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Theorem minvecolem3 24277
Description: Lemma for minveco 24285. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables  j  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10398 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
2 4pos 10417 . . . . . . 7  |-  0  <  4
31, 2elrpii 10994 . . . . . 6  |-  4  e.  RR+
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5 2z 10678 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
6 rpexpcl 11884 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
8 rpdivcl 11013 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
93, 7, 8sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 4  /  ( x ^
2 ) )  e.  RR+ )
10 rprege0 11005 . . . . 5  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) ) )
11 flge0nn0 11666 . . . . 5  |-  ( ( ( 4  /  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  -> 
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
12 nn0p1nn 10619 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
139, 10, 11, 124syl 21 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
15 phnv 24214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( IndMet `  U )
1816, 17imsmet 24082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1914, 15, 183syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2114, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
22 inss1 3570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
2422, 23sseldi 3354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
2716, 25, 26sspba 24125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
2821, 24, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  Y  C_  X
)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> Y )
3213adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
3331, 32ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  Y
)
3429, 33sseldd 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X
)
35 eluznn 10925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3613, 35sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3731, 36ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
3829, 37sseldd 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
39 metcl 19907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
4020, 34, 38, 39syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
4140resqcld 12034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
4232nnrpd 11026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4342rpreccld 11037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
44 rpmulcl 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
453, 43, 44sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
4645rpred 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
477adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
4847rpred 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
49 minveco.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
50 minveco.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( normCV `  U )
5114ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
5223ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
53 minveco.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A  e.  X
)
55 minveco.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
56 minveco.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
57 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
5813nnrpd 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
5958rpreccld 11037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6059adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6160rpred 11027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
6260rpge0d 11031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
6330adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> Y )
6463ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  Y )
6536, 64syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
66 minveco.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
6766ralrimiva 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
69 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7069oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A D ( F `  n ) )  =  ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7170oveq1d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7372oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7471, 73breq12d 4305 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7574rspcv 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  ->  (
( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7632, 68, 75sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7729, 65sseldd 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
78 metcl 19907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
7920, 54, 77, 78syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  e.  RR )
8079resqcld 12034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
8116, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 24275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
82 0re 9386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
83 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8483ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
8682, 85mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
87863anim3i 1175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
) )
88 infmrcl 10309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8981, 87, 883syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
9057, 89syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
9190resqcld 12034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( S ^
2 )  e.  RR )
9336nnrecred 10367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
9492, 93readdcld 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
9592, 61readdcld 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9666adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9736, 96syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
98 eluzle 10873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
9998adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
10042rpregt0d 11033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
101 nnre 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
102 nngt0 10351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  n )
103101, 102jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
10436, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )
105 lerec 10214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
106100, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  <_  n 
<->  ( 1  /  n
)  <_  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10799, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
10893, 61, 92, 107leadd2dd 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10980, 94, 95, 97, 108letrd 9528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
11016, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 76, 109minvecolem2 24276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
111 rpdivcl 11013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  4 )  e.  RR+ )
11247, 3, 111sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
4 )  e.  RR+ )
113 rpcnne0 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x ^ 2 )  =/=  0 ) )
11447, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 ) )
115 rpcnne0 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
1163, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
117 recdiv 10037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )
118114, 116, 117sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  =  ( 4  /  ( x ^ 2 ) ) )
1199adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
120119rpred 11027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR )
121 flltp1 11650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  <  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
123118, 122eqbrtrd 4312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
124112, 42, 123ltrec1d 11047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )
1251, 2pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
126 ltmuldiv2 10203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  ( x ^
2 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  < 
( ( x ^
2 )  /  4
) ) )
127125, 126mp3an3 1303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
12861, 48, 127syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
129124, 128mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  (
x ^ 2 ) )
13041, 46, 48, 110, 129lelttrd 9529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) )
131 metge0 19920 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) )
13220, 34, 38, 131syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) )
133 rprege0 11005 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
134133ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
135 lt2sq 11939 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  < 
( x ^ 2 ) ) )
13640, 132, 134, 135syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x  <->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) ) )
137130, 136mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
)
138137ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x )
139 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
140 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
141140oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  =  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )
142141breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x  <->  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
) )
143139, 142raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x ) )
144143rspcev 3073 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
14513, 138, 144syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
146145ralrimiva 2799 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x )
147 nnuz 10896 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14816, 17imsxmet 24083 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14914, 15, 1483syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
150 1zzd 10677 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
151 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  n
) )
152 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
153 fss 5567 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> Y  /\  Y  C_  X )  ->  F : NN --> X )
15430, 28, 153syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
155147, 149, 150, 151, 152, 154iscauf 20791 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
156146, 155mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   supcsup 7690   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   4c4 10373   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   |_cfl 11640   ^cexp 11865   *Metcxmt 17801   Metcme 17802   MetOpencmopn 17806   Caucca 20764   NrmCVeccnv 23962   BaseSetcba 23964   -vcnsb 23967   normCVcnmcv 23968   IndMetcims 23969   SubSpcss 24119   CPreHil OLDccphlo 24212   CBanccbn 24263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-cau 20767  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-ssp 24120  df-ph 24213  df-cbn 24264
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  24278
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