Theorem minveclem4 22374

Description: Lemma for minvec 22378. The convergent point of the Cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvec.f	|- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
minvec.p	|- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
minvec.t	|- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, r, y, A   J, r, x, y   x, P, y   x, F, y   x, N, y   ph, r, x, y   x, R, y   x, U, y   X, r, x, y   Y, r, x, y   D, r, x, y   S, r, x, y   T, r, y

Allowed substitution hints:   P( r)   R( r)   T( x)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)

Proof of Theorem minveclem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3653	. . 3 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ Y
2		minvec.x	. . . 4 |- X = ( Base ` U )
3		minvec.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
4		minvec.n	. . . 4 |- N = ( norm ` U )
5		minvec.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvec.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvec.w	. . . 4 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvec.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
9		minvec.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvec.r	. . . 4 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11		minvec.s	. . . 4 |- S = inf ( R , RR , < )
12		minvec.d	. . . 4 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
13		minvec.f	. . . 4 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
14		minvec.p	. . . 4 |- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4a 22372	. . 3 |- ( ph -> P e. ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) )
16	1, 15	sseldi 3430	. 2 |- ( ph -> P e. Y )
17	12	oveqi 6303	. . . . . . 7 |- ( A D P ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P )
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4b 22373	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. X )
19	8, 18	ovresd 6437	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
20	17, 19	syl5eq 2497	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
21		cphngp 22151	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
22	5, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
23		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
24	4, 2, 3, 23	ngpds 21617	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
25	22, 8, 18, 24	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
26	20, 25	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
27	26	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
28		ngpms 21614	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
29	2, 12	msmet 21472	. . . . . . . 8 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
30	22, 28, 29	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
31		metcl 21347	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A D P ) e. RR )
32	30, 8, 18, 31	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) e. RR )
33	32	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) e. RR )
34	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 22367	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
35	34	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
36	22	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
37		cphlmod 22152	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
38	5, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
39	38	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. LMod )
40	8	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
41		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
42	2, 41	lssss 18160	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
43	6, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
44	43	sselda 3432	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
45	2, 3	lmodvsubcl 18133	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A .- y ) e. X )
46	39, 40, 44, 45	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A .- y ) e. X )
47	2, 4	nmcl 21629	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- y ) e. X ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
48	36, 46, 47	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
49	34, 32	ltnled 9782	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> -. ( A D P ) <_ S ) )
50	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	minveclem3b 22370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )
51		fbsspw 20847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> F C_ ~P Y )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F C_ ~P Y )
53		sspwb 4649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
54	43, 53	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ~P Y C_ ~P X )
55	52, 54	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F C_ ~P X )
56		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Base ` U ) e. _V
57	2, 56	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. _V )
59		fbasweak 20880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ F C_ ~P X /\ X e. _V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
60	50, 55, 58, 59	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( fBas ` X ) )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
62		fgcl 20893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
64		ssfg 20887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F C_ ( X filGen F ) )
66		minvec.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )
67	32, 34	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( A D P ) + S ) e. RR )
68	67	rehalfcld 10859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
69	68	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
70	34	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
71	69, 70	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
72	71	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
73	34, 32, 34	ltadd1d 10206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
74	34	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> S e. CC )
75	74	2timesd 10855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
76	75	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
77		2re 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. RR
78		2pos 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 < 2
79	77, 78	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
81		ltmuldiv2 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
82	34, 67, 80, 81	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
83	73, 76, 82	3bitr2d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
84	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 22366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
85	84	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
86	84	simp1d 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R C_ RR )
87	84	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R =/= (/) )
88		0re 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
89		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
90	89	ralbidv 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
91	90	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
92	88, 85, 91	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
93	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. RR )
94		infregelb 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
95	86, 87, 92, 93, 94	syl31anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
96	85, 95	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
97	96, 11	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ S )
98		metge0 21360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> 0 <_ ( A D P ) )
99	30, 8, 18, 98	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 0 <_ ( A D P ) )
100	32, 34, 99, 97	addge0d 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D P ) + S ) )
101		divge0 10474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D P ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
102	67, 100, 80, 101	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
103	34, 68, 97, 102	lt2sqd 12450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
104	70, 69	posdifd 10200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
105	83, 103, 104	3bitrd 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
106	105	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
107	72, 106	elrpd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
108	66, 107	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> T e. RR+ )
109	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
110		rabexg 4553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
112		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
113		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = T -> ( ( S ^ 2 ) + r ) = ( ( S ^ 2 ) + T ) )
