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Theorem minveclem4OLD 22464
Description: Lemma for minvecOLD 22468. The convergent point of the Cauchy sequence  F attains the minimum distance, and so is closer to  A than any other point in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem4 22452 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecOLD.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvecOLD.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvecOLD.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvecOLD.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvecOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvecOLD.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvecOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvecOLD.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvecOLD.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvecOLD.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecOLD.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvecOLD.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvecOLD.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
minvecOLD.t  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4OLD  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, r, y, A    J, r, x, y    x, P, y    x, F, y   
x, N, y    ph, r, x, y    x, R, y   
x, U, y    X, r, x, y    Y, r, x, y    D, r, x, y    S, r, x, y    T, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    T( x)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4OLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3644 . . 3  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  Y
2 minvecOLD.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvecOLD.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvecOLD.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvecOLD.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvecOLD.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvecOLD.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvecOLD.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvecOLD.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvecOLD.r . . . 4  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvecOLD.s . . . 4  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
12 minvecOLD.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
13 minvecOLD.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
14 minvecOLD.p . . . 4  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4aOLD 22462 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
161, 15sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
1712oveqi 6321 . . . . . . 7  |-  ( A D P )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4bOLD 22463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
198, 18ovresd 6456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )  =  ( A (
dist `  U ) P ) )
2017, 19syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( A ( dist `  U
) P ) )
21 cphngp 22229 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
225, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
23 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
244, 2, 3, 23ngpds 21695 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2522, 8, 18, 24syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2620, 25eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( N `
 ( A  .-  P ) ) )
2726adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
28 ngpms 21692 . . . . . . . 8  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
292, 12msmet 21550 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3022, 28, 293syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metcl 21425 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A D P )  e.  RR )
3230, 8, 18, 31syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  RR )
3332adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  e.  RR )
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4cOLD 22457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3534adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
3622adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
37 cphlmod 22230 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
385, 37syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
408adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
422, 41lssss 18238 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
436, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4443sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
452, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
4639, 40, 44, 45syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
472, 4nmcl 21707 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4836, 46, 47syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4934, 32ltnled 9799 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  -.  ( A D P )  <_  S ) )
502, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem3bOLD 22460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
51 fbsspw 20925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5443, 53sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  U )  e.  _V
572, 56eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
59 fbasweak 20958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
6050, 55, 58, 59syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
62 fgcl 20971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
64 ssfg 20965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
66 minvecOLD.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
6732, 34readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )
6867rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR )
6968resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR )
7034resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
7169, 70resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR )
7334, 32, 34ltadd1d 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  ( S  +  S )  <  (
( A D P )  +  S ) ) )
7434recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
75742timesd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( S  +  S ) )
7675breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( S  +  S
)  <  ( ( A D P )  +  S ) ) )
77 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
78 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
7977, 78pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
81 ltmuldiv2 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  S )  <  ( ( A D P )  +  S )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
8234, 67, 80, 81syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
S  <  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
8373, 76, 823bitr2d 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
842, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
8684simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
8784simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
88 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
89 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
9089ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9190rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9288, 85, 91sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
94 infmrgelbOLD 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9586, 87, 92, 93, 94syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9685, 95mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
9796, 11syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
98 metge0 21438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  0  <_  ( A D P ) )
9930, 8, 18, 98syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D P ) )
10032, 34, 99, 97addge0d 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )
101 divge0 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
10267, 100, 80, 101syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) )
10334, 68, 97, 102lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( S ^ 2 )  <  ( ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
10470, 69posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) ) )
10583, 103, 1043bitrd 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
106105biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
10772, 106elrpd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR+ )
10866, 107syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  T  e.  RR+ )
1096adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
110 rabexg 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
112 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
113 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  T  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  =  ( ( S ^ 2 )  +  T ) )
114113breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  T  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) ) )
115114rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  T  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) } )
116112, 115elrnmpt1s 5088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
117108, 111, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
118117, 13syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  F )
11965, 118sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F ) )
120 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  X
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  X
)
12266oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
12370ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
124123recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
12568ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  e.  RR )
126125resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
127126recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
128124, 127pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
129122, 128syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
130129breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
13130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1328ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
13344adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
134 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  e.  RR )
135131, 132, 133, 134syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  e.  RR )
136 metge0 21438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( A D y ) )
137131, 132, 133, 136syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( A D y ) )
138102ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
139135, 125, 137, 138le2sqd 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
140130, 139bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
141140rabbidva 3021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  =  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )
14243adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  C_  X
)
143 rabss2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y 
C_  X  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) } )
145141, 144eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
146 filss 20946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F )  /\  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } 
C_  X  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  e.  ( X filGen F ) )
14763, 119, 121, 145, 146syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  ( X filGen F ) )
148 flimclsi 21071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( X filGen F )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
150 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
151150, 15sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) )
152151adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( J  fLim  ( X
filGen F ) ) )
153149, 152sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) } ) )
154 ngpxms 21693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  *MetSp )
1552, 12xmsxmet 21549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
15622, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
157156adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
1588adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  A  e.  X )
15968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e.  RR )
160159rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e. 
RR* )
161 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
162 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  =  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }
163161, 162blcld 21598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR* )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  D )
) )
164157, 158, 160, 163syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
1659, 2, 12xmstopn 21544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
16622, 154, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
167166adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  J  =  ( MetOpen `  D )
)
168167fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( Clsd `  J )  =  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
169164, 168eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
170 cldcls 20134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
172153, 171eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
173 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  P  ->  ( A D y )  =  ( A D P ) )
174173breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  P  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
175174elrab 3184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  <->  ( P  e.  X  /\  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
176175simprbi 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  ->  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
177172, 176syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
17832, 34, 32leadd2d 10229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
17932recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  CC )
1801792timesd 10878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A D P ) )  =  ( ( A D P )  +  ( A D P ) ) )
181180breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
182 lemuldiv2 10509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18379, 182mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_ 
( ( A D P )  +  S
)  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18432, 67, 183syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( A D P )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
185178, 181, 1843bitr2d 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( A D P )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ) )
186185biimpar 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
187177, 186syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
188187ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  -> 
( A D P )  <_  S )
)
18949, 188sylbird 243 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A D P )  <_  S  ->  ( A D P )  <_  S
) )
190189pm2.18d 115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  <_  S )
191190adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_  S )
19286adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
19392adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
194 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
195 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
196 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
197196elrnmpt1 5089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( N `  ( A 
.-  y ) )  e.  _V )  -> 
( N `  ( A  .-  y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) )
198194, 195, 197sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
199198, 10syl6eleqr 2560 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )
200 infmrlbOLD 10619 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
201192, 193, 199, 200syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20211, 201syl5eqbr 4429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20333, 35, 48, 191, 202letrd 9809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
20427, 203eqbrtrrd 4418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
205204ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
206 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  P
) )
207206fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
208207breq1d 4405 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
209208ralbidv 2829 . . 3  |-  ( x  =  P  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
210209rspcev 3136 . 2  |-  ( ( P  e.  Y  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
21116, 205, 210syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840    |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   ^cexp 12310   Basecbs 15199   ↾s cress 15200   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   -gcsg 16749   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   MetOpencmopn 19037   Clsdccld 20108   clsccl 20110   Filcfil 20938    fLim cflim 21027   *MetSpcxme 21410   MetSpcmt 21411   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670   CPreHilccph 22222  CMetSpccms 22378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-haus 20408  df-fil 20939  df-flim 21032  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224  df-cfil 22303  df-cmet 22305  df-cms 22381
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