MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Unicode version

Theorem minveco 22339
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minveco  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, A, y    x, U, y    x, W, y   
x, X    x, Y, y
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem minveco
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 minveco.m . 2  |-  M  =  ( -v `  U
)
3 minveco.n . 2  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 minveco.y . 2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 minveco.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
6 minveco.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
7 minveco.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2404 . 2  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
9 eqid 2404 . 2  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
10 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A M j )  =  ( A M y ) )
1110fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A M j ) )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
1211cbvmptv 4260 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
1312rneqi 5055 . 2  |-  ran  (
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) )  =  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
14 eqid 2404 . 2  |-  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 22338 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E!wreu 2668    i^i cin 3279   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077   MetOpencmopn 16646   BaseSetcba 22018   -vcnsb 22021   normCVcnmcv 22022   IndMetcims 22023   SubSpcss 22173   CPreHil OLDccphlo 22266   CBanccbn 22317
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  22847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lm 17247  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318
  Copyright terms: Public domain W3C validator