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Theorem minveclem4OLD 22386
Description: Lemma for minvecOLD 22390. The convergent point of the Cauchy sequence  F attains the minimum distance, and so is closer to  A than any other point in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem4 22374 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecOLD.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvecOLD.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvecOLD.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvecOLD.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvecOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvecOLD.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvecOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvecOLD.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvecOLD.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvecOLD.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecOLD.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvecOLD.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvecOLD.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
minvecOLD.t  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4OLD  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, r, y, A    J, r, x, y    x, P, y    x, F, y   
x, N, y    ph, r, x, y    x, R, y   
x, U, y    X, r, x, y    Y, r, x, y    D, r, x, y    S, r, x, y    T, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    T( x)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4OLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3653 . . 3  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  Y
2 minvecOLD.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvecOLD.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvecOLD.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvecOLD.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvecOLD.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvecOLD.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvecOLD.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvecOLD.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvecOLD.r . . . 4  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvecOLD.s . . . 4  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
12 minvecOLD.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
13 minvecOLD.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
14 minvecOLD.p . . . 4  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4aOLD 22384 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
161, 15sseldi 3430 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
1712oveqi 6303 . . . . . . 7  |-  ( A D P )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4bOLD 22385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
198, 18ovresd 6437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )  =  ( A (
dist `  U ) P ) )
2017, 19syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( A ( dist `  U
) P ) )
21 cphngp 22151 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
225, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
23 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
244, 2, 3, 23ngpds 21617 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2522, 8, 18, 24syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2620, 25eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( N `
 ( A  .-  P ) ) )
2726adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
28 ngpms 21614 . . . . . . . 8  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
292, 12msmet 21472 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3022, 28, 293syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metcl 21347 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A D P )  e.  RR )
3230, 8, 18, 31syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  RR )
3332adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  e.  RR )
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4cOLD 22379 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3534adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
3622adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
37 cphlmod 22152 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
385, 37syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
408adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
422, 41lssss 18160 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
436, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4443sselda 3432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
452, 3lmodvsubcl 18133 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
4639, 40, 44, 45syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
472, 4nmcl 21629 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4836, 46, 47syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4934, 32ltnled 9782 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  -.  ( A D P )  <_  S ) )
502, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem3bOLD 22382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
51 fbsspw 20847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5443, 53sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  U )  e.  _V
572, 56eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
59 fbasweak 20880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
6050, 55, 58, 59syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
62 fgcl 20893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
64 ssfg 20887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
66 minvecOLD.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
6732, 34readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )
6867rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR )
6968resqcld 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR )
7034resqcld 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
7169, 70resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR )
7334, 32, 34ltadd1d 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  ( S  +  S )  <  (
( A D P )  +  S ) ) )
7434recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
75742timesd 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( S  +  S ) )
7675breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( S  +  S
)  <  ( ( A D P )  +  S ) ) )
77 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
78 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
7977, 78pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
81 ltmuldiv2 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  S )  <  ( ( A D P )  +  S )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
8234, 67, 80, 81syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
S  <  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
8373, 76, 823bitr2d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
842, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
8684simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
8784simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
88 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
89 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
9089ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9190rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9288, 85, 91sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
94 infmrgelbOLD 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9586, 87, 92, 93, 94syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9685, 95mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
9796, 11syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
98 metge0 21360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  0  <_  ( A D P ) )
9930, 8, 18, 98syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D P ) )
10032, 34, 99, 97addge0d 10189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )
101 divge0 10474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
10267, 100, 80, 101syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) )
10334, 68, 97, 102lt2sqd 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( S ^ 2 )  <  ( ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
10470, 69posdifd 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) ) )
10583, 103, 1043bitrd 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
106105biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
10772, 106elrpd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR+ )
10866, 107syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  T  e.  RR+ )
1096adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
110 rabexg 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
112 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
113 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  T  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  =  ( ( S ^ 2 )  +  T ) )
114113breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  T  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) ) )
