Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem minveclem6 22454
 Description: Lemma for minvec 22456. Any minimal point is less than away from . (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x
minvec.m
minvec.n
minvec.u
minvec.y
minvec.w s CMetSp
minvec.a
minvec.j
minvec.r
minvec.s inf
minvec.d
Assertion
Ref Expression
minveclem6
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8
21oveqi 6321 . . . . . . 7
3 minvec.a . . . . . . . . 9
43adantr 472 . . . . . . . 8
5 minvec.y . . . . . . . . . 10
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11
7 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
86, 7lssss 18238 . . . . . . . . . 10
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9
109sselda 3418 . . . . . . . 8
114, 10ovresd 6456 . . . . . . 7
122, 11syl5eq 2517 . . . . . 6
13 minvec.u . . . . . . . . 9
14 cphngp 22229 . . . . . . . . 9 NrmGrp
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 NrmGrp
1615adantr 472 . . . . . . 7 NrmGrp
17 minvec.n . . . . . . . 8
18 minvec.m . . . . . . . 8
19 eqid 2471 . . . . . . . 8
2017, 6, 18, 19ngpds 21695 . . . . . . 7 NrmGrp
2116, 4, 10, 20syl3anc 1292 . . . . . 6
2212, 21eqtrd 2505 . . . . 5
2322oveq1d 6323 . . . 4
24 minvec.s . . . . . . . 8 inf
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 s CMetSp
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 22444 . . . . . . . . . . 11
2928adantr 472 . . . . . . . . . 10
3029simp1d 1042 . . . . . . . . 9
3129simp2d 1043 . . . . . . . . 9
32 0red 9662 . . . . . . . . . 10
3329simp3d 1044 . . . . . . . . . 10
34 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12
3534ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11
3635rspcev 3136 . . . . . . . . . 10
3732, 33, 36syl2anc 673 . . . . . . . . 9
38 infrecl 10612 . . . . . . . . 9 inf
3930, 31, 37, 38syl3anc 1292 . . . . . . . 8 inf
4024, 39syl5eqel 2553 . . . . . . 7
4140resqcld 12480 . . . . . 6
4241recnd 9687 . . . . 5
4342addid1d 9851 . . . 4
4423, 43breq12d 4408 . . 3
45 cphlmod 22230 . . . . . . . 8
4613, 45syl 17 . . . . . . 7
4746adantr 472 . . . . . 6
486, 18lmodvsubcl 18211 . . . . . 6
4947, 4, 10, 48syl3anc 1292 . . . . 5
506, 17nmcl 21707 . . . . 5 NrmGrp
5116, 49, 50syl2anc 673 . . . 4
526, 17nmge0 21708 . . . . 5 NrmGrp
5316, 49, 52syl2anc 673 . . . 4
54 infregelb 10616 . . . . . . 7 inf
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1295 . . . . . 6 inf
5633, 55mpbird 240 . . . . 5 inf
5756, 24syl6breqr 4436 . . . 4
5851, 40, 53, 57le2sqd 12489 . . 3
5924breq2i 4403 . . . 4 inf
60 infregelb 10616 . . . . 5 inf
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1295 . . . 4 inf
6259, 61syl5bb 265 . . 3
6344, 58, 623bitr2d 289 . 2
6427raleqi 2977 . . 3
65 fvex 5889 . . . . 5
6665rgenw 2768 . . . 4
67 eqid 2471 . . . . 5
68 breq2 4399 . . . . 5
6967, 68ralrnmpt 6046 . . . 4
7066, 69ax-mp 5 . . 3
7164, 70bitri 257 . 2
7263, 71syl6bb 269 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840   cres 4841  cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   clt 9693   cle 9694  c2 10681  cexp 12310  cbs 15199   ↾s cress 15200  cds 15277  ctopn 15398  csg 16749  clmod 18169  clss 18233  cnm 21669  NrmGrpcngp 21670  ccph 22222  CMetSpccms 22378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-seq 12252  df-exp 12311  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-cph 22224 This theorem is referenced by:  minveclem7  22455
 Copyright terms: Public domain W3C validator