Theorem minveclem9 9898

Description: Lemma for minvecex 9923.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec9.u	|- U e. CPreHil
minvec9.m	|- M = (-v` U)
minvec9.n	|- N = (norm` U)
minvec9.x	|- X = (BaseSet` U)
minvec9.w1	|- W e. (SubSp` U)
minvec9.y	|- Y = (BaseSet` W)
minvec9.d	|- D = (IndMet` W)
minvec9.j	|- J e. _V
minvec9.k	|- (m e. NN -> (J` m) = (N` ((f` m)Ma)))

Assertion

Ref	Expression
minveclem9	|- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) -> J ~~> 0)

Distinct variable groups:   D,m   m,J   m,Y   f,a,m

Proof of Theorem minveclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec9.u	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 9816	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
3		minvec9.w1	. . . . . . . . . 10 |- W e. (SubSp` U)
4		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
5	4	sspnv 9724	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> W e. NrmCVec)
6	2, 3, 5	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- W e. NrmCVec
7		minvec9.d	. . . . . . . . . 10 |- D = (IndMet` W)
8	7	imsmet 9656	. . . . . . . . 9 |- (W e. NrmCVec -> D e. Met)
9	6, 8	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- D e. Met
10		minvec9.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (BaseSet` W)
11	10, 7, 6	imsbai 9654	. . . . . . . . 9 |- Y = dom dom D
12		eqidd 1885	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN -> (f` m) = (f` m))
13	11, 12	lmcvgnns 9221	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ a e. Y) /\ (f(~~>m` D)a /\ u e. RR+)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u))
14	9, 13	mpanl1 770	. . . . . . 7 |- ((a e. Y /\ (f(~~>m` D)a /\ u e. RR+)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u))
15	14	an1s 544	. . . . . 6 |- ((f(~~>m` D)a /\ (a e. Y /\ u e. RR+)) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u))
16	15	anassrs 489	. . . . 5 |- (((f(~~>m` D)a /\ a e. Y) /\ u e. RR+) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u))
17	16	adantlll 432	. . . 4 |- ((((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) /\ u e. RR+) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u))
18		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (IndMet` U) = (IndMet` U)
19	10, 18, 7, 4	sspimsval 9738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ ((f` m) e. Y /\ a e. Y)) -> ((f` m)Da) = ((f` m)(IndMet` U)a))
20	2, 3, 19	mpanl12 773	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f` m) e. Y /\ a e. Y) -> ((f` m)Da) = ((f` m)(IndMet` U)a))
21		minvec9.x	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- X = (BaseSet` U)
22		minvec9.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- M = (-v` U)
23		minvec9.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- N = (norm` U)
24	21, 22, 23, 18	imsdval 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((U e. NrmCVec /\ (f` m) e. X /\ a e. X) -> ((f` m)(IndMet` U)a) = (N` ((f` m)Ma)))
25	2, 24	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((f` m) e. X /\ a e. X) -> ((f` m)(IndMet` U)a) = (N` ((f` m)Ma)))
26	21, 22	nvmcl 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((U e. NrmCVec /\ (f` m) e. X /\ a e. X) -> ((f` m)Ma) e. X)
27	2, 26	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((f` m) e. X /\ a e. X) -> ((f` m)Ma) e. X)
28	21, 23	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((U e. NrmCVec /\ ((f` m)Ma) e. X) -> (N` ((f` m)Ma)) e. RR)
29	2, 28	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((f` m)Ma) e. X -> (N` ((f` m)Ma)) e. RR)
30	27, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((f` m) e. X /\ a e. X) -> (N` ((f` m)Ma)) e. RR)
31	21, 23	nvge0 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((U e. NrmCVec /\ ((f` m)Ma) e. X) -> 0 <_ (N` ((f` m)Ma)))
32	2, 31	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((f` m)Ma) e. X -> 0 <_ (N` ((f` m)Ma)))
33	27, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((f` m) e. X /\ a e. X) -> 0 <_ (N` ((f` m)Ma)))
34		absid 8113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((N` ((f` m)Ma)) e. RR /\ 0 <_ (N` ((f` m)Ma))) -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) = (N` ((f` m)Ma)))
