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Theorem minveclem4a 21608
Description: Lemma for minvec 21614. 
F converges to a point 
P in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4a  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, P    y, F    y, N    ph, r, y    y, R    y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
2 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
32uniex 6580 . . . 4  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
43snid 4055 . . 3  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 cphngp 21383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
7 ngpxms 20884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  *MetSp )
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  *MetSp )
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  U
)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
129, 10, 11xmstopn 20717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
138, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
1413oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  ( ( MetOpen `  D )t  Y
) )
1510, 11xmsxmet 20722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
168, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1910, 18lssss 17383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
21 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2421, 22, 23metrest 20790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  D )t  Y )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
2516, 20, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  D
)t 
Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
2614, 25eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  U )
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( norm `  U
)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 21606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
35 fgcl 20142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
) )
37 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  U )  e.  _V
3810, 37eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
40 trfg 20155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  /\  Y  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( X
filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y filGen F ) )
4136, 20, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y
filGen F ) )
42 fgabs 20143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4334, 20, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4443oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( ( X filGen F )t  Y ) )
4541, 44eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  =  ( ( X
filGen F )t  Y ) )
4626, 45oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen F )t  Y ) ) )
47 xmstps 20719 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  U  e.  TopSp )
488, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )
4910, 9istps 19232 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5048, 49sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51 fbsspw 20096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5234, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5420, 53sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fbasweak 20129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
5734, 55, 39, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
58 fgcl 20142 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
60 filfbas 20112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  (
fBas `  Y )
)
6134, 35, 603syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
) )
62 fbsspw 20096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P Y )
6463, 54sstrd 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P X )
65 fbasweak 20129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  C_  ~P X  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
6661, 64, 39, 65syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
) )
67 ssfg 20136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6968, 43sseqtrd 3540 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen F ) )
70 filtop 20119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen F ) )
7136, 70syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen F ) )
7269, 71sseldd 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X
filGen F ) )
73 flimrest 20247 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
7450, 59, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( ( X
filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7546, 74eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7610, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 21605 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
7710, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 21607 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
7823cmetcvg 21487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
7976, 77, 78syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
8075, 79eqnetrrd 2761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )
8180neneqd 2669 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/) )
82 inss1 3718 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
8322methaus 20786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8415, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8512, 84eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  J  e.  Haus )
86 hausflimi 20244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
878, 85, 863syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
88 ssn0 3818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  ( J  fLim  ( X
filGen F ) )  /\  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )  ->  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
8982, 80, 88sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
90 n0moeu 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/)  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <-> 
E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9287, 91mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
93 euen1b 7586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
9492, 93sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) 
~~  1o )
95 en1b 7583 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9694, 95sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9782, 96syl5sseq 3552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
98 sssn 4185 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }  <->  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  \/  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
9997, 98sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/)  \/  (
( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10099ord 377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10181, 100mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } )
1024, 101syl5eleqr 2562 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
) )
1031, 102syl5eqel 2559 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!weu 2275   E*wmo 2276    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1oc1o 7123    ~~ cen 7513   supcsup 7900   RRcr 9491    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629   2c2 10585   RR+crp 11220   ^cexp 12134   Basecbs 14490   ↾s cress 14491   distcds 14564   ↾t crest 14676   TopOpenctopn 14677   -gcsg 15730   LSubSpclss 17378   *Metcxmt 18202   fBascfbas 18205   filGencfg 18206   MetOpencmopn 18207  TopOnctopon 19190   TopSpctps 19192   Hauscha 19603   Filcfil 20109    fLim cflim 20198   *MetSpcxme 20583   normcnm 20860  NrmGrpcngp 20861   CPreHilccph 21376  CauFilccfil 21454   CMetcms 21456  CMetSpccms 21534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-0g 14697  df-topgen 14699  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-subrg 17227  df-staf 17294  df-srng 17295  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lmhm 17468  df-lvec 17549  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-phl 18456  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-haus 19610  df-fil 20110  df-flim 20203  df-xms 20586  df-ms 20587  df-nm 20866  df-ngp 20867  df-nlm 20870  df-clm 21326  df-cph 21378  df-cfil 21457  df-cmet 21459  df-cms 21537
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