Theorem minvecolem2OLD 26520

Description: Lemma for minvecoOLD 26529. Any two points K and L in Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) Obsolete version of minvecolem2 26510 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvecoOLD.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minvecoOLD.m	|- M = ( -v ` U )
minvecoOLD.n	|- N = ( normCV ` U )
minvecoOLD.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minvecoOLD.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minvecoOLD.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minvecoOLD.a	|- ( ph -> A e. X )
minvecoOLD.d	|- D = ( IndMet ` U )
minvecoOLD.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minvecoOLD.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minvecoOLD.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minvecolem2OLD.1	|- ( ph -> B e. RR )
minvecolem2OLD.2	|- ( ph -> 0 <_ B )
minvecolem2OLD.3	|- ( ph -> K e. Y )
minvecolem2OLD.4	|- ( ph -> L e. Y )
minvecolem2OLD.5	|- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
minvecolem2OLD.6	|- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem2OLD	|- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, L   y, M   y, N   ph, y   y, S   y, A   y, D   y, U   y, W   y, Y

Allowed substitution hints:   B( y)   R( y)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem2OLD

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 10683	. . . . . 6 |- 4 e. RR
2		minvecoOLD.s	. . . . . . . 8 |- S = sup ( R , RR , `' < )
3		minvecoOLD.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( BaseSet ` U )
4		minvecoOLD.m	. . . . . . . . . . 11 |- M = ( -v ` U )
5		minvecoOLD.n	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( normCV ` U )
6		minvecoOLD.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = ( BaseSet ` W )
7		minvecoOLD.u	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
8		minvecoOLD.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
9		minvecoOLD.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. X )
10		minvecoOLD.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( IndMet ` U )
11		minvecoOLD.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( MetOpen ` D )
12		minvecoOLD.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	minvecolem1 26509	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
14	13	simp1d 1019	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ RR )
15	13	simp2d 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R =/= (/) )
16		0re 9640	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17	13	simp3d 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
18		breq1 4404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
19	18	ralbidv 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
20	19	rspcev 3149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
21	16, 17, 20	sylancr 668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
22		infmrclOLD 10590	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
23	14, 15, 21, 22	syl3anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
24	2, 23	syl5eqel 2532	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR )
25	24	resqcld 12439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
26		remulcl 9621	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( S ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
27	1, 25, 26	sylancr 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
28		phnv 26448	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
29	7, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
30	3, 10	imsmet 26316	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
32		inss1 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) C_ ( SubSp ` U )
33	32, 8	sseldi 3429	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
34		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
35	3, 6, 34	sspba 26359	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
36	29, 33, 35	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
37		minvecolem2OLD.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Y )
38	36, 37	sseldd 3432	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. X )
39		minvecolem2OLD.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. Y )
40	36, 39	sseldd 3432	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. X )
41		metcl 21340	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K D L ) e. RR )
42	31, 38, 40, 41	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K D L ) e. RR )
43	42	resqcld 12439	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) e. RR )
44	27, 43	readdcld 9667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
45		ax-1cn 9594	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
46		halfcl 10835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
47	45, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
48		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
49		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +v ` W ) = ( +v ` W )
50	6, 48, 49, 34	sspgval 26361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) /\ ( K e. Y /\ L e. Y ) ) -> ( K ( +v ` W ) L ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
51	29, 33, 37, 39, 50	syl22anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +v ` W ) L ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
52	34	sspnv 26358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> W e. NrmCVec )
53	29, 33, 52	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> W e. NrmCVec )
54	6, 49	nvgcl 26232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ K e. Y /\ L e. Y ) -> ( K ( +v ` W ) L ) e. Y )
55	53, 37, 39, 54	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +v ` W ) L ) e. Y )
56	51, 55	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ( +v ` U ) L ) e. Y )
57		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
58		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
59	6, 57, 58, 34	sspsval 26363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) /\ ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. Y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) )
60	29, 33, 47, 56, 59	syl22anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) )
61	6, 58	nvscl 26240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. Y ) -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y )
62	53, 47, 56, 61	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y )
63	60, 62	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y )
64	36, 63	sseldd 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. X )
65	3, 4	nvmcl 26261	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. X ) -> ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X )
