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Theorem minveclem6OLD 22466
Description: Lemma for minvecOLD 22468. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem6 22454 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecOLD.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvecOLD.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvecOLD.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvecOLD.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvecOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvecOLD.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvecOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvecOLD.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvecOLD.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvecOLD.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecOLD.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem6OLD  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, J, y    x, N, y    ph, x, y    x, R, y    x, U, y   
x, X, y    x, Y, y    x, D, y   
x, S, y

Proof of Theorem minveclem6OLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvecOLD.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
21oveqi 6321 . . . . . . 7  |-  ( A D x )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) x )
3 minvecOLD.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
43adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
5 minvecOLD.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvecOLD.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  U
)
7 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
86, 7lssss 18238 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
109sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
114, 10ovresd 6456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) ) x )  =  ( A ( dist `  U
) x ) )
122, 11syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( A ( dist `  U ) x ) )
13 minvecOLD.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
14 cphngp 22229 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
1615adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
17 minvecOLD.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
18 minvecOLD.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
2017, 6, 18, 19ngpds 21695 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2116, 4, 10, 20syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2212, 21eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2322oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A  .-  x ) ) ^
2 ) )
24 minvecOLD.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
25 minvecOLD.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
26 minvecOLD.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
27 minvecOLD.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 22444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2928adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3029simp1d 1042 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
3129simp2d 1043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
32 0red 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3329simp3d 1044 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
34 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3534ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3635rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3732, 33, 36syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
38 infmrclOLD 10615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3930, 31, 37, 38syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4024, 39syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
4140resqcld 12480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
4241recnd 9687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4342addid1d 9851 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4423, 43breq12d 4408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
45 cphlmod 22230 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
4613, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4746adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
486, 18lmodvsubcl 18211 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
4947, 4, 10, 48syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
506, 17nmcl 21707 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
5116, 49, 50syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
526, 17nmge0 21708 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
5316, 49, 52syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
54 infmrgelbOLD 10617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5633, 55mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
5756, 24syl6breqr 4436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5851, 40, 53, 57le2sqd 12489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
5924breq2i 4403 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
60 infmrgelbOLD 10617 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A  .-  x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6259, 61syl5bb 265 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6344, 58, 623bitr2d 289 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6427raleqi 2977 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w )
65 fvex 5889 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
6665rgenw 2768 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
67 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
68 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
6967, 68ralrnmpt 6046 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `
 ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7066, 69ax-mp 5 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7164, 70bitri 257 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7263, 71syl6bb 269 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840    |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694   2c2 10681   ^cexp 12310   Basecbs 15199   ↾s cress 15200   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   -gcsg 16749   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670   CPreHilccph 22222  CMetSpccms 22378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-seq 12252  df-exp 12311  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-cph 22224
This theorem is referenced by:  minveclem7OLD  22467
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