Theorem minveclem3bOLD 22460

Description: Lemma for minvecOLD 22468. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem3b 22448 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvecOLD.x	|- X = ( Base ` U )
minvecOLD.m	|- .- = ( -g ` U )
minvecOLD.n	|- N = ( norm ` U )
minvecOLD.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvecOLD.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvecOLD.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvecOLD.a	|- ( ph -> A e. X )
minvecOLD.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvecOLD.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvecOLD.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minvecOLD.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvecOLD.f	|- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )

Assertion

Ref	Expression
minveclem3bOLD	|- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )

Distinct variable groups:   y, .-   y, r, A   J, r, y   y, F   y, N   ph, r, y   y, R   y, U   X, r, y   Y, r, y   D, r, y   S, r, y

Allowed substitution hints:   R( r)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)

Proof of Theorem minveclem3bOLD

Dummy variables w s t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvecOLD.f	. . 3 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
2		ssrab2 3500	. . . . . 6 |- { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y
3		minvecOLD.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
4	3	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
5		elpw2g 4564	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y <-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y <-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y ) )
7	2, 6	mpbiri 241	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y )
8		eqid 2471	. . . . 5 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
9	7, 8	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ph -> ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) : RR+ --> ~P Y )
10		frn 5747	. . . 4 |- ( ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) : RR+ --> ~P Y -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) C_ ~P Y )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) C_ ~P Y )
12	1, 11	syl5eqss 3462	. 2 |- ( ph -> F C_ ~P Y )
13		1rp 11329	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
14	8, 7	dmmptd 5718	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = RR+ )
15	13, 14	syl5eleqr 2556	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
16		ne0i 3728	. . . . 5 |- ( 1 e. dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) )
18		dm0rn0 5057	. . . . . 6 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) <-> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) )
19	1	eqeq1i 2476	. . . . . 6 |- ( F = (/) <-> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) )
20	18, 19	bitr4i 260	. . . . 5 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) <-> F = (/) )
21	20	necon3bii 2695	. . . 4 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) <-> F =/= (/) )
22	17, 21	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> F =/= (/) )
23		minvecOLD.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = ( Base ` U )
24		minvecOLD.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .- = ( -g ` U )
25		minvecOLD.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( norm ` U )
26		minvecOLD.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. CPreHil )
27		minvecOLD.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
28		minvecOLD.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. X )
29		minvecOLD.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- J = ( TopOpen ` U )
30		minvecOLD.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
31		minvecOLD.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = sup ( R , RR , `' < )
32	23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30, 31	minveclem4cOLD 22457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S e. RR )
33	32	resqcld 12480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
34		ltaddrp 11359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
35	33, 34	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
36	33	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
37		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
38	37	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR )
39	36, 38	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. RR )
40	39	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. CC )
41	40	sqsqrtd 13578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + r ) )
42	35, 41	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) )
43	23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30	minveclem1 22444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
44	43	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R C_ RR )
45	44	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> R C_ RR )
46	43	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R =/= (/) )
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> R =/= (/) )
48		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
49	43	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
50		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = 0 -> ( y <_ w <-> 0 <_ w ) )
51	50	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = 0 -> ( A. w e. R y <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
52	51	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
53	48, 49, 52	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
55		infmrclOLD 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
56	45, 47, 54, 55	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
57	31, 56	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S e. RR )
58		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 e. RR )
59	57	sqge0d 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( S ^ 2 ) )
60	58, 36, 39, 59, 35	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
61	58, 39, 60	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
62	39, 61	resqrtcld 13556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR )
63	49	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> A. w e. R 0 <_ w )
64		infmrgelbOLD 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
65	45, 47, 54, 58, 64	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
66	63, 65	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
67	66, 31	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ S )
68	39, 61	sqrtge0d 13559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
69	57, 62, 67, 68	lt2sqd 12488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) ) )
70	42, 69	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
71	57, 62	ltnled 9799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <-> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S ) )
72	70, 71	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S )
73	31	breq2i 4403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) )
74		infmrgelbOLD 10617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) /\ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w ) )
75	45, 47, 54, 62, 74	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w ) )
76	30	raleqi 2977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w )
77		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
78	77	rgenw 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
79		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
80		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( N ` ( A .- y ) ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
81	79, 80	ralrnmpt 6046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
82	78, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
83	76, 82	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
84	75, 83	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
85	73, 84	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
86	72, 85	mtbid 307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
87		rexnal 2836	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
88	86, 87	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
89	62	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR )
90		cphngp 22229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
91	26, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
92		ngpms 21692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
93		minvecOLD.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
94	23, 93	msmet 21550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
95	91, 92, 94	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
96	95	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
97	28	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
98		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
99	23, 98	lssss 18238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
100	4, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> Y C_ X )
101	100	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
102		metcl 21425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) e. RR )
103	96, 97, 101, 102	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
104	68	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
105		metge0 21438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( A D y ) )
106	96, 97, 101, 105	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( A D y ) )
107	89, 103, 104, 106	le2sqd 12489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( A D y ) <-> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
108	93	oveqi 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A D y ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) y )
109	97, 101	ovresd 6456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) y ) = ( A ( dist ` U ) y ) )
110	108, 109	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( A ( dist ` U ) y ) )
111	91	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
112		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
