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Theorem minveclem4 22141
Description: Lemma for minvec 22145. The convergent point of the Cauchy sequence  F attains the minimum distance, and so is closer to  A than any other point in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
minvec.t  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, r, y, A    J, r, x, y    x, P, y    x, F, y   
x, N, y    ph, r, x, y    x, R, y   
x, U, y    X, r, x, y    Y, r, x, y    D, r, x, y    S, r, x, y    T, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    T( x)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3662 . . 3  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  Y
2 minvec.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvec.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvec.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvec.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvec.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvec.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvec.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvec.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.r . . . 4  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvec.s . . . 4  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
12 minvec.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
13 minvec.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
14 minvec.p . . . 4  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4a 22139 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
161, 15sseldi 3442 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
1712oveqi 6293 . . . . . . 7  |-  ( A D P )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4b 22140 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
198, 18ovresd 6426 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) P )  =  ( A (
dist `  U ) P ) )
2017, 19syl5eq 2457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( A ( dist `  U
) P ) )
21 cphngp 21914 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
225, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
23 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
244, 2, 3, 23ngpds 21417 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2522, 8, 18, 24syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
2620, 25eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D P )  =  ( N `
 ( A  .-  P ) ) )
2726adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
28 ngpms 21414 . . . . . . . 8  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
292, 12msmet 21254 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3022, 28, 293syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31 metcl 21129 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A D P )  e.  RR )
3230, 8, 18, 31syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  e.  RR )
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 22134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
3622adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
37 cphlmod 21915 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
385, 37syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
408adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
422, 41lssss 17905 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
436, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4443sselda 3444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
452, 3lmodvsubcl 17877 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
4639, 40, 44, 45syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
472, 4nmcl 21429 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4836, 46, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
4934, 32ltnled 9766 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  -.  ( A D P )  <_  S ) )
502, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem3b 22137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
51 fbsspw 20627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5443, 53sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  U )  e.  _V
572, 56eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
59 fbasweak 20660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
6050, 55, 58, 59syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
62 fgcl 20673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
64 ssfg 20667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
66 minvec.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )
6732, 34readdcld 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )
6867rehalfcld 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR )
6968resqcld 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  RR )
7034resqcld 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
7169, 70resubcld 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR )
7334, 32, 34ltadd1d 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  ( S  +  S )  <  (
( A D P )  +  S ) ) )
7434recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
75742timesd 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  S
)  =  ( S  +  S ) )
7675breq1d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( S  +  S
)  <  ( ( A D P )  +  S ) ) )
77 2re 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
78 2pos 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
7977, 78pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
81 ltmuldiv2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  S )  <  ( ( A D P )  +  S )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
8234, 67, 80, 81syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  S )  <  (
( A D P )  +  S )  <-> 
S  <  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
8373, 76, 823bitr2d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  S  <  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
842, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8584simp3d 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
8684simp1d 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
8784simp2d 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
88 0re 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
89 breq1 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
9089ralbidv 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9190rspcev 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9288, 85, 91sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
9388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
94 infmrgelb 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9586, 87, 92, 93, 94syl31anc 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
9685, 95mpbird 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
9796, 11syl6breqr 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
98 metge0 21142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  0  <_  ( A D P ) )
9930, 8, 18, 98syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D P ) )
10032, 34, 99, 97addge0d 10170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )
101 divge0 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A D P )  +  S ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
10267, 100, 80, 101syl21anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) )
10334, 68, 97, 102lt2sqd 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  <-> 
( S ^ 2 )  <  ( ( ( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 ) ) )
10470, 69posdifd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) ) )
10583, 103, 1043bitrd 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  <->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) ) )
106105biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  0  <  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
10772, 106elrpd 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  e.  RR+ )
10866, 107syl5eqel 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  T  e.  RR+ )
1096adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
110 rabexg 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )
112 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
113 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  T  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  =  ( ( S ^ 2 )  +  T ) )
114113breq2d 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  T  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) ) )
115114rabbidv 3053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  T  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  T ) } )
116112, 115elrnmpt1s 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
117108, 111, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
118117, 13syl6eleqr 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  F )
11965, 118sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F ) )
120 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  X
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  X
)
12266oveq2i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
12370ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
124123recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
12568ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 )  e.  RR )
126125resqcld 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  RR )
127126recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  e.  CC )
128124, 127pncan3d 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
129122, 128syl5eq 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  T )  =  ( ( ( ( A D P )  +  S )  /  2 ) ^
2 ) )
130129breq2d 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
13130ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1328ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
13344adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
134 metcl 21129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  e.  RR )
135131, 132, 133, 134syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  e.  RR )
136 metge0 21142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( A D y ) )
137131, 132, 133, 136syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( A D y ) )
138102ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
139135, 125, 137, 138le2sqd 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ^ 2 ) ) )
140130, 139bitr4d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( A D P ) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T )  <->  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
141140rabbidva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  =  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )
14243adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  Y  C_  X
)
143 rabss2 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y 
C_  X  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  C_  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) } )
145141, 144eqsstrd 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
146 filss 20648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  e.  ( X filGen F )  /\  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } 
C_  X  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  T ) }  C_  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  e.  ( X filGen F ) )
14763, 119, 121, 145, 146syl13anc 1234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  ( X filGen F ) )
148 flimclsi 20773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( X filGen F )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } ) )
150 inss1 3661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
151150, 15sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( J  fLim  ( X
filGen F ) ) )
153149, 152sseldd 3445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) } ) )
154 ngpxms 21415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  *MetSp )
1552, 12xmsxmet 21253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
15622, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
1588adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  A  e.  X )
15968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e.  RR )
160159rexrd 9675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  e. 
