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Theorem minveclem4OLD 22464
 Description: Lemma for minvecOLD 22468. The convergent point of the Cauchy sequence attains the minimum distance, and so is closer to than any other point in . (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem4 22452 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecOLD.x
minvecOLD.m
minvecOLD.n
minvecOLD.u
minvecOLD.y
minvecOLD.w s CMetSp
minvecOLD.a
minvecOLD.j
minvecOLD.r
minvecOLD.s
minvecOLD.d
minvecOLD.f
minvecOLD.p
minvecOLD.t
Assertion
Ref Expression
minveclem4OLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem minveclem4OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3644 . . 3
2 minvecOLD.x . . . 4
3 minvecOLD.m . . . 4
4 minvecOLD.n . . . 4
5 minvecOLD.u . . . 4
6 minvecOLD.y . . . 4
7 minvecOLD.w . . . 4 s CMetSp
8 minvecOLD.a . . . 4
9 minvecOLD.j . . . 4
10 minvecOLD.r . . . 4
11 minvecOLD.s . . . 4
12 minvecOLD.d . . . 4
13 minvecOLD.f . . . 4
14 minvecOLD.p . . . 4
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4aOLD 22462 . . 3
161, 15sseldi 3416 . 2
1712oveqi 6321 . . . . . . 7
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4bOLD 22463 . . . . . . . 8
198, 18ovresd 6456 . . . . . . 7
2017, 19syl5eq 2517 . . . . . 6
21 cphngp 22229 . . . . . . . 8 NrmGrp
225, 21syl 17 . . . . . . 7 NrmGrp
23 eqid 2471 . . . . . . . 8
244, 2, 3, 23ngpds 21695 . . . . . . 7 NrmGrp
2522, 8, 18, 24syl3anc 1292 . . . . . 6
2620, 25eqtrd 2505 . . . . 5
2726adantr 472 . . . 4
28 ngpms 21692 . . . . . . . 8 NrmGrp
292, 12msmet 21550 . . . . . . . 8
3022, 28, 293syl 18 . . . . . . 7
31 metcl 21425 . . . . . . 7
3230, 8, 18, 31syl3anc 1292 . . . . . 6
3332adantr 472 . . . . 5
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4cOLD 22457 . . . . . 6
3534adantr 472 . . . . 5
3622adantr 472 . . . . . 6 NrmGrp
37 cphlmod 22230 . . . . . . . . 9
385, 37syl 17 . . . . . . . 8
3938adantr 472 . . . . . . 7
408adantr 472 . . . . . . 7
41 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
422, 41lssss 18238 . . . . . . . . 9
436, 42syl 17 . . . . . . . 8
4443sselda 3418 . . . . . . 7
452, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . . 7
4639, 40, 44, 45syl3anc 1292 . . . . . 6
472, 4nmcl 21707 . . . . . 6 NrmGrp
4836, 46, 47syl2anc 673 . . . . 5
4934, 32ltnled 9799 . . . . . . . 8
502, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem3bOLD 22460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 fbsspw 20925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 sspwb 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5443, 53sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5552, 54sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
572, 56eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 fbasweak 20958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6050, 55, 58, 59syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 fgcl 20971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 ssfg 20965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 minvecOLD.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6732, 34readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6867rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6968resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7034resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7169, 70resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7334, 32, 34ltadd1d 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7434recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
75742timesd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7675breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
77 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
78 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7977, 78pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
81 ltmuldiv2 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8234, 67, 80, 81syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8373, 76, 823bitr2d 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
842, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8584simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8684simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8784simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
88 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
89 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9089ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9190rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9288, 85, 91sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
94 infmrgelbOLD 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9586, 87, 92, 93, 94syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9685, 95mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9796, 11syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98 metge0 21438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9930, 8, 18, 98syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10032, 34, 99, 97addge0d 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
101 divge0 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10267, 100, 80, 101syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10334, 68, 97, 102lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10470, 69posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10583, 103, 1043bitrd 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106105biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10772, 106elrpd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10866, 107syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1096adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110 rabexg 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114113breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116112, 115elrnmpt1s 5088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117108, 111, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118117, 13syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11965, 118sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15
