Theorem minveclem4 21973

Description: Lemma for minvec 21977. The convergent point of the Cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvec.f	|- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
minvec.p	|- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
minvec.t	|- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, r, y, A   J, r, x, y   x, P, y   x, F, y   x, N, y   ph, r, x, y   x, R, y   x, U, y   X, r, x, y   Y, r, x, y   D, r, x, y   S, r, x, y   T, r, y

Allowed substitution hints:   P( r)   R( r)   T( x)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)

Proof of Theorem minveclem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3715	. . 3 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ Y
2		minvec.x	. . . 4 |- X = ( Base ` U )
3		minvec.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
4		minvec.n	. . . 4 |- N = ( norm ` U )
5		minvec.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvec.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvec.w	. . . 4 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvec.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
9		minvec.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvec.r	. . . 4 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11		minvec.s	. . . 4 |- S = sup ( R , RR , `' < )
12		minvec.d	. . . 4 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
13		minvec.f	. . . 4 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
14		minvec.p	. . . 4 |- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4a 21971	. . 3 |- ( ph -> P e. ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) )
16	1, 15	sseldi 3497	. 2 |- ( ph -> P e. Y )
17	12	oveqi 6309	. . . . . . 7 |- ( A D P ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P )
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4b 21972	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. X )
19	8, 18	ovresd 6442	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
20	17, 19	syl5eq 2510	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
21		cphngp 21746	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
22	5, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
23		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
24	4, 2, 3, 23	ngpds 21249	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
25	22, 8, 18, 24	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
26	20, 25	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
27	26	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
28		ngpms 21246	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
29	2, 12	msmet 21086	. . . . . . . 8 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
30	22, 28, 29	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
31		metcl 20961	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A D P ) e. RR )
32	30, 8, 18, 31	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) e. RR )
33	32	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) e. RR )
34	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 21966	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
35	34	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
36	22	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
37		cphlmod 21747	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
38	5, 37	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
39	38	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. LMod )
40	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
41		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
42	2, 41	lssss 17710	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
43	6, 42	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
44	43	sselda 3499	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
45	2, 3	lmodvsubcl 17682	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A .- y ) e. X )
46	39, 40, 44, 45	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A .- y ) e. X )
47	2, 4	nmcl 21261	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- y ) e. X ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
48	36, 46, 47	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
49	34, 32	ltnled 9749	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> -. ( A D P ) <_ S ) )
50	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	minveclem3b 21969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )
51		fbsspw 20459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> F C_ ~P Y )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F C_ ~P Y )
53		sspwb 4705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
54	43, 53	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ~P Y C_ ~P X )
55	52, 54	sstrd 3509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F C_ ~P X )
56		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Base ` U ) e. _V
57	2, 56	eqeltri 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. _V )
59		fbasweak 20492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ F C_ ~P X /\ X e. _V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
60	50, 55, 58, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( fBas ` X ) )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
62		fgcl 20505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
63	61, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
64		ssfg 20499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
65	61, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F C_ ( X filGen F ) )
66		minvec.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )
67	32, 34	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( A D P ) + S ) e. RR )
68	67	rehalfcld 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
69	68	resqcld 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
70	34	resqcld 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
71	69, 70	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
73	34, 32, 34	ltadd1d 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
74	34	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> S e. CC )
75	74	2timesd 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
76	75	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
77		2re 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. RR
78		2pos 10648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 < 2
79	77, 78	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
81		ltmuldiv2 10437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
82	34, 67, 80, 81	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
83	73, 76, 82	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
84	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 21965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
85	84	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
86	84	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R C_ RR )
87	84	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R =/= (/) )
88		0re 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
89		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
90	89	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
91	90	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
92	88, 85, 91	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
93	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. RR )
94		infmrgelb 10543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
95	86, 87, 92, 93, 94	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
96	85, 95	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
97	96, 11	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ S )
98		metge0 20974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> 0 <_ ( A D P ) )
99	30, 8, 18, 98	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 0 <_ ( A D P ) )
100	32, 34, 99, 97	addge0d 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D P ) + S ) )
101		divge0 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D P ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
102	67, 100, 80, 101	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
103	34, 68, 97, 102	lt2sqd 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
104	70, 69	posdifd 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
105	83, 103, 104	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
106	105	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
107	72, 106	elrpd 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
108	66, 107	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> T e. RR+ )
109	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
110		rabexg 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
111	109, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
112		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
113		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = T -> ( ( S ^ 2 ) + r ) = ( ( S ^ 2 ) + T ) )
114	113	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = T -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) ) )
115	114	rabbidv 3101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = T -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } )
116	112, 115	elrnmpt1s 5260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
117	108, 111, 116	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
118	117, 13	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. F )
119	65, 118	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) )
120		ssrab2 3581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X )
122	66	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
123	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
124	123	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. CC )
125	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
126	125	resqcld 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
127	126	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
128	124, 127	pncan3d 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
129	122, 128	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
130	129	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
131	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
132	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
133	44	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
134		metcl 20961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) e. RR )
135	131, 132, 133, 134	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
136		metge0 20974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( A D y ) )
137	131, 132, 133, 136	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( A D y ) )
138	102	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
139	135, 125, 137, 138	le2sqd 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
140	130, 139	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
141	140	rabbidva 3100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } = { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
142	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y C_ X )
143		rabss2 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y C_ X -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
144	142, 143	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
145	141, 144	eqsstrd 3533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
146		filss 20480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) /\ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
147	63, 119, 121, 145, 146	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
148		flimclsi 20605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
149	147, 148	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
150		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ ( J fLim ( X filGen F ) )
151	150, 15	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
152	151	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
153	149, 152	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
154		ngpxms 21247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. NrmGrp -> U e. *MetSp )
155	2, 12	xmsxmet 21085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> D e. ( *Met ` X ) )
156	22, 154, 155	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
157	156	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
158	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> A e. X )
159	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
160	159	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* )
161		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
162		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) }
163	161, 162	blcld 21134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
164	157, 158, 160, 163	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
165	9, 2, 12	xmstopn 21080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> J = ( MetOpen ` D ) )
166	22, 154, 165	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` D ) )
167	166	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> J = ( MetOpen ` D ) )
168	167	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( Clsd ` J ) = ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
169	164, 168	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) )
170		cldcls 19670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
171	169, 170	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
172	153, 171	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
173		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = P -> ( A D y ) = ( A D P ) )
174	173	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = P -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
175	174	elrab 3257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } <-> ( P e. X /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
176	175	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
177	172, 176	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
178	32, 34, 32	leadd2d 10168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
179	32	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D P ) e. CC )
180	179	2timesd 10802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D P ) ) = ( ( A D P ) + ( A D P ) ) )
181	180	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
182		lemuldiv2 10445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
183	79, 182	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
184	32, 67, 183	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
185	178, 181, 184	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
186	185	biimpar 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D P ) <_ S )
187	177, 186	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ S )
188	187	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) -> ( A D P ) <_ S ) )
189	49, 188	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D P ) <_ S -> ( A D P ) <_ S ) )
190	189	pm2.18d 111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) <_ S )
191	190	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ S )
192	86	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
193	92	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
194		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
195		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
196		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
197	196	elrnmpt1 5261	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
198	194, 195, 197	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
199	198, 10	syl6eleqr 2556	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. R )
200		infmrlb 10544	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
201	192, 193, 199, 200	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
202	11, 201	syl5eqbr 4489	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
203	33, 35, 48, 191, 202	letrd 9756	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
204	27, 203	eqbrtrrd 4478	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
205	204	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
206		oveq2 6304	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( A .- x ) = ( A .- P ) )
207	206	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( x = P -> ( N ` ( A .- x ) ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
208	207	breq1d 4466	. . . 4 |- ( x = P -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
209	208	ralbidv 2896	. . 3 |- ( x = P -> ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
210	209	rspcev 3210	. 2 |- ( ( P e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
211	16, 205, 210	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   ^cexp 12169   Basecbs 14644   ↾_s cress 14645   distcds 14721   TopOpenctopn 14839   -gcsg 16182   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   fBascfbas 18533   filGencfg 18534   MetOpencmopn 18535   Clsdccld 19644   clsccl 19646   Filcfil 20472   fLim cflim 20561   *MetSpcxme 20946   MetSpcmt 20947   normcnm 21223  NrmGrpcngp 21224   CPreHilccph 21739  CMetSpccms 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-staf 17621  df-srng 17622  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lvec 17876  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-phl 18788  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-haus 19943  df-fil 20473  df-flim 20566  df-xms 20949  df-ms 20950  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nlm 21233  df-clm 21689  df-cph 21741  df-cfil 21820  df-cmet 21822  df-cms 21900

This theorem is referenced by:  minveclem5  21974