Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem minvecolem2 26517
 Description: Lemma for minveco 26526. Any two points and in are close to each other if they are close to the infimum of distance to . (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x
minveco.m
minveco.n CV
minveco.y
minveco.u
minveco.w
minveco.a
minveco.d
minveco.j
minveco.r
minveco.s inf
minvecolem2.1
minvecolem2.2
minvecolem2.3
minvecolem2.4
minvecolem2.5
minvecolem2.6
Assertion
Ref Expression
minvecolem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem minvecolem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10686 . . . . . 6
2 minveco.s . . . . . . . 8 inf
3 minveco.x . . . . . . . . . . 11
4 minveco.m . . . . . . . . . . 11
5 minveco.n . . . . . . . . . . 11 CV
6 minveco.y . . . . . . . . . . 11
7 minveco.u . . . . . . . . . . 11
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11
9 minveco.a . . . . . . . . . . 11
10 minveco.d . . . . . . . . . . 11
11 minveco.j . . . . . . . . . . 11
12 minveco.r . . . . . . . . . . 11
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minvecolem1 26516 . . . . . . . . . 10
1413simp1d 1020 . . . . . . . . 9
1513simp2d 1021 . . . . . . . . 9
16 0re 9643 . . . . . . . . . 10
1713simp3d 1022 . . . . . . . . . 10
18 breq1 4405 . . . . . . . . . . . 12
1918ralbidv 2827 . . . . . . . . . . 11
2019rspcev 3150 . . . . . . . . . 10
2116, 17, 20sylancr 669 . . . . . . . . 9
22 infrecl 10590 . . . . . . . . 9 inf
2314, 15, 21, 22syl3anc 1268 . . . . . . . 8 inf
242, 23syl5eqel 2533 . . . . . . 7
2524resqcld 12442 . . . . . 6
26 remulcl 9624 . . . . . 6
271, 25, 26sylancr 669 . . . . 5
28 phnv 26455 . . . . . . . . 9
297, 28syl 17 . . . . . . . 8
303, 10imsmet 26323 . . . . . . . 8
3129, 30syl 17 . . . . . . 7
32 inss1 3652 . . . . . . . . . 10
3332, 8sseldi 3430 . . . . . . . . 9
34 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
353, 6, 34sspba 26366 . . . . . . . . 9
3629, 33, 35syl2anc 667 . . . . . . . 8
37 minvecolem2.3 . . . . . . . 8
3836, 37sseldd 3433 . . . . . . 7
39 minvecolem2.4 . . . . . . . 8
4036, 39sseldd 3433 . . . . . . 7
41 metcl 21347 . . . . . . 7
4231, 38, 40, 41syl3anc 1268 . . . . . 6
4342resqcld 12442 . . . . 5
4427, 43readdcld 9670 . . . 4
45 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . 13
46 halfcl 10838 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12
48 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15
506, 48, 49, 34sspgval 26368 . . . . . . . . . . . . . 14
5129, 33, 37, 39, 50syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13
5234sspnv 26365 . . . . . . . . . . . . . . 15
5329, 33, 52syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
546, 49nvgcl 26239 . . . . . . . . . . . . . 14
5553, 37, 39, 54syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13
5651, 55eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . 12
57 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
58 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
596, 57, 58, 34sspsval 26370 . . . . . . . . . . . 12
6029, 33, 47, 56, 59syl22anc 1269 . . . . . . . . . . 11
616, 58nvscl 26247 . . . . . . . . . . . 12
6253, 47, 56, 61syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
6360, 62eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . 10
6436, 63sseldd 3433 . . . . . . . . 9
653, 4nvmcl 26268 . . . . . . . . 9
6629, 9, 64, 65syl3anc 1268 . . . . . . . 8
673, 5nvcl 26288 . . . . . . . 8
