )
)
189188pm2.18d 111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J
) `  F )
)  <_  S )
190189adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  S
)
19195adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
192101adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
193 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
194 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
195 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
196195elrnmpt1 5083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V )  -> 
( N `  ( A M y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) )
197193, 194, 196sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) )
198197, 16syl6eleqr 2529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  R )
199 infmrlb 10303 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A M y ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
200191, 192, 198, 199syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20117, 200syl5eqbr 4320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20262, 64, 71, 190, 201letrd 9520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  F
) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
20357, 202eqbrtrrd 4309 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
204203ralrimiva 2794 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
205 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( A M x )  =  ( A M ( ( ~~> t `  J
) `  F )
) )
206205fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( N `  ( A M x ) )  =  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) ) )
207206breq1d 4297 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `
 F ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
208207ralbidv 2730 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) ) )
209208rspcev 3068 . 2  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  F
)  e.  Y  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M ( ( ~~> t `  J ) `  F
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
21053, 204, 209syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836    |` cres 4837   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   |_cfl 11632   ^cexp 11857   ↾t crest 14351   *Metcxmt 17781   Metcme 17782   MetOpencmopn 17786   Topctop 18478  TopOnctopon 18479   ~~> tclm 18810   Hauscha 18892   NrmCVeccnv 23930   BaseSetcba 23932   -vcnsb 23935   normCVcnmcv 23936   IndMetcims 23937   SubSpcss 24087   CPreHil OLDccphlo 24180   CBanccbn 24231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lm 18813  df-haus 18899  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-cfil 20746  df-cau 20747  df-cmet 20748  df-grpo 23646  df-gid 23647  df-ginv 23648  df-gdiv 23649  df-ablo 23737  df-vc 23892  df-nv 23938  df-va 23941  df-ba 23942  df-sm 23943  df-0v 23944  df-vs 23945  df-nmcv 23946  df-ims 23947  df-ssp 24088  df-ph 24181  df-cbn 24232
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