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Theorem minveclem4a 21971
Description: Lemma for minvec 21977. 
F converges to a point 
P in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4a  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, P    y, F    y, N    ph, r, y    y, R    y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
2 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
32uniex 6595 . . . 4  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
43snid 4060 . . 3  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 cphngp 21746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
7 ngpxms 21247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  *MetSp )
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  *MetSp )
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  U
)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
129, 10, 11xmstopn 21080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
138, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
1413oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  ( ( MetOpen `  D )t  Y
) )
1510, 11xmsxmet 21085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
168, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1910, 18lssss 17710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
21 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
23 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2421, 22, 23metrest 21153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  D )t  Y )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
2516, 20, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  D
)t 
Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
2614, 25eqtr2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  U )
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( norm `  U
)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 21969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
35 fgcl 20505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
) )
37 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  U )  e.  _V
3810, 37eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
40 trfg 20518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  /\  Y  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( X
filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y filGen F ) )
4136, 20, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y
filGen F ) )
42 fgabs 20506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4334, 20, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4443oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( ( X filGen F )t  Y ) )
4541, 44eqtr3d 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  =  ( ( X
filGen F )t  Y ) )
4626, 45oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen F )t  Y ) ) )
47 xmstps 21082 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  U  e.  TopSp )
488, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )
4910, 9istps 19564 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5048, 49sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51 fbsspw 20459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5234, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5420, 53sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fbasweak 20492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
5734, 55, 39, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
58 fgcl 20505 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
60 filfbas 20475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  (
fBas `  Y )
)
6134, 35, 603syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
) )
62 fbsspw 20459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P Y )
6463, 54sstrd 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P X )
65 fbasweak 20492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  C_  ~P X  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
6661, 64, 39, 65syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
) )
67 ssfg 20499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6968, 43sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen F ) )
70 filtop 20482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen F ) )
7136, 70syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen F ) )
7269, 71sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X
filGen F ) )
73 flimrest 20610 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
7450, 59, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( ( X
filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7546, 74eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7610, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 21968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
7710, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 21970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
7823cmetcvg 21850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
7976, 77, 78syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
8075, 79eqnetrrd 2751 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )
8180neneqd 2659 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/) )
82 inss1 3714 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
8322methaus 21149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8415, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8512, 84eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  J  e.  Haus )
86 hausflimi 20607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
878, 85, 863syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
88 ssn0 3827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  ( J  fLim  ( X
filGen F ) )  /\  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )  ->  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
8982, 80, 88sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
90 n0moeu 3807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/)  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <-> 
E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9287, 91mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
93 euen1b 7605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
9492, 93sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) 
~~  1o )
95 en1b 7602 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9694, 95sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9782, 96syl5sseq 3547 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
98 sssn 4190 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }  <->  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  \/  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
9997, 98sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/)  \/  (
( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10099ord 377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10181, 100mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } )
1024, 101syl5eleqr 2552 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
) )
1031, 102syl5eqel 2549 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1395    e. wcel 1819   E!weu 2283   E*wmo 2284    =/= wne 2652   {crab 2811   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1oc1o 7141    ~~ cen 7532   supcsup 7918   RRcr 9508    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646   2c2 10606   RR+crp 11245   ^cexp 12169   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   distcds 14721   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   -gcsg 16182   LSubSpclss 17705   *Metcxmt 18530   fBascfbas 18533   filGencfg 18534   MetOpencmopn 18535  TopOnctopon 19522   TopSpctps 19524   Hauscha 19936   Filcfil 20472    fLim cflim 20561   *MetSpcxme 20946   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224   CPreHilccph 21739  CauFilccfil 21817   CMetcms 21819  CMetSpccms 21897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-staf 17621  df-srng 17622  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lvec 17876  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-phl 18788  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-haus 19943  df-fil 20473  df-flim 20566  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nlm 21233  df-clm 21689  df-cph 21741  df-cfil 21820  df-cmet 21822  df-cms 21900
This theorem is referenced by:  minveclem4b  21972  minveclem4  21973
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