115114rabbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  T  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) } )
116112, 115elrnmpt1s 5082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
117108, 111, 116syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
118117, 13syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  F )
11965, 118sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F ) )
120 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  X
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  X
)
12266oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
12370ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
124123recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
12568ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  e.  RR )
126125resqcld 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
127126recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
128124, 127pncan3d 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
129122, 128syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
130129breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
13130ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1328ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
13344adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
134 metcl 21347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  e.  RR )
135131, 132, 133, 134syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  e.  RR )
136 metge0 21360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( A D y ) )
137131, 132, 133, 136syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( A D y ) )
138102ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
139135, 125, 137, 138le2sqd 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
140130, 139bitr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
141140rabbidva 3035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  =  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )
14243adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  C_  X
)
143 rabss2 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y 
C_  X  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) } )
145141, 144eqsstrd 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
146 filss 20868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F )  /\  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } 
C_  X  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  e.  ( X filGen F ) )
14763, 119, 121, 145, 146syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  ( X filGen F ) )
148 flimclsi 20993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( X filGen F )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
150 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
151150, 15sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) )
152151adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( J  fLim  ( X
filGen F ) ) )
153149, 152sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) } ) )
154 ngpxms 21615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  *MetSp )
1552, 12xmsxmet 21471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
15622, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
157156adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
1588adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  A  e.  X )
15968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e.  RR )
160159rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e. 
RR* )
161 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
162 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  =  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }
163161, 162blcld 21520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR* )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  D )
) )
164157, 158, 160, 163syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
1659, 2, 12xmstopn 21466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
16622, 154, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
167166adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  J  =  ( MetOpen `  D )
)
168167fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( Clsd `  J )  =  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
169164, 168eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
170 cldcls 20057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
172153, 171eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
173 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  P  ->  ( A D y )  =  ( A D P ) )
174173breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  P  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
175174elrab 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  <->  ( P  e.  X  /\  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
176175simprbi 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  ->  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
177172, 176syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
17832, 34, 32leadd2d 10208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
17932recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  CC )
1801792timesd 10855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A D P ) )  =  ( ( A D P )  +  ( A D P ) ) )
181180breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
182 lemuldiv2 10487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18379, 182mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_ 
( ( A D P )  +  S
)  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18432, 67, 183syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( A D P )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
185178, 181, 1843bitr2d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( A D P )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ) )
186185biimpar 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
187177, 186syldan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
188187ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  -> 
( A D P )  <_  S )
)
18949, 188sylbird 239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A D P )  <_  S  ->  ( A D P )  <_  S
) )
190189pm2.18d 115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  <_  S )
191190adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_  S )
19286adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
19392adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
194 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
195 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
196 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
197196elrnmpt1 5083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( N `  ( A 
.-  y ) )  e.  _V )  -> 
( N `  ( A  .-  y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) )
198194, 195, 197sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
199198, 10syl6eleqr 2540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )
200 infmrlbOLD 10597 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
201192, 193, 199, 200syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20211, 201syl5eqbr 4436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20333, 35, 48, 191, 202letrd 9792 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
20427, 203eqbrtrrd 4425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
205204ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
206 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  P
) )
207206fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
208207breq1d 4412 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
209208ralbidv 2827 . . 3  |-  ( x  =  P  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
210209rspcev 3150 . 2  |-  ( ( P  e.  Y  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
21116, 205, 210syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835    |` cres 4836   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   ^cexp 12272   Basecbs 15121   ↾s cress 15122   distcds 15199   TopOpenctopn 15320   -gcsg 16671   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   *Metcxmt 18955   Metcme 18956   fBascfbas 18958   filGencfg 18959   MetOpencmopn 18960   Clsdccld 20031   clsccl 20033   Filcfil 20860    fLim cflim 20949   *MetSpcxme 21332   MetSpcmt 21333   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592   CPreHilccph 22144  CMetSpccms 22300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-subrg 18006  df-staf 18073  df-srng 18074  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lmhm 18245  df-lvec 18326  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-phl 19193  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-haus 20331  df-fil 20861  df-flim 20954  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nlm 21601  df-clm 22094  df-cph 22146  df-cfil 22225  df-cmet 22227  df-cms 22303
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