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Theorem minveclem3bOLD 22460
Description: Lemma for minvecOLD 22468. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem3b 22448 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecOLD.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvecOLD.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvecOLD.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvecOLD.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvecOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvecOLD.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvecOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvecOLD.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvecOLD.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvecOLD.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecOLD.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvecOLD.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
Assertion
Ref Expression
minveclem3bOLD  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, F    y, N    ph, r, y    y, R   
y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem3bOLD
Dummy variables  w  s  t  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvecOLD.f . . 3  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
2 ssrab2 3500 . . . . . 6  |-  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  C_  Y
3 minvecOLD.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
43adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
5 elpw2g 4564 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  ( {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  e.  ~P Y  <->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) }  C_  Y )
)
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  e.  ~P Y  <->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) }  C_  Y )
)
72, 6mpbiri 241 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  e.  ~P Y )
8 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
97, 8fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) : RR+ --> ~P Y )
10 frn 5747 . . . 4  |-  ( ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } ) : RR+ --> ~P Y  ->  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )  C_  ~P Y )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )  C_  ~P Y )
121, 11syl5eqss 3462 . 2  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
13 1rp 11329 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
148, 7dmmptd 5718 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )  = 
RR+ )
1513, 14syl5eleqr 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  (
r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
16 ne0i 3728 . . . . 5  |-  ( 1  e.  dom  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  ->  dom  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )  =/=  (/) )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )  =/=  (/) )
18 dm0rn0 5057 . . . . . 6  |-  ( dom  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  (/)  <->  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  (/) )
191eqeq1i 2476 . . . . . 6  |-  ( F  =  (/)  <->  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )  =  (/) )
2018, 19bitr4i 260 . . . . 5  |-  ( dom  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  (/)  <->  F  =  (/) )
2120necon3bii 2695 . . . 4  |-  ( dom  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )  =/=  (/)  <->  F  =/=  (/) )
2217, 21sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =/=  (/) )
23 minvecOLD.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( Base `  U
)
24 minvecOLD.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .-  =  ( -g `  U )
25 minvecOLD.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( norm `  U
)
26 minvecOLD.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
27 minvecOLD.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
28 minvecOLD.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
29 minvecOLD.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
30 minvecOLD.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
31 minvecOLD.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
3223, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30, 31minveclem4cOLD 22457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3332resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
34 ltaddrp 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( S ^ 2 )  <  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )
3533, 34sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  r ) )
3633adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
37 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR )
3936, 38readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  r )  e.  RR )
4039recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  r )  e.  CC )
4140sqsqrtd 13578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) ) ^
2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )
4235, 41breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) ^ 2 ) )
4323, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30minveclem1 22444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4443simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  R  C_  RR )
4643simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  R  =/=  (/) )
48 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
4943simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
50 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  w  <->  0  <_  w ) )
5150ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0  ->  ( A. w  e.  R  y  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
5251rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w )
5348, 49, 52sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w )
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w
)
55 infmrclOLD 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5645, 47, 54, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5731, 56syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
58 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
5957sqge0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( S ^ 2 ) )
6058, 36, 39, 59, 35lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )
6158, 39, 60ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )
6239, 61resqrtcld 13556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  e.  RR )
6349adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
64 infmrgelbOLD 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
6545, 47, 54, 58, 64syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
)
6663, 65mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
6766, 31syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  S )
6839, 61sqrtge0d 13559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) ) )
6957, 62, 67, 68lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <->  ( S ^
2 )  <  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) ^ 2 ) ) )
7042, 69mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  <  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) ) )
7157, 62ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <->  -.  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  S
) )
7270, 71mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  S )
7331breq2i 4403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  S  <->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
74 infmrgelbOLD 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. w  e.  R  y  <_  w )  /\  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  w
) )
7545, 47, 54, 62, 74syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  w
) )
7630raleqi 2977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  w )
77 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
7877rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
80 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  w 
<->  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
8179, 80ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
8278, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
8376, 82bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
8475, 83syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
8573, 84syl5bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  S 