RR* )
161 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
162 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) }  =  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }
163161, 162blcld 21302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( A D P )  +  S )  /  2
)  e.  RR* )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  D )
) )
164157, 158, 160, 163syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
1659, 2, 12xmstopn 21248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  *MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
16622, 154, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
167166adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  J  =  ( MetOpen `  D )
)
168167fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( Clsd `  J )  =  (
Clsd `  ( MetOpen `  D
) ) )
169164, 168eleqtrrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
170 cldcls 19837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) } )  =  {
y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
172153, 171eleqtrd 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  P  e.  { y  e.  X  | 
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) } )
173 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  P  ->  ( A D y )  =  ( A D P ) )
174173breq1d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  P  ->  (
( A D y )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
175174elrab 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  <->  ( P  e.  X  /\  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) ) )
176175simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  { y  e.  X  |  ( A D y )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) }  ->  ( A D P )  <_ 
( ( ( A D P )  +  S )  /  2
) )
177172, 176syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )
17832, 34, 32leadd2d 10189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
17932recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A D P )  e.  CC )
1801792timesd 10824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A D P ) )  =  ( ( A D P )  +  ( A D P ) ) )
181180breq1d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( ( A D P )  +  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S ) ) )
182 lemuldiv2 10467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( A D P ) )  <_  ( ( A D P )  +  S )  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18379, 182mp3an3 1317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D P )  e.  RR  /\  ( ( A D P )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_ 
( ( A D P )  +  S
)  <->  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) ) )
18432, 67, 183syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A D P ) )  <_  (
( A D P )  +  S )  <-> 
( A D P )  <_  ( (
( A D P )  +  S )  /  2 ) ) )
185178, 181, 1843bitr2d 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A D P )  <_  S  <->  ( A D P )  <_  ( ( ( A D P )  +  S )  / 
2 ) ) )
186185biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A D P )  <_  (
( ( A D P )  +  S
)  /  2 ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
187177, 186syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( A D P ) )  ->  ( A D P )  <_  S
)
188187ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( A D P )  -> 
( A D P )  <_  S )
)
18949, 188sylbird 237 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A D P )  <_  S  ->  ( A D P )  <_  S
) )
190189pm2.18d 113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A D P )  <_  S )
191190adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_  S )
19286adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  R  C_  RR )
19392adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
194 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
195 fvex 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
196 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
197196elrnmpt1 5074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( N `  ( A 
.-  y ) )  e.  _V )  -> 
( N `  ( A  .-  y ) )  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) )
198194, 195, 197sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
199198, 10syl6eleqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )
200 infmrlb 10566 . . . . . . 7  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
201192, 193, 199, 200syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20211, 201syl5eqbr 4430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
20333, 35, 48, 191, 202letrd 9775 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D P )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
20427, 203eqbrtrrd 4419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
205204ralrimiva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
206 oveq2 6288 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  P
) )
207206fveq2d 5855 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  P ) ) )
208207breq1d 4407 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
209208ralbidv 2845 . . 3  |-  ( x  =  P  ->  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
210209rspcev 3162 . 2  |-  ( ( P  e.  Y  /\  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  P ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
21116, 205, 210syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   U.cuni 4193   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   `'ccnv 4824   ran crn 4826    |` cres 4827   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   supcsup 7936   RRcr 9523   0cc0 9524    + caddc 9527    x. cmul 9529   RR*cxr 9659    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843    / cdiv 10249   2c2 10628   RR+crp 11267   ^cexp 12212   Basecbs 14843   ↾s cress 14844   distcds 14920   TopOpenctopn 15038   -gcsg 16381   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900   *Metcxmt 18725   Metcme 18726   fBascfbas 18728   filGencfg 18729   MetOpencmopn 18730   Clsdccld 19811   clsccl 19813   Filcfil 20640    fLim cflim 20729   *MetSpcxme 21114   MetSpcmt 21115   normcnm 21391  NrmGrpcngp 21392   CPreHilccph 21907  CMetSpccms 22065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-rest 15039  df-0g 15058  df-topgen 15060  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-rnghom 17686  df-drng 17720  df-subrg 17749  df-staf 17816  df-srng 17817  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lmhm 17990  df-lvec 18071  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-phl 18961  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-haus 20111  df-fil 20641  df-flim 20734  df-xms 21117  df-ms 21118  df-nm 21397  df-ngp 21398  df-nlm 21401  df-clm 21857  df-cph 21909  df-cfil 21988  df-cmet 21990  df-cms 22068
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