Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | minvecOLD.f |
. . 3
                   |
2 | | ssrab2 3514 |
. . . . . 6
                 |
3 | | minvecOLD.y |
. . . . . . . 8
       |
4 | 3 | adantr 467 |
. . . . . . 7
 

      |
5 | | elpw2g 4566 |
. . . . . . 7
    
         
       
               
   |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . 6
 

         
       
               
   |
7 | 2, 6 | mpbiri 237 |
. . . . 5
 


                  |
8 | | eqid 2451 |
. . . . 5

                                    |
9 | 7, 8 | fmptd 6046 |
. . . 4
                          |
10 | | frn 5735 |
. . . 4
                                             |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . 3
                      |
12 | 1, 11 | syl5eqss 3476 |
. 2

   |
13 | | 1rp 11306 |
. . . . . 6
 |
14 | 8, 7 | dmmptd 5708 |
. . . . . 6
                     |
15 | 13, 14 | syl5eleqr 2536 |
. . . . 5
                     |
16 | | ne0i 3737 |
. . . . 5
 
                
                    |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . 4
                     |
18 | | dm0rn0 5051 |
. . . . . 6
                                       |
19 | 1 | eqeq1i 2456 |
. . . . . 6

                    |
20 | 18, 19 | bitr4i 256 |
. . . . 5
                     |
21 | 20 | necon3bii 2676 |
. . . 4
                  
  |
22 | 17, 21 | sylib 200 |
. . 3
   |
23 | | minvecOLD.x |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     |
24 | | minvecOLD.m |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     |
25 | | minvecOLD.n |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     |
26 | | minvecOLD.u |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
27 | | minvecOLD.w |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
↾s  CMetSp |
28 | | minvecOLD.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
29 | | minvecOLD.j |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     |
30 | | minvecOLD.r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
    
    |
31 | | minvecOLD.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   
 |
32 | 23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30, 31 | minveclem4cOLD 22379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   |
33 | 32 | resqcld 12442 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
34 | | ltaddrp 11336 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     
             |
35 | 33, 34 | sylan 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

            |
36 | 33 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 

      |
37 | | rpre 11308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  |
38 | 37 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 

  |
39 | 36, 38 | readdcld 9670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

        |
40 | 39 | recnd 9669 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

        |
41 | 40 | sqsqrtd 13501 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

                      |
42 | 35, 41 | breqtrrd 4429 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

                    |
43 | 23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30 | minveclem1 22366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  
   |
44 | 43 | simp1d 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  |
45 | 44 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

  |
46 | 43 | simp2d 1021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
47 | 46 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

  |
48 | | 0re 9643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 |
49 | 43 | simp3d 1022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
  |
50 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 
   |
51 | 50 | ralbidv 2827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
  

   |
52 | 51 | rspcev 3150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
    
   |
53 | 48, 49, 52 | sylancr 669 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     |
54 | 53 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

    |
55 | | infmrclOLD 10593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
  
  
   |
56 | 45, 47, 54, 55 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

  
   |
57 | 31, 56 | syl5eqel 2533 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

  |
58 | | 0red 9644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

  |
59 | 57 | sqge0d 12443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 

      |
60 | 58, 36, 39, 59, 35 | lelttrd 9793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

        |
61 | 58, 39, 60 | ltled 9783 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

        |
62 | 39, 61 | resqrtcld 13479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

            |
63 | 49 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 


  |
64 | | infmrgelbOLD 10595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   

  
  


   |
65 | 45, 47, 54, 58, 64 | syl31anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

    

   |
66 | 63, 65 | mpbird 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

   
  |
67 | 66, 31 | syl6breqr 4443 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

  |
68 | 39, 61 | sqrtge0d 13482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

            |
69 | 57, 62, 67, 68 | lt2sqd 12450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

                                |
70 | 42, 69 | mpbird 236 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

            |
71 | 57, 62 | ltnled 9782 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

          
             |
72 | 70, 71 | mpbid 214 |
. . . . . . . . . . . 12
 

            |
73 | 31 | breq2i 4410 |
. . . . . . . . . . . . 13
          
                |
74 | | infmrgelbOLD 10595 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   

                          

             |
75 | 45, 47, 54, 62, 74 | syl31anc 1271 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

              

             |
76 | 30 | raleqi 2991 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
                             
  |
77 | | fvex 5875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       |
78 | 77 | rgenw 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16

       |
79 | | eqid 2451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
            
    |
80 | | breq2 4406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
    
 
                    
         |
81 | 79, 80 | ralrnmpt 6031 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
            