<-> 
A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
8672, 85mtbid 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
87 rexnal 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
8886, 87sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) ) )
8962adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  e.  RR )
90 cphngp 22229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
9126, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
92 ngpms 21692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
93 minvecOLD.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
9423, 93msmet 21550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
9591, 92, 943syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
9695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
9728ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
98 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9923, 98lssss 18238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
1004, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  Y  C_  X
)
101100sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
102 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  e.  RR )
10396, 97, 101, 102syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  e.  RR )
10468adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) )
105 metge0 21438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( A D y ) )
10696, 97, 101, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( A D y ) )
10789, 103, 104, 106le2sqd 12489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( A D y )  <->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) ) ^
2 )  <_  (
( A D y ) ^ 2 ) ) )
10893oveqi 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A D y )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) y )
10997, 101ovresd 6456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) ) y )  =  ( A ( dist `  U
) y ) )
110108, 109syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  =  ( A ( dist `  U ) y ) )
11191ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
112 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
11325, 23, 24, 112ngpds 21695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) y )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
114111, 97, 101, 113syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A ( dist `  U
) y )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
115110, 114eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
116115breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( A D y )  <->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
11741adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )
118117breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) ^ 2 )  <_  ( ( A D y ) ^
2 )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <_  (
( A D y ) ^ 2 ) ) )
119107, 116, 1183bitr3d 291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <_  (
( A D y ) ^ 2 ) ) )
120119notbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) )  <->  -.  (
( S ^ 2 )  +  r )  <_  ( ( A D y ) ^
2 ) ) )
12139adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  e.  RR )
122103resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  e.  RR )
123121, 122letrid 9804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( S ^
2 )  +  r )  <_  ( ( A D y ) ^
2 )  \/  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) ) )
124123ord 384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( ( S ^
2 )  +  r )  <_  ( ( A D y ) ^
2 )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) ) )
125120, 124sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) ) )
126125reximdva 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) )
12788, 126mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) )
128 rabn0 3755 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) )
129127, 128sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =/=  (/) )
130129necomd 2698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  (/)  =/=  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )
131130neneqd 2648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  (/)  =  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )
132131nrexdv 2842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  RR+  (/)  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )
1331eleq2i 2541 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  F  <->  (/)  e.  ran  (
r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
134 0ex 4528 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
1358elrnmpt 5087 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )  <->  E. r  e.  RR+  (/)  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
136134, 135ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )  <->  E. r  e.  RR+  (/)  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )
137133, 136bitri 257 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  F  <->  E. r  e.  RR+  (/)  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
138132, 137sylnibr 312 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  F )
139 df-nel 2644 . . . 4  |-  ( (/)  e/  F  <->  -.  (/)  e.  F
)
140138, 139sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e/  F )
14157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  S  e.  RR )
142141resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
14338adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  r  e.  RR )
144122, 142, 143lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) ) )
145144rabbidva 3021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } )
146145mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r }
)  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
147146rneqd 5068 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
r } )  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } ) )
148147, 1syl6reqr 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ran  (
r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } ) )
149148eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  F  <->  u  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } ) ) )
150 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
151 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r  <->  ( (
( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
s ) )
152151rabbidv 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  s  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r }  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }
)
153152cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } )  =  ( s  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
s } )
154153elrnmpt 5087 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } )  <->  E. s  e.  RR+  u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }
) )
155150, 154ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } )  <->  E. s  e.  RR+  u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }
)
156149, 155syl6bb 269 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  F  <->  E. s  e.  RR+  u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }
) )
157148eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( v  e.  F  <->  v  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } ) ) )
158 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
159 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  t  ->  (
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r  <->  ( (
( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
t ) )
160159rabbidv 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  t  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r }  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t }
)
161160cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } )  =  ( t  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
t } )
162161elrnmpt 5087 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } )  <->  E. t  e.  RR+  v  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t }
) )
163158, 162ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } )  <->  E. t  e.  RR+  v  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t }
)
164157, 163syl6bb 269 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  F  <->  E. t  e.  RR+  v  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t }
