Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem3OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem minvecolem3OLD 26609
 Description: Lemma for minvecoOLD 26617. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) Obsolete version of minvecolem3 26599 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecoOLD.x
minvecoOLD.m
minvecoOLD.n CV
minvecoOLD.y
minvecoOLD.u
minvecoOLD.w
minvecoOLD.a
minvecoOLD.d
minvecoOLD.j
minvecoOLD.r
minvecoOLD.s
minvecoOLD.f
minvecoOLD.1
Assertion
Ref Expression
minvecolem3OLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem minvecolem3OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10708 . . . . . . 7
2 4pos 10727 . . . . . . 7
31, 2elrpii 11328 . . . . . 6
4 simpr 468 . . . . . . 7
5 2z 10993 . . . . . . 7
6 rpexpcl 12329 . . . . . . 7
74, 5, 6sylancl 675 . . . . . 6
8 rpdivcl 11348 . . . . . 6
93, 7, 8sylancr 676 . . . . 5
10 rprege0 11339 . . . . 5
11 flge0nn0 12087 . . . . 5
12 nn0p1nn 10933 . . . . 5
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4
14 minvecoOLD.u . . . . . . . . . . 11
15 phnv 26536 . . . . . . . . . . 11
16 minvecoOLD.x . . . . . . . . . . . 12
17 minvecoOLD.d . . . . . . . . . . . 12
1816, 17imsmet 26404 . . . . . . . . . . 11
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10
2019ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12
22 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13
23 minvecoOLD.w . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
25 minvecoOLD.y . . . . . . . . . . . . 13
26 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
2716, 25, 26sspba 26447 . . . . . . . . . . . 12
2821, 24, 27syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
2928ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
30 minvecoOLD.f . . . . . . . . . . . 12
3130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
3213adantr 472 . . . . . . . . . . 11
3331, 32ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
3429, 33sseldd 3419 . . . . . . . . 9
35 eluznn 11252 . . . . . . . . . . . 12
3613, 35sylan 479 . . . . . . . . . . 11
3731, 36ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
3829, 37sseldd 3419 . . . . . . . . 9
39 metcl 21425 . . . . . . . . 9
4020, 34, 38, 39syl3anc 1292 . . . . . . . 8
4140resqcld 12480 . . . . . . 7
4232nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10
4342rpreccld 11374 . . . . . . . . 9
44 rpmulcl 11347 . . . . . . . . 9
453, 43, 44sylancr 676 . . . . . . . 8
4645rpred 11364 . . . . . . 7
477adantr 472 . . . . . . . 8
4847rpred 11364 . . . . . . 7
49 minvecoOLD.m . . . . . . . 8
50 minvecoOLD.n . . . . . . . 8 CV
5114ad2antrr 740 . . . . . . . 8
5223ad2antrr 740 . . . . . . . 8
53 minvecoOLD.a . . . . . . . . 9
5453ad2antrr 740 . . . . . . . 8
55 minvecoOLD.j . . . . . . . 8
56 minvecoOLD.r . . . . . . . 8
57 minvecoOLD.s . . . . . . . 8
5813nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11
5958rpreccld 11374 . . . . . . . . . 10
6059adantr 472 . . . . . . . . 9
6160rpred 11364 . . . . . . . 8
6260rpge0d 11368 . . . . . . . 8
6330adantr 472 . . . . . . . . . 10
6463ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
6536, 64syldan 478 . . . . . . . 8
66 minvecoOLD.1 . . . . . . . . . . 11
6766ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10
6867ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
69 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
7069oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
7170oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
72 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
7372oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
7471, 73breq12d 4408 . . . . . . . . . 10
7574rspcv 3132 . . . . . . . . 9
7632, 68, 75sylc 61 . . . . . . . 8
7729, 65sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
78 metcl 21425 . . . . . . . . . . 11
7920, 54, 77, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
8079resqcld 12480 . . . . . . . . 9
8116, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 26597 . . . . . . . . . . . . . 14
82 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8584rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8682, 85mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . 15
87863anim3i 1218 . . . . . . . . . . . . . 14
88 infmrclOLD 10615 . . . . . . . . . . . . . 14
8981, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
9057, 89syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12
9190resqcld 12480 . . . . . . . . . . 11
9291ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
9336nnrecred 10677 . . . . . . . . . 10
9492, 93readdcld 9688 . . . . . . . . 9
9592, 61readdcld 9688 . . . . . . . . 9
9666adantlr 729 . . . . . . . . . 10
9736, 96syldan 478 . . . . . . . . 9
98 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . 12
9998adantl 473 . . . . . . . . . . 11
10042rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . 12
101 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . 14
102 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . . . 14
103101, 102jca 541 . . . . . . . . . . . . 13
10436, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12
105 lerec 10511 . . . . . . . . . . . 12
106100, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
10799, 106mpbid 215 . . . . . . . . . 10
10893, 61, 92, 107leadd2dd 10249 . . . . . . . . 9
10980, 94, 95, 97, 108letrd 9809 . . . . . . . 8
11016, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 76, 109minvecolem2OLD 26608 . . . . . . 7
111 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . 10
11247, 3, 111sylancl 675 . . . . . . . . 9
113 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . 12
11447, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11
115 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . 12
1163, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
117 recdiv 10335 . . . . . . . . . . 11
118114, 116, 117sylancl 675 . . . . . . . . . 10
1199adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
120119rpred 11364 . . . . . . . . . . 11
121 flltp1 12069 . . . . . . . . . . 11
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10
123118, 122eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9
124112, 42, 123ltrec1d 11384 . . . . . . . 8
1251, 2pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10
126 ltmuldiv2 10501 . . . . . . . . . 10
127125, 126mp3an3 1379 . . . . . . . . 9
12861, 48, 127syl2anc 673 . . . . . . . 8
129124, 128mpbird 240 . . . . . . 7
13041, 46, 48, 110, 129lelttrd 9810 . . . . . 6
131 metge0 21438 . . . . . . . 8
13220, 34, 38, 131syl3anc 1292 . . . . . . 7
133 rprege0 11339 . . . . . . . 8
134133ad2antlr 741 . . . . . . 7
135 lt2sq 12386 . . . . . . 7
13640, 132, 134, 135syl21anc 1291 . . . . . 6
137130, 136mpbird 240 . . . . 5
138137ralrimiva 2809 . . . 4
139 fveq2 5879 . . . . . 6
140 fveq2 5879 . . . . . . . 8
141140oveq1d 6323 . . . . . . 7
142141breq1d 4405 . . . . . 6
143139, 142raleqbidv 2987 . . . . 5
144143rspcev 3136 . . . 4
14513, 138, 144syl2anc 673 . . 3
146145ralrimiva 2809 . 2
147 nnuz 11218 . . 3
14816, 17imsxmet 26405 . . . 4
14914, 15, 1483syl 18 . . 3
150 1zzd 10992 . . 3
151 eqidd 2472 . . 3
152 eqidd 2472 . . 3
15330, 28fssd 5750 . . 3
154147, 149, 150, 151, 152, 153iscauf 22328 . 2
155146, 154mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c4 10683  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfl 12059  cexp 12310  cxmt 19032  cme 19033  cmopn 19037  cca 22301  cnv 26284  cba 26286  cnsb 26289  CVcnmcv 26290  cims 26291  css 26441  ccphlo 26534  ccbn 26585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-cau 22304  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-ssp 26442  df-ph 26535  df-cbn 26586 This theorem is referenced by:  minvecolem4aOLD  26610
 Copyright terms: Public domain W3C validator