                            
     |
82 | 78, 81 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
                  

                  |
83 | 76, 82 | bitri 253 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
                        
    |
84 | 75, 83 | syl6bb 265 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

              

                   |
85 | 73, 84 | syl5bb 261 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                         
     |
86 | 72, 85 | mtbid 302 |
. . . . . . . . . . 11
 


                  |
87 | | rexnal 2836 |
. . . . . . . . . . 11
               
 

                  |
88 | 86, 87 | sylibr 216 |
. . . . . . . . . 10
 


                  |
89 | 62 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 |
90 | | cphngp 22151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 NrmGrp |
91 | 26, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

NrmGrp |
92 | | ngpms 21614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 NrmGrp   |
93 | | minvecOLD.d |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
         |
94 | 23, 93 | msmet 21472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

      |
95 | 91, 92, 94 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       |
96 | 95 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
97 | 28 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
98 | | eqid 2451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
         |
99 | 23, 98 | lssss 18160 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
    
  |
100 | 4, 99 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 

  |
101 | 100 | sselda 3432 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
102 | | metcl 21347 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     
       |
103 | 96, 97, 101, 102 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
           |
104 | 68 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 |
105 | | metge0 21360 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     
       |
106 | 96, 97, 101, 105 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
           |
107 | 89, 103, 104, 106 | le2sqd 12451 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               
   
                         |
108 | 93 | oveqi 6303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                 |
109 | 97, 101 | ovresd 6437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                           |
110 | 108, 109 | syl5eq 2497 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                   |
111 | 91 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
     NrmGrp |
112 | | eqid 2451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
         |
113 | 25, 23, 24, 112 | ngpds 21617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
  NrmGrp
                 |
114 | 111, 97, 101, 113 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                     |
115 | 110, 114 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 |
116 | 115 | breq2d 4414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               
   
                   |
117 | 41 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                           |
118 | 117 | breq1d 4412 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                           
                 |
119 | 107, 116,
118 | 3bitr3d 287 |
. . . . . . . . . . . . 13
               
     
                 |
120 | 119 | notbid 296 |
. . . . . . . . . . . 12
               
     
                 |
121 | 39 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
             |
122 | 103 | resqcld 12442 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               |
123 | 121, 122 | letrid 9787 |
. . . . . . . . . . . . 13
           
                         |
124 | 123 | ord 379 |
. . . . . . . . . . . 12
           
                         |
125 | 120, 124 | sylbid 219 |
. . . . . . . . . . 11
               
                       |
126 | 125 | reximdva 2862 |
. . . . . . . . . 10
 

 
             
 

                 |
127 | 88, 126 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
 


                |
128 | | rabn0 3752 |
. . . . . . . . 9
         
                        |
129 | 127, 128 | sylibr 216 |
. . . . . . . 8
 


                 |
130 | 129 | necomd 2679 |
. . . . . . 7
 

        
         |
131 | 130 | neneqd 2629 |
. . . . . 6
 

        
         |
132 | 131 | nrexdv 2843 |
. . . . 5
                    |
133 | 1 | eleq2i 2521 |
. . . . . 6

                    |
134 | | 0ex 4535 |
. . . . . . 7
 |
135 | 8 | elrnmpt 5081 |
. . . . . . 7

                  
                    |
136 | 134, 135 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
                  
                   |
137 | 133, 136 | bitri 253 |
. . . . 5

                   |
138 | 132, 137 | sylnibr 307 |
. . . 4
   |
139 | | df-nel 2625 |
. . . 4

  |
140 | 138, 139 | sylibr 216 |
. . 3

  |
141 | 57 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
142 | 141 | resqcld 12442 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
143 | 38 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
144 | 122, 142,
143 | lesubadd2d 10212 |
. . . . . . . . . . . 12
                   
                 |
145 | 144 | rabbidva 3035 |
. . . . . . . . . . 11
 


                                 |
146 | 145 | mpteq2dva 4489 |
. . . . . . . . . 10
                
  
                   |
147 | 146 | rneqd 5062 |
. . . . . . . . 9
                                       |
148 | 147, 1 | syl6reqr 2504 |
. . . . . . . 8
                     |
149 | 148 | eleq2d 2514 |
. . . . . . 7
  
                    |
150 | | vex 3048 |
. . . . . . . 8
 |
151 | | breq2 4406 |
. . . . . . . . . . 11
               