) )
165156, 164anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  F  /\  v  e.  F )  <->  ( E. s  e.  RR+  u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  E. t  e.  RR+  v  =  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } ) ) )
166 reeanv 2944 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  RR+  E. t  e.  RR+  ( u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  v  =  {
y  e.  Y  | 
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  <-> 
( E. s  e.  RR+  u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  E. t  e.  RR+  v  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t }
) )
16795ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
16828ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
1693, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  Y  C_  X )
171170sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
172167, 168, 171, 102syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  e.  RR )
173172resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( A D y ) ^ 2 )  e.  RR )
17433ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
175173, 174resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
176 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  s  e.  RR+ )
177176rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  s  e.  RR )
178 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  t  e.  RR+ )
179178rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  t  e.  RR )
180 lemin 11509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if ( s  <_  t ,  s ,  t )  <->  ( (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s  /\  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t ) ) )
181175, 177, 179, 180syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if (
s  <_  t , 
s ,  t )  <-> 
( ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s  /\  ( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t ) ) )
182181rabbidva 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if ( s  <_  t ,  s ,  t ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s  /\  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t ) } )
183 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ )  ->  if ( s  <_  t ,  s ,  t )  e.  RR+ )
184183adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  if ( s  <_  t ,  s ,  t )  e.  RR+ )
1853adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
186 rabexg 4549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if ( s  <_  t ,  s ,  t ) }  e.  _V )
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if ( s  <_  t ,  s ,  t ) }  e.  _V )
188 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
r } )
189 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  if ( s  <_  t ,  s ,  t )  -> 
( ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r  <->  ( (
( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_  if ( s  <_  t ,  s ,  t ) ) )
190189rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  if ( s  <_  t ,  s ,  t )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r }  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if (
s  <_  t , 
s ,  t ) } )
191188, 190elrnmpt1s 5088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( s  <_ 
t ,  s ,  t )  e.  RR+  /\ 
{ y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if (
s  <_  t , 
s ,  t ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if (
s  <_  t , 
s ,  t ) }  e.  ran  (
r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } ) )
192184, 187, 191syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if ( s  <_  t ,  s ,  t ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  r } ) )
193148adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
r } ) )
194192, 193eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  if ( s  <_  t ,  s ,  t ) }  e.  F )
195182, 194eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s  /\  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t ) }  e.  F )
196 ineq12 3620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  v  =  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  ->  ( u  i^i  v )  =  ( { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  i^i  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t }
) )
197 inrab 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y  e.  Y  | 
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  i^i  { y  e.  Y  | 
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s  /\  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t ) }
198196, 197syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  v  =  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  ->  ( u  i^i  v )  =  {
y  e.  Y  | 
( ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s  /\  ( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t ) } )
199198eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  v  =  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  ->  ( ( u  i^i  v )  e.  F  <->  { y  e.  Y  |  ( ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
s  /\  ( (
( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^
2 ) )  <_ 
t ) }  e.  F ) )
200195, 199syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  (
( u  =  {
y  e.  Y  | 
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  v  =  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  ->  ( u  i^i  v )  e.  F
) )
201150inex1 4537 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
202201pwid 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( u  i^i  v )  e. 
~P ( u  i^i  v )
203 inelcm 3823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  e.  F  /\  ( u  i^i  v
)  e.  ~P (
u  i^i  v )
)  ->  ( F  i^i  ~P ( u  i^i  v ) )  =/=  (/) )
204202, 203mpan2 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  F  ->  ( F  i^i  ~P ( u  i^i  v ) )  =/=  (/) )
205200, 204syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ ) )  ->  (
( u  =  {
y  e.  Y  | 
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  v  =  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  ->  ( F  i^i  ~P ( u  i^i  v
) )  =/=  (/) ) )
206205rexlimdvva 2878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  RR+  E. t  e.  RR+  ( u  =  {
y  e.  Y  | 
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  v  =  { y  e.  Y  |  (
( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t } )  ->  ( F  i^i  ~P ( u  i^i  v
) )  =/=  (/) ) )
207166, 206syl5bir 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. s  e.  RR+  u  =  {
y  e.  Y  | 
( ( ( A D y ) ^
2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  s }  /\  E. t  e.  RR+  v  =  { y  e.  Y  |  ( ( ( A D y ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) )  <_  t }
)  ->  ( F  i^i  ~P ( u  i^i  v ) )  =/=  (/) ) )
208165, 207sylbid 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  F  /\  v  e.  F )  ->  ( F  i^i  ~P ( u  i^i  v ) )  =/=  (/) ) )
209208ralrimivv 2813 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  F  A. v  e.  F  ( F  i^i  ~P (
u  i^i  v )
)  =/=  (/) )
21022, 140, 2093jca 1210 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. u  e.  F  A. v  e.  F  ( F  i^i  ~P (
u  i^i  v )
)  =/=  (/) ) )
211 isfbas 20922 . . 3  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( F  C_  ~P Y  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. u  e.  F  A. v  e.  F  ( F  i^i  ~P (
u  i^i  v )
)  =/=  (/) ) ) ) )
2123, 211syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  (
fBas `  Y )  <->  ( F  C_  ~P Y  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. u  e.  F  A. v  e.  F  ( F  i^i  ~P (
u  i^i  v )
)  =/=  (/) ) ) ) )
21312, 210, 212mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   2c2 10681   RR+crp 11325   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   Basecbs 15199   ↾s cress 15200   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   -gcsg 16749   LSubSpclss 18233   Metcme 19033   fBascfbas 19035   MetSpcmt 21411   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670   CPreHilccph 22222  CMetSpccms 22378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-cph 22224
This theorem is referenced by:  minveclem3OLD  22461  minveclem4aOLD  22462  minveclem4OLD  22464
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