MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Structured version   Unicode version

Theorem minveco 25926
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minveco  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, A, y    x, U, y    x, W, y   
x, X    x, Y, y
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem minveco
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 minveco.m . 2  |-  M  =  ( -v `  U
)
3 minveco.n . 2  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 minveco.y . 2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 minveco.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
6 minveco.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
7 minveco.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2457 . 2  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
9 eqid 2457 . 2  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
10 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A M j )  =  ( A M y ) )
1110fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A M j ) )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
1211cbvmptv 4548 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
1312rneqi 5239 . 2  |-  ran  (
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) )  =  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
14 eqid 2457 . 2  |-  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 25925 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E!wreu 2809    i^i cin 3470   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508    < clt 9645    <_ cle 9646   MetOpencmopn 18534   BaseSetcba 25605   -vcnsb 25608   normCVcnmcv 25609   IndMetcims 25610   SubSpcss 25760   CPreHil OLDccphlo 25853   CBanccbn 25904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lm 19856  df-haus 19942  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-cfil 21819  df-cau 21820  df-cmet 21821  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-ssp 25761  df-ph 25854  df-cbn 25905
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  26436
  Copyright terms: Public domain W3C validator