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Theorem minvecolem3 25496
Description: Lemma for minveco 25504. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables  j  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10612 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
2 4pos 10631 . . . . . . 7  |-  0  <  4
31, 2elrpii 11223 . . . . . 6  |-  4  e.  RR+
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5 2z 10896 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
6 rpexpcl 12153 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
8 rpdivcl 11242 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
93, 7, 8sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 4  /  ( x ^
2 ) )  e.  RR+ )
10 rprege0 11234 . . . . 5  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) ) )
11 flge0nn0 11922 . . . . 5  |-  ( ( ( 4  /  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  -> 
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
12 nn0p1nn 10835 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
139, 10, 11, 124syl 21 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
15 phnv 25433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( IndMet `  U )
1816, 17imsmet 25301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1914, 15, 183syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2114, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
22 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
2422, 23sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
2716, 25, 26sspba 25344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
2821, 24, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  Y  C_  X
)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> Y )
3213adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
3331, 32ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  Y
)
3429, 33sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X
)
35 eluznn 11152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3613, 35sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3731, 36ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
3829, 37sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
39 metcl 20598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
4020, 34, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
4140resqcld 12304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
4232nnrpd 11255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4342rpreccld 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
44 rpmulcl 11241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
453, 43, 44sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
4645rpred 11256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
477adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
4847rpred 11256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
49 minveco.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
50 minveco.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( normCV `  U )
5114ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
5223ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
53 minveco.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A  e.  X
)
55 minveco.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
56 minveco.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
57 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
5813nnrpd 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
5958rpreccld 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6059adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6160rpred 11256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
6260rpge0d 11260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
6330adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> Y )
6463ffvelrnda 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  Y )
6536, 64syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
66 minveco.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
6766ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
69 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7069oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A D ( F `  n ) )  =  ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7170oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7372oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7471, 73breq12d 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7574rspcv 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  ->  (
( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7632, 68, 75sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7729, 65sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
78 metcl 20598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
7920, 54, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  e.  RR )
8079resqcld 12304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
8116, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 25494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
82 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
83 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8483ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
8682, 85mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
87863anim3i 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
) )
88 infmrcl 10522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8981, 87, 883syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
9057, 89syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
9190resqcld 12304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( S ^
2 )  e.  RR )
9336nnrecred 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
9492, 93readdcld 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
9592, 61readdcld 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9666adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9736, 96syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
98 eluzle 11094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
9998adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
10042rpregt0d 11262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
101 nnre 10543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
102 nngt0 10565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  n )
103101, 102jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
10436, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )
105 lerec 10427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
106100, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  <_  n 
<->  ( 1  /  n
)  <_  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10799, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
10893, 61, 92, 107leadd2dd 10167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10980, 94, 95, 97, 108letrd 9738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
11016, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 76, 109minvecolem2 25495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
111 rpdivcl 11242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  4 )  e.  RR+ )
11247, 3, 111sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
4 )  e.  RR+ )
113 rpcnne0 11237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x ^ 2 )  =/=  0 ) )
11447, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 ) )
115 rpcnne0 11237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
1163, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
117 recdiv 10250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )
118114, 116, 117sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  =  ( 4  /  ( x ^ 2 ) ) )
1199adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
120119rpred 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR )
121 flltp1 11905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  <  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
123118, 122eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
124112, 42, 123ltrec1d 11276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )
1251, 2pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
126 ltmuldiv2 10416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  ( x ^
2 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  < 
( ( x ^
2 )  /  4
) ) )
127125, 126mp3an3 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
12861, 48, 127syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
129124, 128mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  (
x ^ 2 ) )
13041, 46, 48, 110, 129lelttrd 9739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) )
131 metge0 20611 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) )
13220, 34, 38, 131syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) )
133 rprege0 11234 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
134133ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
135 lt2sq 12209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  < 
( x ^ 2 ) ) )
13640, 132, 134, 135syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x  <->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) ) )
137130, 136mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
)
138137ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x )
139 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
140 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
141140oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  =  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )
142141breq1d 4457 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x  <->  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
) )
143139, 142raleqbidv 3072 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x ) )
144143rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
14513, 138, 144syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
146145ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x )
147 nnuz 11117 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14816, 17imsxmet 25302 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14914, 15, 1483syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
150 1zzd 10895 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
151 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  n
) )
152 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
153 fss 5739 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  Y  C_  X )  ->  F : NN --> X )
15430, 28, 153syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
155147, 149, 150, 151, 152, 154iscauf 21482 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
156146, 155mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supcsup 7900   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   4c4 10587   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   |_cfl 11895   ^cexp 12134   *Metcxmt 18202   Metcme 18203   MetOpencmopn 18207   Caucca 21455   NrmCVeccnv 25181   BaseSetcba 25183   -vcnsb 25186   normCVcnmcv 25187   IndMetcims 25188   SubSpcss 25338   CPreHil OLDccphlo 25431   CBanccbn 25482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-cau 21458  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  25497
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