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Theorem minveclem3bOLD 22460
 Description: Lemma for minvecOLD 22468. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem3b 22448 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecOLD.x
minvecOLD.m
minvecOLD.n
minvecOLD.u
minvecOLD.y
minvecOLD.w s CMetSp
minvecOLD.a
minvecOLD.j
minvecOLD.r
minvecOLD.s
minvecOLD.d
minvecOLD.f
Assertion
Ref Expression
minveclem3bOLD
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem minveclem3bOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvecOLD.f . . 3
2 ssrab2 3500 . . . . . 6
3 minvecOLD.y . . . . . . . 8
43adantr 472 . . . . . . 7
5 elpw2g 4564 . . . . . . 7
64, 5syl 17 . . . . . 6
72, 6mpbiri 241 . . . . 5
8 eqid 2471 . . . . 5
97, 8fmptd 6061 . . . 4
10 frn 5747 . . . 4
119, 10syl 17 . . 3
121, 11syl5eqss 3462 . 2
13 1rp 11329 . . . . . 6
148, 7dmmptd 5718 . . . . . 6
1513, 14syl5eleqr 2556 . . . . 5
16 ne0i 3728 . . . . 5
1715, 16syl 17 . . . 4
18 dm0rn0 5057 . . . . . 6
191eqeq1i 2476 . . . . . 6
2018, 19bitr4i 260 . . . . 5
2120necon3bii 2695 . . . 4
2217, 21sylib 201 . . 3
23 minvecOLD.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 minvecOLD.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25 minvecOLD.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26 minvecOLD.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 minvecOLD.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s CMetSp
28 minvecOLD.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 minvecOLD.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 minvecOLD.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 minvecOLD.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3223, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30, 31minveclem4cOLD 22457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3332resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 ltaddrp 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 34sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
3633adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3936, 38readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140sqsqrtd 13578 . . . . . . . . . . . . . . 15
4235, 41breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . 14
4323, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30minveclem1 22444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4643simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4943simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5150ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5251rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5348, 49, 52sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 infmrclOLD 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5645, 47, 54, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5731, 56syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957sqge0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6058, 36, 39, 59, 35lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6158, 39, 60ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6239, 61resqrtcld 13556 . . . . . . . . . . . . . . 15
6349adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 infmrgelbOLD 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6545, 47, 54, 58, 64syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6663, 65mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766, 31syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15
6839, 61sqrtge0d 13559 . . . . . . . . . . . . . . 15
6957, 62, 67, 68lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . 14
7042, 69mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
7157, 62ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . 13
7270, 71mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
7331breq2i 4403 . . . . . . . . . . . . 13
74 infmrgelbOLD 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15
7545, 47, 54, 62, 74syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14
7630raleqi 2977 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8179, 80ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8278, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
8376, 82bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14
8475, 83syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13
8573, 84syl5bb 265 . . . . . . . . . . . 12
8672, 85mtbid 307 . . . . . . . . . . 11
87 rexnal 2836 . . . . . . . . . . 11
8886, 87sylibr 217 . . . . . . . . . 10
8962adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 cphngp 22229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmGrp
9126, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmGrp
92 ngpms 21692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmGrp
93 minvecOLD.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9423, 93msmet 21550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9591, 92, 943syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9728ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9923, 98lssss 18238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1004, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10396, 97, 101, 102syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
10468adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 metge0 21438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10696, 97, 101, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
10789, 103, 104, 106le2sqd 12489 . . . . . . . . . . . . . 14