114	113	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = T -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) ) )
115	114	rabbidv 3036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = T -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } )
116	112, 115	elrnmpt1s 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
117	108, 111, 116	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
118	117, 13	syl6eleqr 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. F )
119	65, 118	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) )
120		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X )
122	66	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
123	70	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
124	123	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. CC )
125	68	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
126	125	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
127	126	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
128	124, 127	pncan3d 9989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
129	122, 128	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
130	129	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
131	30	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
132	8	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
133	44	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
134		metcl 21347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) e. RR )
135	131, 132, 133, 134	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
136		metge0 21360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( A D y ) )
137	131, 132, 133, 136	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( A D y ) )
138	102	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
139	135, 125, 137, 138	le2sqd 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
140	130, 139	bitr4d 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
141	140	rabbidva 3035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } = { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
142	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y C_ X )
143		rabss2 3512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y C_ X -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
145	141, 144	eqsstrd 3466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
146		filss 20868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) /\ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
147	63, 119, 121, 145, 146	syl13anc 1270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
148		flimclsi 20993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
150		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ ( J fLim ( X filGen F ) )
151	150, 15	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
152	151	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
153	149, 152	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
154		ngpxms 21615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. NrmGrp -> U e. *MetSp )
155	2, 12	xmsxmet 21471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> D e. ( *Met ` X ) )
156	22, 154, 155	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
157	156	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
158	8	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> A e. X )
159	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
160	159	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* )
161		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
162		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) }
163	161, 162	blcld 21520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
164	157, 158, 160, 163	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
165	9, 2, 12	xmstopn 21466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> J = ( MetOpen ` D ) )
166	22, 154, 165	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` D ) )
167	166	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> J = ( MetOpen ` D ) )
168	167	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( Clsd ` J ) = ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
169	164, 168	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) )
170		cldcls 20057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
172	153, 171	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
173		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = P -> ( A D y ) = ( A D P ) )
174	173	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = P -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
175	174	elrab 3196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } <-> ( P e. X /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
176	175	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
177	172, 176	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
178	32, 34, 32	leadd2d 10208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
179	32	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D P ) e. CC )
180	179	2timesd 10855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D P ) ) = ( ( A D P ) + ( A D P ) ) )
181	180	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
182		lemuldiv2 10487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
183	79, 182	mp3an3 1353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
184	32, 67, 183	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
185	178, 181, 184	3bitr2d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
186	185	biimpar 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D P ) <_ S )
187	177, 186	syldan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ S )
188	187	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) -> ( A D P ) <_ S ) )
189	49, 188	sylbird 239	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D P ) <_ S -> ( A D P ) <_ S ) )
190	189	pm2.18d 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) <_ S )
191	190	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ S )
192	86	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
193	92	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
194		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
195		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
196		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
197	196	elrnmpt1 5083	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
198	194, 195, 197	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
199	198, 10	syl6eleqr 2540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. R )
200		infrelb 10596	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. R ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
201	192, 193, 199, 200	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
202	11, 201	syl5eqbr 4436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
203	33, 35, 48, 191, 202	letrd 9792	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
204	27, 203	eqbrtrrd 4425	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
205	204	ralrimiva 2802	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
206		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( A .- x ) = ( A .- P ) )
207	206	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( x = P -> ( N ` ( A .- x ) ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
208	207	breq1d 4412	. . . 4 |- ( x = P -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
209	208	ralbidv 2827	. . 3 |- ( x = P -> ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
210	209	rspcev 3150	. 2 |- ( ( P e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
211	16, 205, 210	syl2anc 667	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   ran crn 4835   |` cres 4836   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   ^cexp 12272   Basecbs 15121   ↾_s cress 15122   distcds 15199   TopOpenctopn 15320   -gcsg 16671   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   *Metcxmt 18955   Metcme 18956   fBascfbas 18958   filGencfg 18959   MetOpencmopn 18960   Clsdccld 20031   clsccl 20033   Filcfil 20860   fLim cflim 20949   *MetSpcxme 21332   MetSpcmt 21333   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592   CPreHilccph 22144  CMetSpccms 22300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-subrg 18006  df-staf 18073  df-srng 18074  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lmhm 18245  df-lvec 18326  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-phl 19193  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-haus 20331  df-fil 20861  df-flim 20954  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nlm 21601  df-clm 22094  df-cph 22146  df-cfil 22225  df-cmet 22227  df-cms 22303

This theorem is referenced by:  minveclem5  22375