113	25, 23, 24, 112	ngpds 21695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A ( dist ` U ) y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
114	111, 97, 101, 113	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A ( dist ` U ) y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
115	110, 114	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
116	115	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( A D y ) <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
117	41	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + r ) )
118	117	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) <-> ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
119	107, 116, 118	3bitr3d 291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
120	119	notbid 301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> -. ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
121	39	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. RR )
122	103	resqcld 12480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) e. RR )
123	121, 122	letrid 9804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) \/ ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
124	123	ord 384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
125	120, 124	sylbid 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
126	125	reximdva 2858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
127	88, 126	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
128		rabn0 3755	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } =/= (/) <-> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
129	127, 128	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } =/= (/) )
130	129	necomd 2698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> (/) =/= { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
131	130	neneqd 2648	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
132	131	nrexdv 2842	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
133	1	eleq2i 2541	. . . . . 6 |- ( (/) e. F <-> (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
134		0ex 4528	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
135	8	elrnmpt 5087	. . . . . . 7 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
137	133, 136	bitri 257	. . . . 5 |- ( (/) e. F <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
138	132, 137	sylnibr 312	. . . 4 |- ( ph -> -. (/) e. F )
139		df-nel 2644	. . . 4 |- ( (/) e/ F <-> -. (/) e. F )
140	138, 139	sylibr 217	. . 3 |- ( ph -> (/) e/ F )
141	57	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> S e. RR )
142	141	resqcld 12480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
143	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> r e. RR )
144	122, 142, 143	lesubadd2d 10233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
145	144	rabbidva 3021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
146	145	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
147	146	rneqd 5068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
148	147, 1	syl6reqr 2524	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
149	148	eleq2d 2534	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( u e. F <-> u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) ) )
150		vex 3034	. . . . . . . 8 |- u e. _V
151		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = s -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s ) )
152	151	rabbidv 3022	. . . . . . . . . 10 |- ( r = s -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
153	152	cbvmptv 4488	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( s e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
154	153	elrnmpt 5087	. . . . . . . 8 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } ) )
155	150, 154	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
156	149, 155	syl6bb 269	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. F <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } ) )
157	148	eleq2d 2534	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( v e. F <-> v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) ) )
158		vex 3034	. . . . . . . 8 |- v e. _V
159		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) )
160	159	rabbidv 3022	. . . . . . . . . 10 |- ( r = t -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
161	160	cbvmptv 4488	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( t e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
162	161	elrnmpt 5087	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> ( v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
163	158, 162	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
164	157, 163	syl6bb 269	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. F <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
165	156, 164	anbi12d 725	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. F /\ v e. F ) <-> ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) ) )
166		reeanv 2944	. . . . . 6 |- ( E. s e. RR+ E. t e. RR+ ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) <-> ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
167	95	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
168	28	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
169	3, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y C_ X )
170	169	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> Y C_ X )
171	170	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
172	167, 168, 171, 102	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
173	172	resqcld 12480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) e. RR )
174	33	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
175	173, 174	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
176		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> s e. RR+ )
177	176	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> s e. RR )
178		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> t e. RR+ )
179	178	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> t e. RR )
180		lemin 11509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ s e. RR /\ t e. RR ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) <-> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) ) )
181	175, 177, 179, 180	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) <-> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) ) )
182	181	rabbidva 3021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } )
183		ifcl 3914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) -> if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ )
184	183	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ )
185	3	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
186		rabexg 4549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V )
188		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } )
189		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = if ( s <_ t , s , t ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) ) )
190	189	rabbidv 3022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = if ( s <_ t , s , t ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } )
191	188, 190	elrnmpt1s 5088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
192	184, 187, 191	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
193	148	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
194	192, 193	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. F )
195	182, 194	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } e. F )
196		ineq12 3620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) = ( { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } i^i { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
197		inrab 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } i^i { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) }
198	196, 197	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } )
199	198	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( ( u i^i v ) e. F <-> { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } e. F ) )
200	195, 199	syl5ibrcom 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) e. F ) )
201	150	inex1 4537	. . . . . . . . . 10 |- ( u i^i v ) e. _V
202	201	pwid 3956	. . . . . . . . 9 |- ( u i^i v ) e. ~P ( u i^i v )
203		inelcm 3823	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u i^i v ) e. F /\ ( u i^i v ) e. ~P ( u i^i v ) ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
204	202, 203	mpan2 685	. . . . . . . 8 |- ( ( u i^i v ) e. F -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
205	200, 204	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
206	205	rexlimdvva 2878	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. s e. RR+ E. t e. RR+ ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
207	166, 206	syl5bir 226	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
208	165, 207	sylbid 223	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. F /\ v e. F ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
209	208	ralrimivv 2813	. . 3 |- ( ph -> A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
210	22, 140, 209	3jca 1210	. 2 |- ( ph -> ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
211		isfbas 20922	. . 3 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> ( F e. ( fBas ` Y ) <-> ( F C_ ~P Y /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) ) ) )
212	3, 211	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( fBas ` Y ) <-> ( F C_ ~P Y /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) ) ) )
213	12, 210, 212	mpbir2and 936	1 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   2c2 10681   RR+crp 11325   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   Basecbs 15199   ↾_s cress 15200   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   -gcsg 16749   LSubSpclss 18233   Metcme 19033   fBascfbas 19035   MetSpcmt 21411   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670   CPreHilccph 22222  CMetSpccms 22378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-cph 22224

This theorem is referenced by:  minveclem3OLD  22461  minveclem4aOLD  22462  minveclem4OLD  22464