120 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
12266oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12370ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
124123recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12568ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
126125resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127126recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128124, 127pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129122, 128syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130129breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1328ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13344adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135131, 132, 133, 134syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136 metge0 21438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137131, 132, 133, 136syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138102ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139135, 125, 137, 138le2sqd 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140130, 139bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141140rabbidva 3021 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14243adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143 rabss2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145141, 144eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15
146 filss 20946 . . . . . . . . . . . . . . 15
14763, 119, 121, 145, 146syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . 14
148 flimclsi 21071 . . . . . . . . . . . . . 14
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
150 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15
151150, 15sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
152151adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
153149, 152sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12
154 ngpxms 21693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmGrp
1552, 12xmsxmet 21549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15622, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157156adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
1588adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
15968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160159rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
161 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163161, 162blcld 21598 . . . . . . . . . . . . . . 15
164157, 158, 160, 163syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
1659, 2, 12xmstopn 21544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16622, 154, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167166adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
168167fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
169164, 168eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13
170 cldcls 20134 . . . . . . . . . . . . 13
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12
172153, 171eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11
173 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14
174173breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
175174elrab 3184 . . . . . . . . . . . 12
176175simprbi 471 . . . . . . . . . . 11
177172, 176syl 17 . . . . . . . . . 10
17832, 34, 32leadd2d 10229 . . . . . . . . . . . 12
17932recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
1801792timesd 10878 . . . . . . . . . . . . 13
181180breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12
182 lemuldiv2 10509 . . . . . . . . . . . . . 14
18379, 182mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . . 13
18432, 67, 183syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
185178, 181, 1843bitr2d 289 . . . . . . . . . . 11
186185biimpar 493 . . . . . . . . . 10
187177, 186syldan 478 . . . . . . . . 9
188187ex 441 . . . . . . . 8
18949, 188sylbird 243 . . . . . . 7
190189pm2.18d 115 . . . . . 6
191190adantr 472 . . . . 5
19286adantr 472 . . . . . . 7
19392adantr 472 . . . . . . 7
194 simpr 468 . . . . . . . . 9
195 fvex 5889 . . . . . . . . 9
196 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
197196elrnmpt1 5089 . . . . . . . . 9
198194, 195, 197sylancl 675 . . . . . . . 8
199198, 10syl6eleqr 2560 . . . . . . 7
200 infmrlbOLD 10619 . . . . . . 7
201192, 193, 199, 200syl3anc 1292 . . . . . 6
20211, 201syl5eqbr 4429 . . . . 5
20333, 35, 48, 191, 202letrd 9809 . . . 4
20427, 203eqbrtrrd 4418 . . 3
205204ralrimiva 2809 . 2
206 oveq2 6316 . . . . . 6
207206fveq2d 5883 . . . . 5
208207breq1d 4405 . . . 4
209208ralbidv 2829 . . 3
210209rspcev 3136 . 2
21116, 205, 210syl2anc 673 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   crn 4840   cres 4841  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cexp 12310  cbs 15199   ↾s cress 15200  cds 15277  ctopn 15398  csg 16749  clmod 18169  clss 18233  cxmt 19032  cme 19033  cfbas 19035  cfg 19036  cmopn 19037  ccld 20108  ccl 20110  cfil 20938   cflim 21027  cxme 21410  cmt 21411  cnm 21669  NrmGrpcngp 21670  ccph 22222  CMetSpccms 22378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-haus 20408  df-fil 20939  df-flim 21032  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224  df-cfil 22303  df-cmet 22305  df-cms 22381 This theorem is referenced by:  minveclem5OLD  22465
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