                 |
152 | 151 | rabbidv 3036 |
. . . . . . . . . 10
                               
   |
153 | 152 | cbvmptv 4495 |
. . . . . . . . 9

                                    |
154 | 153 | elrnmpt 5081 |
. . . . . . . 8
                    
              
    |
155 | 150, 154 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
 
                 
              
   |
156 | 149, 155 | syl6bb 265 |
. . . . . 6
                 
    |
157 | 148 | eleq2d 2514 |
. . . . . . 7
  
                    |
158 | | vex 3048 |
. . . . . . . 8
 |
159 | | breq2 4406 |
. . . . . . . . . . 11
               
                 |
160 | 159 | rabbidv 3036 |
. . . . . . . . . 10
                               
   |
161 | 160 | cbvmptv 4495 |
. . . . . . . . 9

                                    |
162 | 161 | elrnmpt 5081 |
. . . . . . . 8
                    
              
    |
163 | 158, 162 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
 
                 
              
   |
164 | 157, 163 | syl6bb 265 |
. . . . . 6
                 
    |
165 | 156, 164 | anbi12d 717 |
. . . . 5
   
 
              
 

                   |
166 | | reeanv 2958 |
. . . . . 6
                  

                                                  
    |
167 | 95 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     
       |
168 | 28 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     
   |
169 | 3, 99 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17

  |
170 | 169 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
     |
171 | 170 | sselda 3432 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     
   |
172 | 167, 168,
171, 102 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     
       |
173 | 172 | resqcld 12442 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
           |
174 | 33 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
       |
175 | 173, 174 | resubcld 10047 |
. . . . . . . . . . . 12
     
                 |
176 | | simplrl 770 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
   |
177 | 176 | rpred 11341 |
. . . . . . . . . . . 12
     
   |
178 | | simplrr 771 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
   |
179 | 178 | rpred 11341 |
. . . . . . . . . . . 12
     
   |
180 | | lemin 11486 |
. . . . . . . . . . . 12
                                    
                                 |
181 | 175, 177,
179, 180 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . 11
     
               
 
                 
                  |
182 | 181 | rabbidva 3035 |
. . . . . . . . . 10
 
                                                          |
183 | | ifcl 3923 |
. . . . . . . . . . . . 13
          |
184 | 183 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . 12
 
          |
185 | 3 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
         |
186 | | rabexg 4553 |
. . . . . . . . . . . . 13
    

                      |
187 | 185, 186 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                          |
188 | | eqid 2451 |
. . . . . . . . . . . . 13

                                    |
189 | | breq2 4406 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                    
                      |
190 | 189 | rabbidv 3036 |
. . . . . . . . . . . . 13
                    
               
 
      |
191 | 188, 190 | elrnmpt1s 5082 |
. . . . . . . . . . . 12
                     
 
                   
 
                        |
192 | 184, 187,
191 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . 11
 
                        
                   |
193 | 148 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
 
                       |
194 | 192, 193 | eleqtrrd 2532 |
. . . . . . . . . 10
 
                          |
195 | 182, 194 | eqeltrrd 2530 |
. . . . . . . . 9
 
                                     |
196 | | ineq12 3629 |
. . . . . . . . . . 11
                 

                                 
               
    |
197 | | inrab 3715 |
. . . . . . . . . . 11
                                                                   |
198 | 196, 197 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . . 10
                 

                                 
                  |
199 | 198 | eleq1d 2513 |
. . . . . . . . 9
                 

                                  
                   |
200 | 195, 199 | syl5ibrcom 226 |
. . . . . . . 8
 
                    

                     |
201 | 150 | inex1 4544 |
. . . . . . . . . 10
   |
202 | 201 | pwid 3965 |
. . . . . . . . 9
      |
203 | | inelcm 3819 |
. . . . . . . . 9
    
  
 
       |
204 | 202, 203 | mpan2 677 |
. . . . . . . 8
          |
205 | 200, 204 | syl6 34 |
. . . . . . 7
 
                    

                        |
206 | 205 | rexlimdvva 2886 |
. . . . . 6
    
               

                        |
207 | 166, 206 | syl5bir 222 |
. . . . 5
                                   
 
        |
208 | 165, 207 | sylbid 219 |
. . . 4
            |
209 | 208 | ralrimivv 2808 |
. . 3
  

 
    |
210 | 22, 140, 209 | 3jca 1188 |
. 2
   

 
     |
211 | | isfbas 20844 |
. . 3
    
      
  

 
       |
212 | 3, 211 | syl 17 |
. 2
      
   

 
       |
213 | 12, 210, 212 | mpbir2and 933 |
1
       |