MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem3 Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem3 26363
Description: Lemma for minveco 26371. The sequence formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minveco.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
minveco.1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    y, n, F    n, J, y    y, M    y, N    ph, n, y    S, n, y    A, n, y    D, n, y    y, U    y, W    n, X    n, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y, n)    U( n)    M( n)    N( n)    W( n)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem3
Dummy variables  j  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10686 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
2 4pos 10705 . . . . . . 7  |-  0  <  4
31, 2elrpii 11305 . . . . . 6  |-  4  e.  RR+
4 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5 2z 10969 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
6 rpexpcl 12288 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
74, 5, 6sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
8 rpdivcl 11325 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
93, 7, 8sylancr 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 4  /  ( x ^
2 ) )  e.  RR+ )
10 rprege0 11316 . . . . 5  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) ) )
11 flge0nn0 12051 . . . . 5  |-  ( ( ( 4  /  (
x ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  -> 
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
12 nn0p1nn 10909 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
139, 10, 11, 124syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
14 minveco.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
15 phnv 26300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
16 minveco.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 minveco.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( IndMet `  U )
1816, 17imsmet 26168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1914, 15, 183syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2019ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2114, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
22 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
23 minveco.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
2422, 23sseldi 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
25 minveco.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
26 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
2716, 25, 26sspba 26211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
2821, 24, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2928ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  Y  C_  X
)
30 minveco.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> Y )
3130ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> Y )
3213adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
3331, 32ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  Y
)
3429, 33sseldd 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X
)
35 eluznn 11229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3613, 35sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
3731, 36ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
3829, 37sseldd 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
39 metcl 21278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
4020, 34, 38, 39syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
4140resqcld 12439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
4232nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4342rpreccld 11351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
44 rpmulcl 11324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
453, 43, 44sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
4645rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
477adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
4847rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
49 minveco.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
50 minveco.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( normCV `  U )
5114ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
5223ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
53 minveco.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5453ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A  e.  X
)
55 minveco.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
56 minveco.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
57 minveco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
5813nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
5958rpreccld 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6059adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
6160rpred 11341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
6260rpge0d 11345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
6330adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> Y )
6463ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  Y )
6536, 64syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  Y
)
66 minveco.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
6766ralrimiva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
6867ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
69 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7069oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A D ( F `  n ) )  =  ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7170oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
7372oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7471, 73breq12d 4439 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7574rspcv 3184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( F `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  ->  (
( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ) )
7632, 68, 75sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7729, 65sseldd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
78 metcl 21278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  n ) )  e.  RR )
7920, 54, 77, 78syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A D ( F `  n
) )  e.  RR )
8079resqcld 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
8116, 49, 50, 25, 14, 23, 53, 17, 55, 56minvecolem1 26361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
82 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
83 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8483ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
8682, 85mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
87863anim3i 1193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
) )
88 infmrclOLD 10593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8981, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
9057, 89syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
9190resqcld 12439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
9291ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( S ^
2 )  e.  RR )
9336nnrecred 10655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
9492, 93readdcld 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
9592, 61readdcld 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9666adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( A D ( F `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9736, 96syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
98 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
9998adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n
)
10042rpregt0d 11347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
101 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
102 nngt0 10638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  n )
103101, 102jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
10436, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )
105 lerec 10488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  <_  n  <->  ( 1  /  n )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
106100, 104, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 )  <_  n 
<->  ( 1  /  n
)  <_  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10799, 106mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) )
10893, 61, 92, 107leadd2dd 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
10980, 94, 95, 97, 108letrd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( A D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
11016, 49, 50, 25, 51, 52, 54, 17, 55, 56, 57, 61, 62, 33, 65, 76, 109minvecolem2 26362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <_  (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ) )
111 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  4 )  e.  RR+ )
11247, 3, 111sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
4 )  e.  RR+ )
113 rpcnne0 11319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x ^ 2 )  =/=  0 ) )
11447, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 ) )
115 rpcnne0 11319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
1163, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
117 recdiv 10312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )  =  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )
118114, 116, 117sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  =  ( 4  /  ( x ^ 2 ) ) )
1199adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
120119rpred 11341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  e.  RR )
121 flltp1 12033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  /  ( x ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
4  /  ( x ^ 2 ) )  <  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  / 
( x ^ 2 ) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
123118, 122eqbrtrd 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( x ^
2 )  /  4
) )  <  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )
124112, 42, 123ltrec1d 11361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) )
1251, 2pm3.2i 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
126 ltmuldiv2 10478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
4  x.  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  ( x ^
2 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  < 
( ( x ^
2 )  /  4
) ) )
127125, 126mp3an3 1349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
12861, 48, 127syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( 4  x.  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  < 
( x ^ 2 )  <->  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  <  (
( x ^ 2 )  /  4 ) ) )
129124, 128mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 4  x.  ( 1  /  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  <  (
x ^ 2 ) )
13041, 46, 48, 110, 129lelttrd 9792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) )
131 metge0 21291 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `
 n )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) )
13220, 34, 38, 131syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) )
133 rprege0 11316 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
134133ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
135 lt2sq 12345 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  ( (
( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) ) ^ 2 )  < 
( x ^ 2 ) ) )
13640, 132, 134, 135syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x  <->  ( ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) ) ^
2 )  <  (
x ^ 2 ) ) )
137130, 136mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
)
138137ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x )
139 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
140 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) )
141140oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  =  ( ( F `
 ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) ) )
142141breq1d 4436 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  (
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x  <->  ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n
) )  <  x
) )
143139, 142raleqbidv 3046 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( |_
`  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <  x  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  / 
( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  (
( |_ `  (
4  /  ( x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `
 n ) )  <  x ) )
144143rspcev 3188 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 4  /  (
x ^ 2 ) ) )  +  1 ) ) ( ( F `  ( ( |_ `  ( 4  /  ( x ^
2 ) ) )  +  1 ) ) D ( F `  n ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
14513, 138, 144syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x )
146145ralrimiva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x )
147 nnuz 11194 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14816, 17imsxmet 26169 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14914, 15, 1483syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
150 1zzd 10968 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
151 eqidd 2430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  n
) )
152 eqidd 2430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
15330, 28fssd 5755 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
154147, 149, 150, 151, 152, 153iscauf 22143 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
155146, 154mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   ran crn 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   |_cfl 12023   ^cexp 12269   *Metcxmt 18890   Metcme 18891   MetOpencmopn 18895   Caucca 22116   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   -vcnsb 26053   normCVcnmcv 26054   IndMetcims 26055   SubSpcss 26205   CPreHil OLDccphlo 26298   CBanccbn 26349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-cau 22119  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-ssp 26206  df-ph 26299  df-cbn 26350
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  26364
  Copyright terms: Public domain W3C validator