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Theorem minveclem6 21034
Description: Lemma for minvec 21036. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, J, y    x, N, y    ph, x, y    x, R, y    x, U, y   
x, X, y    x, Y, y    x, D, y   
x, S, y

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
21oveqi 6200 . . . . . . 7  |-  ( A D x )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) x )
3 minvec.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
5 minvec.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  U
)
7 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
86, 7lssss 17121 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
109sselda 3451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
114, 10ovresd 6328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) ) x )  =  ( A ( dist `  U
) x ) )
122, 11syl5eq 2503 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( A ( dist `  U ) x ) )
13 minvec.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
14 cphngp 20805 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
17 minvec.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
18 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
2017, 6, 18, 19ngpds 20308 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2116, 4, 10, 20syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2212, 21eqtrd 2491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2322oveq1d 6202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A  .-  x ) ) ^
2 ) )
24 minvec.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 21024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3029simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
3129simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
32 0red 9485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3329simp3d 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
34 breq1 4390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3534ralbidv 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3635rspcev 3166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3732, 33, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
38 infmrcl 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3930, 31, 37, 38syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4024, 39syl5eqel 2541 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
4140resqcld 12132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
4241recnd 9510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4342addid1d 9667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4423, 43breq12d 4400 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
45 cphlmod 20806 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
4613, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4746adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
486, 18lmodvsubcl 17093 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
4947, 4, 10, 48syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
506, 17nmcl 20320 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
5116, 49, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
526, 17nmge0 20321 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
5316, 49, 52syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
54 infmrgelb 10408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5633, 55mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
5756, 24syl6breqr 4427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5851, 40, 53, 57le2sqd 12141 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
5924breq2i 4395 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
60 infmrgelb 10408 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A  .-  x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6259, 61syl5bb 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6344, 58, 623bitr2d 281 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6427raleqi 3014 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w )
65 fvex 5796 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
6665rgenw 2888 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
67 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
68 breq2 4391 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
6967, 68ralrnmpt 5948 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `
 ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7066, 69ax-mp 5 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7164, 70bitri 249 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7263, 71syl6bb 261 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3065    C_ wss 3423   (/)c0 3732   class class class wbr 4387    |-> cmpt 4445    X. cxp 4933   `'ccnv 4934   ran crn 4936    |` cres 4937   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   supcsup 7788   RRcr 9379   0cc0 9380    + caddc 9383    < clt 9516    <_ cle 9517   2c2 10469   ^cexp 11963   Basecbs 14273   ↾s cress 14274   distcds 14346   TopOpenctopn 14459   -gcsg 15512   LModclmod 17051   LSubSpclss 17116   normcnm 20282  NrmGrpcngp 20283   CPreHilccph 20798  CMetSpccms 20956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xneg 11187  df-xadd 11188  df-xmul 11189  df-seq 11905  df-exp 11964  df-0g 14479  df-topgen 14481  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-psmet 17915  df-xmet 17916  df-met 17917  df-bl 17918  df-mopn 17919  df-top 18616  df-bases 18618  df-topon 18619  df-topsp 18620  df-xms 20008  df-ms 20009  df-nm 20288  df-ngp 20289  df-nlm 20292  df-cph 20800
This theorem is referenced by:  minveclem7  21035
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