35	30, 33, 34	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((f` m) e. X /\ a e. X) -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) = (N` ((f` m)Ma)))
36	25, 35	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f` m) e. X /\ a e. X) -> ((f` m)(IndMet` U)a) = (abs` (N` ((f` m)Ma))))
37	1, 3, 10, 21	minveclem3 9892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y C_ X
38	37	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f` m) e. Y -> (f` m) e. X)
39	37	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (a e. Y -> a e. X)
40	36, 38, 39	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f` m) e. Y /\ a e. Y) -> ((f` m)(IndMet` U)a) = (abs` (N` ((f` m)Ma))))
41	20, 40	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f` m) e. Y /\ a e. Y) -> ((f` m)Da) = (abs` (N` ((f` m)Ma))))
42		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->Y /\ m e. NN) -> (f` m) e. Y)
43	41, 42	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->Y /\ m e. NN) /\ a e. Y) -> ((f` m)Da) = (abs` (N` ((f` m)Ma))))
44	43	an1rs 547	. . . . . . . . . 10 |- (((f:NN-->Y /\ a e. Y) /\ m e. NN) -> ((f` m)Da) = (abs` (N` ((f` m)Ma))))
45	44	breq1d 3348	. . . . . . . . 9 |- (((f:NN-->Y /\ a e. Y) /\ m e. NN) -> (((f` m)Da) < u <-> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u))
46	45	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (((f:NN-->Y /\ a e. Y) /\ m e. NN) -> ((k <_ m -> ((f` m)Da) < u) <-> (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
47	46	ralbidva 2119	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->Y /\ a e. Y) -> (A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u) <-> A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
48	47	rexbidv 2124	. . . . . 6 |- ((f:NN-->Y /\ a e. Y) -> (E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u) <-> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
49	48	adantlr 429	. . . . 5 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) -> (E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u) <-> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
50	49	adantr 425	. . . 4 |- ((((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) /\ u e. RR+) -> (E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> ((f` m)Da) < u) <-> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
51	17, 50	mpbid 212	. . 3 |- ((((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) /\ u e. RR+) -> E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u))
52	51	r19.21aiva 2176	. 2 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) -> A.u e. RR+ E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u))
53	30	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (((f` m) e. X /\ a e. X) -> (N` ((f` m)Ma)) e. CC)
54	1, 3, 10, 21	minveclem4 9893	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->Y /\ m e. NN) -> (f` m) e. X)
55	53, 54, 39	syl2an 503	. . . . . 6 |- (((f:NN-->Y /\ m e. NN) /\ a e. Y) -> (N` ((f` m)Ma)) e. CC)
56	55	an1rs 547	. . . . 5 |- (((f:NN-->Y /\ a e. Y) /\ m e. NN) -> (N` ((f` m)Ma)) e. CC)
57	56	r19.21aiva 2176	. . . 4 |- ((f:NN-->Y /\ a e. Y) -> A.m e. NN (N` ((f` m)Ma)) e. CC)
58		minvec9.j	. . . . 5 |- J e. _V
59		minvec9.k	. . . . 5 |- (m e. NN -> (J` m) = (N` ((f` m)Ma)))
60	58, 59	clm0nnsi 8345	. . . 4 |- (A.m e. NN (N` ((f` m)Ma)) e. CC -> (J ~~> 0 <-> A.u e. RR+ E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
61	57, 60	syl 12	. . 3 |- ((f:NN-->Y /\ a e. Y) -> (J ~~> 0 <-> A.u e. RR+ E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
62	61	adantlr 429	. 2 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) -> (J ~~> 0 <-> A.u e. RR+ E.k e. NN A.m e. NN (k <_ m -> (abs` (N` ((f` m)Ma))) < u)))
63	52, 62	mpbird 213	1 |- (((f:NN-->Y /\ f(~~>m` D)a) /\ a e. Y) -> J ~~> 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  NNcn 6449  RR+crp 6453   < clt 6653  abscabs 8000   ~~> cli 8234  Metcme 9066  ~~>mclm 9197  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  -vcnsb 9540  normcnm 9541  IndMetcims 9542  SubSpcss 9719  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  minveclem30 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-met 9070  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ssp 9720  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain