Theorem minveclem4 22366

Description: Lemma for minvec 22370. The convergent point of the Cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvec.f	|- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
minvec.p	|- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
minvec.t	|- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, r, y, A   J, r, x, y   x, P, y   x, F, y   x, N, y   ph, r, x, y   x, R, y   x, U, y   X, r, x, y   Y, r, x, y   D, r, x, y   S, r, x, y   T, r, y

Allowed substitution hints:   P( r)   R( r)   T( x)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)

Proof of Theorem minveclem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3684	. . 3 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ Y
2		minvec.x	. . . 4 |- X = ( Base ` U )
3		minvec.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
4		minvec.n	. . . 4 |- N = ( norm ` U )
5		minvec.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvec.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvec.w	. . . 4 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvec.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
9		minvec.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvec.r	. . . 4 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11		minvec.s	. . . 4 |- S = inf ( R , RR , < )
12		minvec.d	. . . 4 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
13		minvec.f	. . . 4 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
14		minvec.p	. . . 4 |- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4a 22364	. . 3 |- ( ph -> P e. ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) )
16	1, 15	sseldi 3463	. 2 |- ( ph -> P e. Y )
17	12	oveqi 6316	. . . . . . 7 |- ( A D P ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P )
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4b 22365	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. X )
19	8, 18	ovresd 6449	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
20	17, 19	syl5eq 2476	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
21		cphngp 22143	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
22	5, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
23		eqid 2423	. . . . . . . 8 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
24	4, 2, 3, 23	ngpds 21609	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
25	22, 8, 18, 24	syl3anc 1265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
26	20, 25	eqtrd 2464	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
27	26	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
28		ngpms 21606	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
29	2, 12	msmet 21464	. . . . . . . 8 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
30	22, 28, 29	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
31		metcl 21339	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A D P ) e. RR )
32	30, 8, 18, 31	syl3anc 1265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) e. RR )
33	32	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) e. RR )
34	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 22359	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
35	34	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
36	22	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
37		cphlmod 22144	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
38	5, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
39	38	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. LMod )
40	8	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
41		eqid 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
42	2, 41	lssss 18153	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
43	6, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
44	43	sselda 3465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
45	2, 3	lmodvsubcl 18126	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A .- y ) e. X )
46	39, 40, 44, 45	syl3anc 1265	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A .- y ) e. X )
47	2, 4	nmcl 21621	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- y ) e. X ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
48	36, 46, 47	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
49	34, 32	ltnled 9784	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> -. ( A D P ) <_ S ) )
50	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	minveclem3b 22362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )
51		fbsspw 20839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> F C_ ~P Y )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F C_ ~P Y )
53		sspwb 4668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
54	43, 53	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ~P Y C_ ~P X )
55	52, 54	sstrd 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F C_ ~P X )
56		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Base ` U ) e. _V
57	2, 56	eqeltri 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. _V )
59		fbasweak 20872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ F C_ ~P X /\ X e. _V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
60	50, 55, 58, 59	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( fBas ` X ) )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
62		fgcl 20885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
64		ssfg 20879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F C_ ( X filGen F ) )
66		minvec.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )
67	32, 34	readdcld 9672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( A D P ) + S ) e. RR )
68	67	rehalfcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
69	68	resqcld 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
70	34	resqcld 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
71	69, 70	resubcld 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
72	71	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
73	34, 32, 34	ltadd1d 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
74	34	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> S e. CC )
75	74	2timesd 10857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
76	75	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
77		2re 10681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. RR
78		2pos 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 < 2
79	77, 78	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
81		ltmuldiv2 10481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
82	34, 67, 80, 81	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
83	73, 76, 82	3bitr2d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
84	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 22358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
85	84	simp3d 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
86	84	simp1d 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R C_ RR )
87	84	simp2d 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R =/= (/) )
88		0re 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
89		breq1 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
90	89	ralbidv 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
91	90	rspcev 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
92	88, 85, 91	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
93	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. RR )
94		infregelb 10596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
95	86, 87, 92, 93, 94	syl31anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
96	85, 95	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
97	96, 11	syl6breqr 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ S )
98		metge0 21352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> 0 <_ ( A D P ) )
99	30, 8, 18, 98	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 0 <_ ( A D P ) )
100	32, 34, 99, 97	addge0d 10191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D P ) + S ) )
101		divge0 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D P ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
102	67, 100, 80, 101	syl21anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
103	34, 68, 97, 102	lt2sqd 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
104	70, 69	posdifd 10202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
105	83, 103, 104	3bitrd 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
106	105	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
107	72, 106	elrpd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
108	66, 107	syl5eqel 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> T e. RR+ )
109	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
110		rabexg 4572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
112		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
113		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = T -> ( ( S ^ 2 ) + r ) = ( ( S ^ 2 ) + T ) )
114	113	breq2d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = T -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) ) )
115	114	rabbidv 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = T -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } )
116	112, 115	elrnmpt1s 5099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
117	108, 111, 116	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
118	117, 13	syl6eleqr 2522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. F )
119	65, 118	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) )
120		ssrab2 3547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X )
122	66	oveq2i 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
123	70	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
124	123	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. CC )
125	68	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
126	125	resqcld 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
127	126	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
128	124, 127	pncan3d 9991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
129	122, 128	syl5eq 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
130	129	breq2d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
131	30	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
132	8	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
133	44	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
134		metcl 21339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) e. RR )
135	131, 132, 133, 134	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
136		metge0 21352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( A D y ) )
137	131, 132, 133, 136	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( A D y ) )
138	102	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
139	135, 125, 137, 138	le2sqd 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
140	130, 139	bitr4d 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
141	140	rabbidva 3072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } = { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
142	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y C_ X )
143		rabss2 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y C_ X -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
145	141, 144	eqsstrd 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
146		filss 20860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) /\ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
147	63, 119, 121, 145, 146	syl13anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
148		flimclsi 20985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
150		inss1 3683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ ( J fLim ( X filGen F ) )
151	150, 15	sseldi 3463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
152	151	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
153	149, 152	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
154		ngpxms 21607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. NrmGrp -> U e. *MetSp )
155	2, 12	xmsxmet 21463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> D e. ( *Met ` X ) )
156	22, 154, 155	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
157	156	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
158	8	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> A e. X )
159	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
160	159	rexrd 9692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* )
161		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
162		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) }
163	161, 162	blcld 21512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
164	157, 158, 160, 163	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
165	9, 2, 12	xmstopn 21458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> J = ( MetOpen ` D ) )
166	22, 154, 165	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` D ) )
167	166	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> J = ( MetOpen ` D ) )
168	167	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( Clsd ` J ) = ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
169	164, 168	eleqtrrd 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) )
170		cldcls 20049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
172	153, 171	eleqtrd 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
173		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = P -> ( A D y ) = ( A D P ) )
174	173	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = P -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
175	174	elrab 3230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } <-> ( P e. X /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
176	175	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
177	172, 176	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
178	32, 34, 32	leadd2d 10210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
179	32	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D P ) e. CC )
180	179	2timesd 10857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D P ) ) = ( ( A D P ) + ( A D P ) ) )
181	180	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
182		lemuldiv2 10489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
183	79, 182	mp3an3 1350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
184	32, 67, 183	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
185	178, 181, 184	3bitr2d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
186	185	biimpar 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D P ) <_ S )
187	177, 186	syldan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ S )
188	187	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) -> ( A D P ) <_ S ) )
189	49, 188	sylbird 239	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D P ) <_ S -> ( A D P ) <_ S ) )
190	189	pm2.18d 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) <_ S )
191	190	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ S )
192	86	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
193	92	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
194		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
195		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
196		eqid 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
197	196	elrnmpt1 5100	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
198	194, 195, 197	sylancl 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
199	198, 10	syl6eleqr 2522	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. R )
200		infrelb 10598	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. R ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
201	192, 193, 199, 200	syl3anc 1265	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
202	11, 201	syl5eqbr 4455	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
203	33, 35, 48, 191, 202	letrd 9794	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
204	27, 203	eqbrtrrd 4444	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
205	204	ralrimiva 2840	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
206		oveq2 6311	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( A .- x ) = ( A .- P ) )
207	206	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( x = P -> ( N ` ( A .- x ) ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
208	207	breq1d 4431	. . . 4 |- ( x = P -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
209	208	ralbidv 2865	. . 3 |- ( x = P -> ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
210	209	rspcev 3183	. 2 |- ( ( P e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
211	16, 205, 210	syl2anc 666	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   X. cxp 4849   ran crn 4852   |` cres 4853   ` cfv 5599  (class class class)co 6303  infcinf 7959   RRcr 9540   0cc0 9541   + caddc 9544   x. cmul 9546   RR*cxr 9676   < clt 9677   <_ cle 9678   - cmin 9862   / cdiv 10271   2c2 10661   RR+crp 11304   ^cexp 12273   Basecbs 15114   ↾_s cress 15115   distcds 15192   TopOpenctopn 15313   -gcsg 16664   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   *Metcxmt 18948   Metcme 18949   fBascfbas 18951   filGencfg 18952   MetOpencmopn 18953   Clsdccld 20023   clsccl 20025   Filcfil 20852   fLim cflim 20941   *MetSpcxme 21324   MetSpcmt 21325   normcnm 21583  NrmGrpcngp 21584   CPreHilccph 22136  CMetSpccms 22292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-0g 15333  df-topgen 15335  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-staf 18066  df-srng 18067  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lmhm 18238  df-lvec 18319  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-phl 19185  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-haus 20323  df-fil 20853  df-flim 20946  df-xms 21327  df-ms 21328  df-nm 21589  df-ngp 21590  df-nlm 21593  df-clm 22086  df-cph 22138  df-cfil 22217  df-cmet 22219  df-cms 22295

This theorem is referenced by:  minveclem5  22367