10893oveqi 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10997, 101ovresd 6456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110108, 109syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11191ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmGrp
112 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11325, 23, 24, 112ngpds 21695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmGrp
114111, 97, 101, 113syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115110, 114eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14
11741adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
119107, 116, 1183bitr3d 291 . . . . . . . . . . . . 13
120119notbid 301 . . . . . . . . . . . 12
12139adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
122103resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . 14
123121, 122letrid 9804 . . . . . . . . . . . . 13
124123ord 384 . . . . . . . . . . . 12
125120, 124sylbid 223 . . . . . . . . . . 11
126125reximdva 2858 . . . . . . . . . 10
12788, 126mpd 15 . . . . . . . . 9
128 rabn0 3755 . . . . . . . . 9
129127, 128sylibr 217 . . . . . . . 8
130129necomd 2698 . . . . . . 7
131130neneqd 2648 . . . . . 6
132131nrexdv 2842 . . . . 5
1331eleq2i 2541 . . . . . 6
134 0ex 4528 . . . . . . 7
1358elrnmpt 5087 . . . . . . 7
136134, 135ax-mp 5 . . . . . 6
137133, 136bitri 257 . . . . 5
138132, 137sylnibr 312 . . . 4
139 df-nel 2644 . . . 4
140138, 139sylibr 217 . . 3
14157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
142141resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . 13
14338adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
144122, 142, 143lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . . . 12
145144rabbidva 3021 . . . . . . . . . . 11
146145mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . 10
147146rneqd 5068 . . . . . . . . 9
148147, 1syl6reqr 2524 . . . . . . . 8
149148eleq2d 2534 . . . . . . 7
150 vex 3034 . . . . . . . 8
151 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11
152151rabbidv 3022 . . . . . . . . . 10
153152cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9
154153elrnmpt 5087 . . . . . . . 8
155150, 154ax-mp 5 . . . . . . 7
156149, 155syl6bb 269 . . . . . 6
157148eleq2d 2534 . . . . . . 7
158 vex 3034 . . . . . . . 8
159 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11
160159rabbidv 3022 . . . . . . . . . 10
161160cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9
162161elrnmpt 5087 . . . . . . . 8
163158, 162ax-mp 5 . . . . . . 7
164157, 163syl6bb 269 . . . . . 6
165156, 164anbi12d 725 . . . . 5
166 reeanv 2944 . . . . . 6
16795ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
16828ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
1693, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171170sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
172167, 168, 171, 102syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
173172resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . 13
17433ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
175173, 174resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12
176 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . 13
177176rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
178 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . 13
179178rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
180 lemin 11509 . . . . . . . . . . . 12
181175, 177, 179, 180syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
182181rabbidva 3021 . . . . . . . . . 10
183 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . 13
184183adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
1853adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
186 rabexg 4549 . . . . . . . . . . . . 13
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . 12
188 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
189 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14
190189rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . 13
191188, 190elrnmpt1s 5088 . . . . . . . . . . . 12
192184, 187, 191syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
193148adantr 472 . . . . . . . . . . 11
194192, 193eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . 10
195182, 194eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
196 ineq12 3620 . . . . . . . . . . 11
197 inrab 3706 . . . . . . . . . . 11
198196, 197syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
199198eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
200195, 199syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8
201150inex1 4537 . . . . . . . . . 10
202201pwid 3956 . . . . . . . . 9
203 inelcm 3823 . . . . . . . . 9
204202, 203mpan2 685 . . . . . . . 8
205200, 204syl6 33 . . . . . . 7
206205rexlimdvva 2878 . . . . . 6
207166, 206syl5bir 226 . . . . 5
208165, 207sylbid 223 . . . 4
209208ralrimivv 2813 . . 3
21022, 140, 2093jca 1210 . 2
211 isfbas 20922 . . 3
2123, 211syl 17 . 2
21312, 210, 212mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   wnel 2642  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cif 3872  cpw 3942   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  c2 10681  crp 11325  cexp 12310  csqrt 13373  cbs 15199   ↾s cress 15200  cds 15277  ctopn 15398  csg 16749  clss 18233  cme 19033  cfbas 19035  cmt 21411  cnm 21669  NrmGrpcngp 21670  ccph 22222  CMetSpccms 22378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-cph 22224 This theorem is referenced by:  minveclem3OLD  22461  minveclem4aOLD  22462  minveclem4OLD  22464
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