Theorem minveclem3bOLD 22382

Description: Lemma for minvecOLD 22390. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem3b 22370 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvecOLD.x	|- X = ( Base ` U )
minvecOLD.m	|- .- = ( -g ` U )
minvecOLD.n	|- N = ( norm ` U )
minvecOLD.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvecOLD.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvecOLD.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvecOLD.a	|- ( ph -> A e. X )
minvecOLD.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvecOLD.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvecOLD.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minvecOLD.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvecOLD.f	|- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )

Assertion

Ref	Expression
minveclem3bOLD	|- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )

Distinct variable groups:   y, .-   y, r, A   J, r, y   y, F   y, N   ph, r, y   y, R   y, U   X, r, y   Y, r, y   D, r, y   S, r, y

Allowed substitution hints:   R( r)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)

Proof of Theorem minveclem3bOLD

Dummy variables w s t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvecOLD.f	. . 3 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
2		ssrab2 3514	. . . . . 6 |- { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y
3		minvecOLD.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
4	3	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
5		elpw2g 4566	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y <-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y <-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y ) )
7	2, 6	mpbiri 237	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y )
8		eqid 2451	. . . . 5 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
9	7, 8	fmptd 6046	. . . 4 |- ( ph -> ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) : RR+ --> ~P Y )
10		frn 5735	. . . 4 |- ( ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) : RR+ --> ~P Y -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) C_ ~P Y )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) C_ ~P Y )
12	1, 11	syl5eqss 3476	. 2 |- ( ph -> F C_ ~P Y )
13		1rp 11306	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
14	8, 7	dmmptd 5708	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = RR+ )
15	13, 14	syl5eleqr 2536	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
16		ne0i 3737	. . . . 5 |- ( 1 e. dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) )
18		dm0rn0 5051	. . . . . 6 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) <-> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) )
19	1	eqeq1i 2456	. . . . . 6 |- ( F = (/) <-> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) )
20	18, 19	bitr4i 256	. . . . 5 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) <-> F = (/) )
21	20	necon3bii 2676	. . . 4 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) <-> F =/= (/) )
22	17, 21	sylib 200	. . 3 |- ( ph -> F =/= (/) )
23		minvecOLD.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = ( Base ` U )
24		minvecOLD.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .- = ( -g ` U )
25		minvecOLD.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( norm ` U )
26		minvecOLD.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. CPreHil )
27		minvecOLD.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
28		minvecOLD.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. X )
29		minvecOLD.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- J = ( TopOpen ` U )
30		minvecOLD.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
31		minvecOLD.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = sup ( R , RR , `' < )
32	23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30, 31	minveclem4cOLD 22379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S e. RR )
33	32	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
34		ltaddrp 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
35	33, 34	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
36	33	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
37		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
38	37	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR )
39	36, 38	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. RR )
40	39	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. CC )
41	40	sqsqrtd 13501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + r ) )
42	35, 41	breqtrrd 4429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) )
43	23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30	minveclem1 22366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
44	43	simp1d 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R C_ RR )
45	44	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> R C_ RR )
46	43	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R =/= (/) )
47	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> R =/= (/) )
48		0re 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
49	43	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
50		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = 0 -> ( y <_ w <-> 0 <_ w ) )
51	50	ralbidv 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = 0 -> ( A. w e. R y <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
52	51	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
53	48, 49, 52	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
55		infmrclOLD 10593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
56	45, 47, 54, 55	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> sup ( R , RR , `' < ) e. RR )
57	31, 56	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S e. RR )
58		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 e. RR )
59	57	sqge0d 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( S ^ 2 ) )
60	58, 36, 39, 59, 35	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
61	58, 39, 60	ltled 9783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
62	39, 61	resqrtcld 13479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR )
63	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> A. w e. R 0 <_ w )
64		infmrgelbOLD 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
65	45, 47, 54, 58, 64	syl31anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
66	63, 65	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
67	66, 31	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ S )
68	39, 61	sqrtge0d 13482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
69	57, 62, 67, 68	lt2sqd 12450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) ) )
70	42, 69	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
71	57, 62	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <-> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S ) )
72	70, 71	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S )
73	31	breq2i 4410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) )
74		infmrgelbOLD 10595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) /\ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w ) )
75	45, 47, 54, 62, 74	syl31anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w ) )
76	30	raleqi 2991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w )
77		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
78	77	rgenw 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
79		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
80		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( N ` ( A .- y ) ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
81	79, 80	ralrnmpt 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
82	78, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
83	76, 82	bitri 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
84	75, 83	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
85	73, 84	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
86	72, 85	mtbid 302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
87		rexnal 2836	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
88	86, 87	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
89	62	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR )
90		cphngp 22151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
91	26, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
92		ngpms 21614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
93		minvecOLD.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
94	23, 93	msmet 21472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
95	91, 92, 94	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
96	95	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
97	28	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
98		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
99	23, 98	lssss 18160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
100	4, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> Y C_ X )
101	100	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
102		metcl 21347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) e. RR )
103	96, 97, 101, 102	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
104	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
105		metge0 21360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( A D y ) )
106	96, 97, 101, 105	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( A D y ) )
107	89, 103, 104, 106	le2sqd 12451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( A D y ) <-> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
108	93	oveqi 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A D y ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) y )
109	97, 101	ovresd 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) y ) = ( A ( dist ` U ) y ) )
110	108, 109	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( A ( dist ` U ) y ) )
111	91	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
112		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
