MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Unicode version

Theorem minveco 21293
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minveco  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, A, y    x, U, y    x, W, y   
x, X    x, Y, y
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem minveco
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 minveco.m . 2  |-  M  =  ( -v `  U
)
3 minveco.n . 2  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 minveco.y . 2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 minveco.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
6 minveco.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
7 minveco.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2253 . 2  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
9 eqid 2253 . 2  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
10 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A M j )  =  ( A M y ) )
1110fveq2d 5381 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A M j ) )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
1211cbvmptv 4008 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
1312rneqi 4812 . 2  |-  ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) )  =  ran  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
14 eqid 2253 . 2  |-  sup ( ran  (  j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 21292 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E!wreu 2511    i^i cin 3077   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   `'ccnv 4579   ran crn 4581   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   supcsup 7077   RRcr 8616    < clt 8747    <_ cle 8748   MetOpencmopn 16204   BaseSetcba 20972   -vcnsb 20975   normCVcnmcv 20976   IndMetcims 20977   SubSpcss 21127   CPreHil OLDccphlo 21220   CBanccbn 21271
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  21801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-rest 13201  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lm 16791  df-haus 16875  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-ssp 21128  df-ph 21221  df-cbn 21272
  Copyright terms: Public domain W3C validator