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Theorem minvecolem3OLD 26609
Description: Lemma for minvecoOLD 26617. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) Obsolete version of minvecolem3 26599 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecoOLD.x |- X = ( BaseSet ` U )
minvecoOLD.m |- M = ( -v ` U )
minvecoOLD.n |- N = ( normCV ` U )
minvecoOLD.y |- Y = ( BaseSet ` W )
minvecoOLD.u |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minvecoOLD.w |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minvecoOLD.a |- ( ph -> A e. X )
minvecoOLD.d |- D = ( IndMet ` U )
minvecoOLD.j |- J = ( MetOpen ` D )
minvecoOLD.r |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minvecoOLD.s |- S = sup ( R , RR , `' < )
minvecoOLD.f |- ( ph -> F : NN --> Y )
minvecoOLD.1 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem3OLD |- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )
Distinct variable groups:   y, n, F   n, J, y   y, M   y, N   ph, n, y   S, n, y   A, n, y   D, n, y   y, U   y, W   n, X   n, Y, y
Allowed substitution hints:   R( y, n)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)
Proof of Theorem minvecolem3OLD
Dummy variables j x w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10708 . . . . . . 7 |- 4 e. RR
2 4pos 10727 . . . . . . 7 |- 0 < 4
31, 2elrpii 11328 . . . . . 6 |- 4 e. RR+
4 simpr 468 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
5 2z 10993 . . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
6 rpexpcl 12329 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
74, 5, 6sylancl 675 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
8 rpdivcl 11348 . . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR+ )
93, 7, 8sylancr 676 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR+ )
10 rprege0 11339 . . . . 5 |- ( ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR+ -> ( ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) )
11 flge0nn0 12087 . . . . 5 |- ( ( ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
12 nn0p1nn 10933 . . . . 5 |- ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. NN )
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. NN )
14 minvecoOLD.u . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
15 phnv 26536 . . . . . . . . . . 11 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
16 minvecoOLD.x . . . . . . . . . . . 12 |- X = ( BaseSet ` U )
17 minvecoOLD.d . . . . . . . . . . . 12 |- D = ( IndMet ` U )
1816, 17imsmet 26404 . . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
2019ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
22 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) C_ ( SubSp ` U )
23 minvecoOLD.w . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
2422, 23sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
25 minvecoOLD.y . . . . . . . . . . . . 13 |- Y = ( BaseSet ` W )
26 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
2716, 25, 26sspba 26447 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
2821, 24, 27syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y C_ X )
2928ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> Y C_ X )
30 minvecoOLD.f . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> Y )
3130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> F : NN --> Y )
3213adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. NN )
3331, 32ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. Y )
3429, 33sseldd 3419 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. X )
35 eluznn 11252 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
3613, 35sylan 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
3731, 36ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. Y )
3829, 37sseldd 3419 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. X )
39 metcl 21425 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) e. RR )
4020, 34, 38, 39syl3anc 1292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) e. RR )
4140resqcld 12480 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) ^ 2 ) e. RR )
4232nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
4342rpreccld 11374 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
44 rpmulcl 11347 . . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. RR+ /\ ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ ) -> ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
453, 43, 44sylancr 676 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
4645rpred 11364 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
477adantr 472 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
4847rpred 11364 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
49 minvecoOLD.m . . . . . . . 8 |- M = ( -v ` U )
50 minvecoOLD.n . . . . . . . 8 |- N = ( normCV ` U )
5114ad2antrr 740 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> U e. CPreHil OLD )
5223ad2antrr 740 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
53 minvecoOLD.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. X )
5453ad2antrr 740 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> A e. X )
55 minvecoOLD.j . . . . . . . 8 |- J = ( MetOpen ` D )
56 minvecoOLD.r . . . . . . . 8 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
57 minvecoOLD.s . . . . . . . 8 |- S = sup ( R , RR , `' < )
5813nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
5958rpreccld 11374 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
6059adantr 472 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
6160rpred 11364 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. RR )
6260rpge0d 11368 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) )
6330adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> F : NN --> Y )
6463ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. Y )
6536, 64syldan 478 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. Y )
66 minvecoOLD.1 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
6766ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. NN ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
6867ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> A. n e. NN ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
69 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) )
7069oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( A D ( F ` n ) ) = ( A D ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
7170oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) = ( ( A D ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ^ 2 ) )
72 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) )
7372oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
7471, 73breq12d 4408 . . . . . . . . . 10 |- ( n = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <-> ( ( A D ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
7574rspcv 3132 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. NN -> ( A. n e. NN ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) -> ( ( A D ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
7632, 68, 75sylc 61 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
7729, 65sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. X )
78 metcl 21425 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
7920, 54, 77, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( A D ( F ` n ) ) e. RR )
8079resqcld 12480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) e. RR )
8116, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 26597 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
82 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
83 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
8483ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
8584rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
