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Theorem minvecolem3OLD 26609
Description: Lemma for minvecoOLD 26617. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) Obsolete version of minvecolem3 26599 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecoOLD.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minvecoOLD.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minvecoOLD.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minvecoOLD.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minvecoOLD.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minvecoOLD.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minvecoOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvecoOLD.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minvecoOLD.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minvecoOLD.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minvecoOLD.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecoOLD.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minvecoOLD.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem3OLD  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem3OLD
Dummy variables  j  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10708 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
2 4pos 10727 . . . . . . 7  |-  0  <  4
31, 2elrpii 11328 . . . . . 6  |-  4  e.  RR+
4 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5 2z 10993 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
6 rpexpcl 12329 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
74, 5, 6sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
8 rpdivcl 11348 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
93, 7, 8sylancr 676 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 4  /  ( x ^
2 ) )  e.  RR+ )
10 rprege0 11339 . . . . 5  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) ) )
11 flge0nn0 12087 . . . . 5  |-  ( ( ( 4  /  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  -> 
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
12 nn0p1nn 10933 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
14 minvecoOLD.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
15 phnv 26536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
16 minvecoOLD.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 minvecoOLD.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( IndMet `  U )
1816, 17imsmet 26404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2019ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
22 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
23 minvecoOLD.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
2422, 23sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
25 minvecoOLD.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
26 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
2716, 25, 26sspba 26447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
2821, 24, 27syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2928ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  Y  C_  X
)
30 minvecoOLD.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
3130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> Y )
3213adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
3331, 32ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  Y
)
3429, 33sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X
)
35 eluznn 11252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3613, 35sylan 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3731, 36ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
3829, 37sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
39 metcl 21425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
4020, 34, 38, 39syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
4140resqcld 12480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
4232nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4342rpreccld 11374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
44 rpmulcl 11347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
453, 43, 44sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
4645rpred 11364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
477adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
4847rpred 11364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
49 minvecoOLD.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
50 minvecoOLD.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( normCV `  U )
5114ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
5223ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
53 minvecoOLD.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5453ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A  e.  X
)
55 minvecoOLD.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
56 minvecoOLD.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
57 minvecoOLD.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
5813nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
5958rpreccld 11374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6059adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6160rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
6260rpge0d 11368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
6330adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> Y )
6463ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  Y )
6536, 64syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
66 minvecoOLD.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
6766ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
6867ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
69 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7069oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A D ( F `  n ) )  =  ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7170oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7372oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7471, 73breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7574rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  ->  (
( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7632, 68, 75sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7729, 65sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
78 metcl 21425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
7920, 54, 77, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  e.  RR )
8079resqcld 12480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
8116, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 26597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
82 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
83 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8483ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
8682, 85mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
87863anim3i 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
) )
88 infmrclOLD 10615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8981, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
9057, 89syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
9190resqcld 12480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
9291ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( S ^
2 )  e.  RR )
9336nnrecred 10677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
9492, 93readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
9592, 61readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9666adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9736, 96syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
98 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
9998adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
10042rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
101 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
102 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  n )
103101, 102jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
10436, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )
105 lerec 10511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
106100, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  <_  n 
<->  ( 1  /  n
)  <_  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10799, 106mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
10893, 61, 92, 107leadd2dd 10249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10980, 94, 95, 97, 108letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
11016, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 76, 109minvecolem2OLD 26608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
111 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  4 )  e.  RR+ )
11247, 3, 111sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
4 )  e.  RR+ )
113 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x ^ 2 )  =/=  0 ) )
11447, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 ) )
115 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
1163, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
117 recdiv 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )
118114, 116, 117sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  =  ( 4  /  ( x ^ 2 ) ) )
1199adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
120119rpred 11364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR )
121 flltp1 12069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  <  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
123118, 122eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
124112, 42, 123ltrec1d 11384 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )
1251, 2pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
126 ltmuldiv2 10501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  ( x ^
2 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  < 
( ( x ^
2 )  /  4
) ) )
127125, 126mp3an3 1379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
12861, 48, 127syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
129124, 128mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  (
x ^ 2 ) )
13041, 46, 48, 110, 129lelttrd 9810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) )
131 metge0 21438 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) )
13220, 34, 38, 131syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) )
133 rprege0 11339 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
134133ad2antlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
135 lt2sq 12386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  < 
( x ^ 2 ) ) )
13640, 132, 134, 135syl21anc 1291 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x  <->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) ) )
137130, 136mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
)
138137ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x )
139 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
140 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
141140oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  =  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )
142141breq1d 4405 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x  <->  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
) )
143139, 142raleqbidv 2987 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x ) )
144143rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
14513, 138, 144syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
146145ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x )
147 nnuz 11218 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14816, 17imsxmet 26405 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14914, 15, 1483syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
150 1zzd 10992 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
151 eqidd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  n
) )
152 eqidd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
15330, 28fssd 5750 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
154147, 149, 150, 151, 152, 153iscauf 22328 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
155146, 154mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   4c4 10683   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   |_cfl 12059   ^cexp 12310   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   MetOpencmopn 19037   Caucca 22301   NrmCVeccnv 26284   BaseSetcba 26286   -vcnsb 26289   normCVcnmcv 26290   IndMetcims 26291   SubSpcss 26441   CPreHil OLDccphlo 26534   CBanccbn 26585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-cau 22304  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-ssp 26442  df-ph 26535  df-cbn 26586
This theorem is referenced by:  minvecolem4aOLD  26610
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