66	29, 9, 64, 65	syl3anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X )
67	3, 5	nvcl 26281	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
68	29, 66, 67	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
69	68	resqcld 12439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
70		remulcl 9621	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
71	1, 69, 70	sylancr 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
72	71, 43	readdcld 9667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
73		minvecolem2OLD.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
74	25, 73	readdcld 9667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR )
75		remulcl 9621	. . . . 5 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
76	1, 74, 75	sylancr 668	. . . 4 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
77	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
78		infmrgelbOLD 10592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
79	14, 15, 21, 77, 78	syl31anc 1270	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
80	17, 79	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
81	80, 2	syl6breqr 4442	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
82		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
83		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) -> ( A M y ) = ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
84	83	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) -> ( N ` ( A M y ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
85	84	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) -> ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) <-> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
86	85	rspcev 3149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y /\ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) -> E. y e. Y ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) )
87	63, 82, 86	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. y e. Y ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) )
88		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
89		fvex 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
90	88, 89	elrnmpti 5084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) <-> E. y e. Y ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) )
91	87, 90	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
92	91, 12	syl6eleqr 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. R )
93		infmrlbOLD 10594	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
94	14, 21, 92, 93	syl3anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
95	2, 94	syl5eqbr 4435	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
96		le2sq2 12347	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. RR /\ S <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ) -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
97	24, 81, 68, 95, 96	syl22anc 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98		4pos 10702	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
99	1, 98	pm3.2i 457	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
100		lemul2 10455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
101	99, 100	mp3an3 1352	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
102	25, 69, 101	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
104	27, 71, 43, 103	leadd1dd 10224	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105		metcl 21340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A D K ) e. RR )
106	31, 9, 38, 105	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) e. RR )
107	106	resqcld 12439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) e. RR )
108		metcl 21340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A D L ) e. RR )
109	31, 9, 40, 108	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) e. RR )
110	109	resqcld 12439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) e. RR )
111		minvecolem2OLD.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
112		minvecolem2OLD.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
113	107, 110, 74, 74, 111, 112	le2addd 10229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
114	74	recnd 9666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. CC )
115	114	2timesd 10852	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
116	113, 115	breqtrrd 4428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
117	107, 110	readdcld 9667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
118		2re 10676	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
119		remulcl 9621	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
120	118, 74, 119	sylancr 668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
121		2pos 10698	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
122	118, 121	pm3.2i 457	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
123		lemul2 10455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
124	122, 123	mp3an3 1352	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
125	117, 120, 124	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
126	116, 125	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
127	3, 4	nvmcl 26261	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A M K ) e. X )
128	29, 9, 38, 127	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A M K ) e. X )
129	3, 4	nvmcl 26261	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A M L ) e. X )
130	29, 9, 40, 129	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A M L ) e. X )
131	3, 48, 4, 5	phpar2 26457	. . . . . . 7 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( A M K ) e. X /\ ( A M L ) e. X ) -> ( ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
132	7, 128, 130, 131	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133		2cn 10677	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
134	68	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. CC )
135		sqmul 12335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
136	133, 134, 135	sylancr 668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
137		sq2 12368	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
138	137	oveq1i 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
139	136, 138	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
140	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. CC )
141	3, 57, 5	nvs 26284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ 2 e. CC /\ ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
142	29, 140, 66, 141	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
143		0le2 10697	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 2
144		absid 13352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