6829, 66, 67syl2anc 667 . . . . . . 7
6968resqcld 12442 . . . . . 6
70 remulcl 9624 . . . . . 6
711, 69, 70sylancr 669 . . . . 5
7271, 43readdcld 9670 . . . 4
73 minvecolem2.1 . . . . . 6
7425, 73readdcld 9670 . . . . 5
75 remulcl 9624 . . . . 5
761, 74, 75sylancr 669 . . . 4
7716a1i 11 . . . . . . . . . 10
78 infregelb 10594 . . . . . . . . . 10 inf
7914, 15, 21, 77, 78syl31anc 1271 . . . . . . . . 9 inf
8017, 79mpbird 236 . . . . . . . 8 inf
8180, 2syl6breqr 4443 . . . . . . 7
82 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
83 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14
8584eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . 13
8685rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12
8763, 82, 86sylancl 668 . . . . . . . . . . 11
88 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
89 fvex 5875 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89elrnmpti 5085 . . . . . . . . . . 11
9187, 90sylibr 216 . . . . . . . . . 10
9291, 12syl6eleqr 2540 . . . . . . . . 9
93 infrelb 10596 . . . . . . . . 9 inf
9414, 21, 92, 93syl3anc 1268 . . . . . . . 8 inf
952, 94syl5eqbr 4436 . . . . . . 7
96 le2sq2 12350 . . . . . . 7
9724, 81, 68, 95, 96syl22anc 1269 . . . . . 6
98 4pos 10705 . . . . . . . . 9
991, 98pm3.2i 457 . . . . . . . 8
100 lemul2 10458 . . . . . . . 8
10199, 100mp3an3 1353 . . . . . . 7
10225, 69, 101syl2anc 667 . . . . . 6
10397, 102mpbid 214 . . . . 5
10427, 71, 43, 103leadd1dd 10227 . . . 4
105 metcl 21347 . . . . . . . . . 10
10631, 9, 38, 105syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
107106resqcld 12442 . . . . . . . 8
108 metcl 21347 . . . . . . . . . 10
10931, 9, 40, 108syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
110109resqcld 12442 . . . . . . . 8
111 minvecolem2.5 . . . . . . . 8
112 minvecolem2.6 . . . . . . . 8
113107, 110, 74, 74, 111, 112le2addd 10232 . . . . . . 7
11474recnd 9669 . . . . . . . 8
1151142timesd 10855 . . . . . . 7
116113, 115breqtrrd 4429 . . . . . 6
117107, 110readdcld 9670 . . . . . . 7
118 2re 10679 . . . . . . . 8
119 remulcl 9624 . . . . . . . 8
120118, 74, 119sylancr 669 . . . . . . 7
121 2pos 10701 . . . . . . . . 9
122118, 121pm3.2i 457 . . . . . . . 8
123 lemul2 10458 . . . . . . . 8
124122, 123mp3an3 1353 . . . . . . 7
125117, 120, 124syl2anc 667 . . . . . 6
126116, 125mpbid 214 . . . . 5
1273, 4nvmcl 26268 . . . . . . . 8
12829, 9, 38, 127syl3anc 1268 . . . . . . 7
1293, 4nvmcl 26268 . . . . . . . 8
13029, 9, 40, 129syl3anc 1268 . . . . . . 7
1313, 48, 4, 5phpar2 26464 . . . . . . 7
1327, 128, 130, 131syl3anc 1268 . . . . . 6
133 2cn 10680 . . . . . . . . . 10
13468recnd 9669 . . . . . . . . . 10
135 sqmul 12338 . . . . . . . . . 10
136133, 134, 135sylancr 669 . . . . . . . . 9
137 sq2 12371 . . . . . . . . . 10
138137oveq1i 6300 . . . . . . . . 9
139136, 138syl6eq 2501 . . . . . . . 8
140133a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
1413, 57, 5nvs 26291 . . . . . . . . . . . 12
14229, 140, 66, 141syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
143 0le2 10700 . . . . . . . . . . . . 13
144 absid 13359 . . . . . . . . . . . . 13
145118, 143, 144mp2an 678 . . . . . . . . . . . 12
146145oveq1i 6300 . . . . . . . . . . 11
147142, 146syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10
1483, 4, 57nvmdi 26271 . . . . . . . . . . . . 13
14929, 140, 9, 64, 148syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . 12
