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Theorem minveclem7 20764
Description: Lemma for minvec 20765. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem7  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, J, y    x, N, y    ph, x, y    x, R, y    x, U, y   
x, X, y    x, Y, y    x, D, y   
x, S, y

Proof of Theorem minveclem7
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  U
)
2 minvec.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
3 minvec.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  U
)
4 minvec.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
5 minvec.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.w . . 3  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
7 minvec.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 minvec.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
9 minvec.r . . 3  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
10 minvec.s . . 3  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
11 minvec.d . . 3  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem5 20762 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
134ad2antrr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  U  e.  CPreHil )
145ad2antrr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  Y  e.  (
LSubSp `  U ) )
156ad2antrr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
167ad2antrr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  A  e.  X
)
17 0re 9374 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  0  e.  RR )
19 0le0 10399 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  0  <_  0
)
21 simplrl 752 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  x  e.  Y
)
22 simplrr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  w  e.  Y
)
23 simprl 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( A D x ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 ) )
24 simprr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( A D w ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 ) )
251, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 21, 22, 23, 24minveclem2 20755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  w  e.  Y )
)  /\  ( (
( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  /\  (
( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 ) ) )  ->  ( ( x D w ) ^
2 )  <_  (
4  x.  0 ) )
2625ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( ( A D x ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 )  /\  ( ( A D w ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 ) )  ->  (
( x D w ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  0 ) ) )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 20763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
2827adantrr 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( A D x ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 20763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( A D w ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  w
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
3029adantrl 708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( A D w ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  w ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
3128, 30anbi12d 703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( ( A D x ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 )  /\  ( ( A D w ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  0 ) )  <->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  w ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) ) )
32 4cn 10387 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3332mul01i 9547 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  0 )  =  0
3433breq2i 4288 . . . . 5  |-  ( ( ( x D w ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  0 )  <->  ( (
x D w ) ^ 2 )  <_ 
0 )
35 cphngp 20534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
36 ngpms 20034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
374, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
3837adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  U  e.  MetSp )
391, 11msmet 19874 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
41 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
421, 41lssss 16940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
435, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4443adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  Y  C_  X )
45 simprl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  x  e.  Y )
4644, 45sseldd 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
47 simprr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  Y )
4844, 47sseldd 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  X )
49 metcl 19749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
x D w )  e.  RR )
5040, 46, 48, 49syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( x D w )  e.  RR )
5150sqge0d 12019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
0  <_  ( (
x D w ) ^ 2 ) )
5251biantrud 504 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  <->  ( ( ( x D w ) ^ 2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^
2 ) ) ) )
5350resqcld 12018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( x D w ) ^ 2 )  e.  RR )
54 letri3 9448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x D w ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
5553, 17, 54sylancl 655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
5650recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( x D w )  e.  CC )
57 sqeq0 11914 . . . . . . . 8  |-  ( ( x D w )  e.  CC  ->  (
( ( x D w ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x D w )  =  0 ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
( x D w )  =  0 ) )
59 meteq0 19756 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( x D w )  =  0  <->  x  =  w ) )
6040, 46, 48, 59syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( x D w )  =  0  <-> 
x  =  w ) )
6158, 60bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  =  0  <-> 
x  =  w ) )
6252, 55, 613bitr2d 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  0  <->  x  =  w ) )
6334, 62syl5bb 257 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( x D w ) ^
2 )  <_  (
4  x.  0 )  <-> 
x  =  w ) )
6426, 31, 633imtr3d 267 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  w ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  ->  x  =  w ) )
6564ralrimivva 2798 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  A. w  e.  Y  ( ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  w ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  ->  x  =  w ) )
66 oveq2 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  w
) )
6766fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  w ) ) )
6867breq1d 4290 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  w ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
6968ralbidv 2725 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  w ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7069reu4 3142 . 2  |-  ( E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) )  <-> 
( E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) )  /\  A. x  e.  Y  A. w  e.  Y  (
( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) )  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  w ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )  ->  x  =  w ) ) )
7112, 65, 70sylanbrc 657 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   ran crn 4828    |` cres 4829   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407   2c2 10359   4c4 10361   ^cexp 11849   Basecbs 14157   ↾s cress 14158   distcds 14230   TopOpenctopn 14343   -gcsg 15396   LSubSpclss 16935   Metcme 17646   MetSpcmt 19735   normcnm 20011  NrmGrpcngp 20012   CPreHilccph 20527  CMetSpccms 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-rest 14344  df-0g 14363  df-topgen 14365  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-rnghom 16740  df-drng 16758  df-subrg 16787  df-staf 16854  df-srng 16855  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lmhm 17025  df-lvec 17106  df-sra 17175  df-rgmod 17176  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-phl 17897  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-haus 18761  df-fil 19261  df-flim 19354  df-xms 19737  df-ms 19738  df-nm 20017  df-ngp 20018  df-nlm 20021  df-clm 20477  df-cph 20529  df-cfil 20608  df-cmet 20610  df-cms 20688
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