145	118, 143, 144	mp2an 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 2 ) = 2
146	145	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
147	142, 146	syl6eq 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
148	3, 4, 57	nvmdi 26264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 2 e. CC /\ A e. X /\ ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. X ) ) -> ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) M ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
149	29, 140, 9, 64, 148	syl13anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) M ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
150	3, 48, 57	nv2 26246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A ( +v ` U ) A ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) )
151	29, 9, 150	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ( +v ` U ) A ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) )
152		2ne0 10699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 =/= 0
153	133, 152	recidi 10335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
154	153	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( 1 ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) )
155	3, 48	nvgcl 26232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( +v ` U ) L ) e. X )
156	29, 38, 40, 155	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K ( +v ` U ) L ) e. X )
157	3, 57	nvsid 26241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. X ) -> ( 1 ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
158	29, 156, 157	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
159	154, 158	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
160	3, 57	nvsass 26242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. X ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
161	29, 140, 47, 156, 160	syl13anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
162	159, 161	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +v ` U ) L ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
163	151, 162	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +v ` U ) A ) M ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) M ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
164	3, 48, 4	nvaddsub4 26275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ A e. X ) /\ ( K e. X /\ L e. X ) ) -> ( ( A ( +v ` U ) A ) M ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) )
165	29, 9, 9, 38, 40, 164	syl122anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +v ` U ) A ) M ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) )
166	149, 163, 165	3eqtr2d 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) )
167	166	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) )
168	147, 167	eqtr3d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) )
169	168	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
170	139, 169	eqtr3d 2486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
171	3, 4, 5, 10	imsdval 26311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ L e. X /\ K e. X ) -> ( L D K ) = ( N ` ( L M K ) ) )
172	29, 40, 38, 171	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L D K ) = ( N ` ( L M K ) ) )
173		metsym 21358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K D L ) = ( L D K ) )
174	31, 38, 40, 173	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K D L ) = ( L D K ) )
175	3, 4	nvnnncan1 26262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ K e. X /\ L e. X ) ) -> ( ( A M K ) M ( A M L ) ) = ( L M K ) )
176	29, 9, 38, 40, 175	syl13anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A M K ) M ( A M L ) ) = ( L M K ) )
177	176	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) = ( N ` ( L M K ) ) )
178	172, 174, 177	3eqtr4d 2494	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K D L ) = ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) )
179	178	oveq1d 6303	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
180	170, 179	oveq12d 6306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) )
181	3, 4, 5, 10	imsdval 26311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A D K ) = ( N ` ( A M K ) ) )
182	29, 9, 38, 181	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) = ( N ` ( A M K ) ) )
183	182	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) )
184	3, 4, 5, 10	imsdval 26311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A D L ) = ( N ` ( A M L ) ) )
185	29, 9, 40, 184	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) = ( N ` ( A M L ) ) )
186	185	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) )
187	183, 186	oveq12d 6306	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) )
188	187	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
189	132, 180, 188	3eqtr4d 2494	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
190		2t2e4 10756	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
191	190	oveq1i 6298	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) )
192	140, 140, 114	mulassd 9663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
193	191, 192	syl5eqr 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
194	126, 189, 193	3brtr4d 4432	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
195	44, 72, 76, 104, 194	letrd 9789	. . 3 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
196		4cn 10684	. . . . 5 |- 4 e. CC
197	196	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 4 e. CC )
198	25	recnd 9666	. . . 4 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. CC )
199	73	recnd 9666	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
200	197, 198, 199	adddid 9664	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
201	195, 200	breqtrd 4426	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
202		remulcl 9621	. . . 4 |- ( ( 4 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 4 x. B ) e. RR )
203	1, 73, 202	sylancr 668	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. B ) e. RR )
204	43, 203, 27	leadd2d 10205	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) <-> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) ) )
205	201, 204	mpbird 236	1 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   / cdiv 10266   2c2 10656   4c4 10658   ^cexp 12269   abscabs 13290   Metcme 18949   MetOpencmopn 18953   NrmCVeccnv 26196   +vcpv 26197   BaseSetcba 26198   .sOLDcns 26199   -vcnsb 26201   norm_CVcnmcv 26202   IndMetcims 26203   SubSpcss 26353   CPreHil OLDccphlo 26446   CBanccbn 26497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-xmet 18956  df-met 18957  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498

This theorem is referenced by:  minvecolem3OLD  26521  minvecolem7OLD  26528