1503, 48, 57nv2 26253 . . . . . . . . . . . . . 14
15129, 9, 150syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13
152 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153133, 152recidi 10338 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154153oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15
1553, 48nvgcl 26239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15629, 38, 40, 155syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1573, 57nvsid 26248 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15829, 156, 157syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
159154, 158syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . 14
1603, 57nvsass 26249 . . . . . . . . . . . . . . 15
16129, 140, 47, 156, 160syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . . 14
162159, 161eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . 13
163151, 162oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
1643, 48, 4nvaddsub4 26282 . . . . . . . . . . . . 13
16529, 9, 9, 38, 40, 164syl122anc 1277 . . . . . . . . . . . 12
166149, 163, 1653eqtr2d 2491 . . . . . . . . . . 11
167166fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
168147, 167eqtr3d 2487 . . . . . . . . 9
169168oveq1d 6305 . . . . . . . 8
170139, 169eqtr3d 2487 . . . . . . 7
1713, 4, 5, 10imsdval 26318 . . . . . . . . . 10
17229, 40, 38, 171syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
173 metsym 21365 . . . . . . . . . 10
17431, 38, 40, 173syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
1753, 4nvnnncan1 26269 . . . . . . . . . . 11
17629, 9, 38, 40, 175syl13anc 1270 . . . . . . . . . 10
177176fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
178172, 174, 1773eqtr4d 2495 . . . . . . . 8
179178oveq1d 6305 . . . . . . 7
180170, 179oveq12d 6308 . . . . . 6
1813, 4, 5, 10imsdval 26318 . . . . . . . . . 10
18229, 9, 38, 181syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
183182oveq1d 6305 . . . . . . . 8
1843, 4, 5, 10imsdval 26318 . . . . . . . . . 10
18529, 9, 40, 184syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
186185oveq1d 6305 . . . . . . . 8
187183, 186oveq12d 6308 . . . . . . 7
188187oveq2d 6306 . . . . . 6
189132, 180, 1883eqtr4d 2495 . . . . 5
190 2t2e4 10759 . . . . . . 7
191190oveq1i 6300 . . . . . 6
192140, 140, 114mulassd 9666 . . . . . 6
193191, 192syl5eqr 2499 . . . . 5
194126, 189, 1933brtr4d 4433 . . . 4
19544, 72, 76, 104, 194letrd 9792 . . 3
196 4cn 10687 . . . . 5
197196a1i 11 . . . 4
19825recnd 9669 . . . 4
19973recnd 9669 . . . 4
200197, 198, 199adddid 9667 . . 3
201195, 200breqtrd 4427 . 2
202 remulcl 9624 . . . 4
2031, 73, 202sylancr 669 . . 3
20443, 203, 27leadd2d 10208 . 2
205201, 204mpbird 236 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   cin 3403   wss 3404  c0 3731   class class class wbr 4402   cmpt 4461   crn 4835  cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cle 9676   cdiv 10269  c2 10659  c4 10661  cexp 12272  cabs 13297  cme 18956  cmopn 18960  cnv 26203  cpv 26204  cba 26205  cns 26206  cnsb 26208  CVcnmcv 26209  cims 26210  css 26360  ccphlo 26453  ccbn 26504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-xmet 18963  df-met 18964  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-vs 26218  df-nmcv 26219  df-ims 26220  df-ssp 26361  df-ph 26454  df-cbn 26505 This theorem is referenced by:  minvecolem3  26518  minvecolem7  26525
 Copyright terms: Public domain W3C validator