8682, 85mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. R 0 <_ w -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
87863anim3i 1218 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) )
88 infmrclOLD 10615 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
8981, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
9057, 89syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. RR )
9190resqcld 12480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
9291ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
9336nnrecred 10677 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
9492, 93readdcld 9688 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
9592, 61readdcld 9688 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
9666adantlr 729 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
9736, 96syldan 478 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
98 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) <_ n )
9998adantl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) <_ n )
10042rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) )
101 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR )
102 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 < n )
103101, 102jca 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
10436, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
105 lerec 10511 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
106100, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) <_ n <-> ( 1 / n ) <_ ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
10799, 106mpbid 215 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) )
10893, 61, 92, 107leadd2dd 10249 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
10980, 94, 95, 97, 108letrd 9809 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
11016, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 76, 109minvecolem2OLD 26608 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
111 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ 4 e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / 4 ) e. RR+ )
11247, 3, 111sylancl 675 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / 4 ) e. RR+ )
113 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ^ 2 ) e. RR+ -> ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ ( x ^ 2 ) =/= 0 ) )
11447, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ ( x ^ 2 ) =/= 0 ) )
115 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 e. RR+ -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
1163, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 )
117 recdiv 10335 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ ( x ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( ( x ^ 2 ) / 4 ) ) = ( 4 / ( x ^ 2 ) ) )
118114, 116, 117sylancl 675 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( x ^ 2 ) / 4 ) ) = ( 4 / ( x ^ 2 ) ) )
1199adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR+ )
120119rpred 11364 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR )
121 flltp1 12069 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 / ( x ^ 2 ) ) e. RR -> ( 4 / ( x ^ 2 ) ) < ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 4 / ( x ^ 2 ) ) < ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) )
123118, 122eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( x ^ 2 ) / 4 ) ) < ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) )
124112, 42, 123ltrec1d 11384 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) < ( ( x ^ 2 ) / 4 ) )
1251, 2pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
126 ltmuldiv2 10501 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) < ( x ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) < ( ( x ^ 2 ) / 4 ) ) )
127125, 126mp3an3 1379 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) < ( x ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) < ( ( x ^ 2 ) / 4 ) ) )
12861, 48, 127syl2anc 673 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) < ( x ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) < ( ( x ^ 2 ) / 4 ) ) )
129124, 128mpbird 240 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( 4 x. ( 1 / ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) < ( x ^ 2 ) )
13041, 46, 48, 110, 129lelttrd 9810 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) ^ 2 ) < ( x ^ 2 ) )
131 metge0 21438 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> 0 <_ ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) )
13220, 34, 38, 131syl3anc 1292 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) )
133 rprege0 11339 . . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
134133ad2antlr 741 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
135 lt2sq 12386 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) < x <-> ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) ^ 2 ) < ( x ^ 2 ) ) )
13640, 132, 134, 135syl21anc 1291 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) < x <-> ( ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) ^ 2 ) < ( x ^ 2 ) ) )
137130, 136mpbird 240 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) < x )
138137ralrimiva 2809 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) < x )
139 fveq2 5879 . . . . . 6 |- ( j = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) )
140 fveq2 5879 . . . . . . . 8 |- ( j = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( F ` j ) = ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) )
141140oveq1d 6323 . . . . . . 7 |- ( j = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( ( F ` j ) D ( F ` n ) ) = ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) )
142141breq1d 4405 . . . . . 6 |- ( j = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( ( ( F ` j ) D ( F ` n ) ) < x <-> ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) < x ) )
143139, 142raleqbidv 2987 . . . . 5 |- ( j = ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` n ) ) < x <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) < x ) )
144143rspcev 3136 . . . 4 |- ( ( ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) ( ( F ` ( ( |_ ` ( 4 / ( x ^ 2 ) ) ) + 1 ) ) D ( F ` n ) ) < x ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` n ) ) < x )
14513, 138, 144syl2anc 673 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` n ) ) < x )
146145ralrimiva 2809 . 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` n ) ) < x )
147 nnuz 11218 . . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14816, 17imsxmet 26405 . . . 4 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` X ) )
14914, 15, 1483syl 18 . . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
150 1zzd 10992 . . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
151 eqidd 2472 . . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( F ` n ) )
152 eqidd 2472 . . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
15330, 28fssd 5750 . . 3 |- ( ph -> F : NN --> X )
154147, 149, 150, 151, 152, 153iscauf 22328 . 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. x e. RR+ E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` j ) D ( F ` n ) ) < x ) )
155146, 154mpbird 240 1 |- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   4c4 10683   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   |_cfl 12059   ^cexp 12310   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   MetOpencmopn 19037   Caucca 22301   NrmCVeccnv 26284   BaseSetcba 26286   -vcnsb 26289   normCVcnmcv 26290   IndMetcims 26291   SubSpcss 26441   CPreHil OLDccphlo 26534   CBanccbn 26585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-cau 22304  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-ssp 26442  df-ph 26535  df-cbn 26586
This theorem is referenced by:  minvecolem4aOLD  26610
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