113	25, 23, 24, 112	ngpds 21617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A ( dist ` U ) y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
114	111, 97, 101, 113	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A ( dist ` U ) y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
115	110, 114	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
116	115	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( A D y ) <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
117	41	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + r ) )
118	117	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) <-> ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
119	107, 116, 118	3bitr3d 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
120	119	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> -. ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
121	39	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. RR )
122	103	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) e. RR )
123	121, 122	letrid 9787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) \/ ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
124	123	ord 379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
125	120, 124	sylbid 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
126	125	reximdva 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
127	88, 126	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
128		rabn0 3752	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } =/= (/) <-> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
129	127, 128	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } =/= (/) )
130	129	necomd 2679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> (/) =/= { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
131	130	neneqd 2629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
132	131	nrexdv 2843	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
133	1	eleq2i 2521	. . . . . 6 |- ( (/) e. F <-> (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
134		0ex 4535	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
135	8	elrnmpt 5081	. . . . . . 7 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
137	133, 136	bitri 253	. . . . 5 |- ( (/) e. F <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
138	132, 137	sylnibr 307	. . . 4 |- ( ph -> -. (/) e. F )
139		df-nel 2625	. . . 4 |- ( (/) e/ F <-> -. (/) e. F )
140	138, 139	sylibr 216	. . 3 |- ( ph -> (/) e/ F )
141	57	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> S e. RR )
142	141	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
143	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> r e. RR )
144	122, 142, 143	lesubadd2d 10212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
145	144	rabbidva 3035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
146	145	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
147	146	rneqd 5062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
148	147, 1	syl6reqr 2504	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
149	148	eleq2d 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( u e. F <-> u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) ) )
150		vex 3048	. . . . . . . 8 |- u e. _V
151		breq2 4406	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = s -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s ) )
152	151	rabbidv 3036	. . . . . . . . . 10 |- ( r = s -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
153	152	cbvmptv 4495	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( s e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
154	153	elrnmpt 5081	. . . . . . . 8 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } ) )
155	150, 154	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
156	149, 155	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. F <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } ) )
157	148	eleq2d 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( v e. F <-> v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) ) )
158		vex 3048	. . . . . . . 8 |- v e. _V
159		breq2 4406	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) )
160	159	rabbidv 3036	. . . . . . . . . 10 |- ( r = t -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
161	160	cbvmptv 4495	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( t e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
162	161	elrnmpt 5081	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> ( v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
163	158, 162	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
164	157, 163	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. F <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
165	156, 164	anbi12d 717	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. F /\ v e. F ) <-> ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) ) )
166		reeanv 2958	. . . . . 6 |- ( E. s e. RR+ E. t e. RR+ ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) <-> ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
167	95	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
168	28	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
169	3, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y C_ X )
170	169	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> Y C_ X )
171	170	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
172	167, 168, 171, 102	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
173	172	resqcld 12442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) e. RR )
174	33	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
175	173, 174	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
176		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> s e. RR+ )
177	176	rpred 11341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> s e. RR )
178		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> t e. RR+ )
179	178	rpred 11341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> t e. RR )
180		lemin 11486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ s e. RR /\ t e. RR ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) <-> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) ) )
181	175, 177, 179, 180	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) <-> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) ) )
182	181	rabbidva 3035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } )
183		ifcl 3923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) -> if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ )
184	183	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ )
185	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
186		rabexg 4553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V )
188		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } )
189		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = if ( s <_ t , s , t ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) ) )
190	189	rabbidv 3036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = if ( s <_ t , s , t ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } )
191	188, 190	elrnmpt1s 5082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
192	184, 187, 191	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
193	148	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
194	192, 193	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. F )
195	182, 194	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } e. F )
196		ineq12 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) = ( { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } i^i { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
197		inrab 3715	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } i^i { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) }
198	196, 197	syl6eq 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } )
199	198	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( ( u i^i v ) e. F <-> { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } e. F ) )
200	195, 199	syl5ibrcom 226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) e. F ) )
201	150	inex1 4544	. . . . . . . . . 10 |- ( u i^i v ) e. _V
202	201	pwid 3965	. . . . . . . . 9 |- ( u i^i v ) e. ~P ( u i^i v )
203		inelcm 3819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u i^i v ) e. F /\ ( u i^i v ) e. ~P ( u i^i v ) ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
204	202, 203	mpan2 677	. . . . . . . 8 |- ( ( u i^i v ) e. F -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
205	200, 204	syl6 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
206	205	rexlimdvva 2886	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. s e. RR+ E. t e. RR+ ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
207	166, 206	syl5bir 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
208	165, 207	sylbid 219	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. F /\ v e. F ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
209	208	ralrimivv 2808	. . 3 |- ( ph -> A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
210	22, 140, 209	3jca 1188	. 2 |- ( ph -> ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
211		isfbas 20844	. . 3 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> ( F e. ( fBas ` Y ) <-> ( F C_ ~P Y /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) ) ) )
212	3, 211	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( fBas ` Y ) <-> ( F C_ ~P Y /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) ) ) )
213	12, 210, 212	mpbir2and 933	1 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   e/ wnel 2623   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   2c2 10659   RR+crp 11302   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   Basecbs 15121   ↾_s cress 15122   distcds 15199   TopOpenctopn 15320   -gcsg 16671   LSubSpclss 18155   Metcme 18956   fBascfbas 18958   MetSpcmt 21333   normcnm 21591  NrmGrpcngp 21592   CPreHilccph 22144  CMetSpccms 22300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nlm 21601  df-cph 22146

This theorem is referenced by:  minveclem3OLD  22383  minveclem4aOLD  22384  minveclem4OLD  22386