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Theorem minveclem6 21722
Description: Lemma for minvec 21724. Any minimal point is less than  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, J, y    x, N, y    ph, x, y    x, R, y    x, U, y   
x, X, y    x, Y, y    x, D, y   
x, S, y

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
21oveqi 6294 . . . . . . 7  |-  ( A D x )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) x )
3 minvec.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A  e.  X )
5 minvec.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  U
)
7 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
86, 7lssss 17457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
109sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
114, 10ovresd 6428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) ) x )  =  ( A ( dist `  U
) x ) )
122, 11syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( A ( dist `  U ) x ) )
13 minvec.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
14 cphngp 21493 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
17 minvec.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
18 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
2017, 6, 18, 19ngpds 20996 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2116, 4, 10, 20syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A ( dist `  U
) x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2212, 21eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A D x )  =  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
2322oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( A D x ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A  .-  x ) ) ^
2 ) )
24 minvec.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 21712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3029simp1d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
3129simp2d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  =/=  (/) )
32 0red 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  e.  RR )
3329simp3d 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
34 breq1 4440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
3534ralbidv 2882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
3635rspcev 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
3732, 33, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
38 infmrcl 10528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3930, 31, 37, 38syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4024, 39syl5eqel 2535 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
4140resqcld 12315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
4241recnd 9625 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
4342addid1d 9783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  0 )  =  ( S ^
2 ) )
4423, 43breq12d 4450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
45 cphlmod 21494 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
4613, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4746adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
486, 18lmodvsubcl 17429 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
4947, 4, 10, 48syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( A  .-  x )  e.  X )
506, 17nmcl 21008 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
5116, 49, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  e.  RR )
526, 17nmge0 21009 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
5316, 49, 52syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
54 infmrgelb 10529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5633, 55mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
5756, 24syl6breqr 4477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  0  <_  S )
5851, 40, 53, 57le2sqd 12324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  ( ( N `  ( A  .-  x ) ) ^
2 )  <_  ( S ^ 2 ) ) )
5924breq2i 4445 . . . 4  |-  ( ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  S  <->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
60 infmrgelb 10529 . . . . 5  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( N `
 ( A  .-  x ) )  e.  RR )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  w ) )
6259, 61syl5bb 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6344, 58, 623bitr2d 281 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  w
) )
6427raleqi 3044 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w )
65 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
6665rgenw 2804 . . . 4  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
67 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
68 breq2 4441 . . . . 5  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
6967, 68ralrnmpt 6025 . . . 4  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( N `
 ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
7066, 69ax-mp 5 . . 3  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7164, 70bitri 249 . 2  |-  ( A. w  e.  R  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
7263, 71syl6bb 261 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( A D x ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  0 )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   ran crn 4990    |` cres 4991   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    < clt 9631    <_ cle 9632   2c2 10591   ^cexp 12145   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   distcds 14583   TopOpenctopn 14696   -gcsg 15929   LModclmod 17386   LSubSpclss 17452   normcnm 20970  NrmGrpcngp 20971   CPreHilccph 21486  CMetSpccms 21644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-seq 12087  df-exp 12146  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-xms 20696  df-ms 20697  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-nlm 20980  df-cph 21488
This theorem is referenced by:  minveclem7  21723
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