MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3a Structured version   Unicode version

Theorem minveclem3a 21669
Description: Lemma for minvec 21678. 
D is a complete metric when restricted to  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem3a  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, A    y, J    y, N    ph, y    y, R   
y, U    y, X    y, Y    y, D    y, S

Proof of Theorem minveclem3a
StepHypRef Expression
1 minvec.w . . 3  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( Us  Y ) )  =  ( Base `  ( Us  Y ) )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( (
dist `  ( Us  Y
) )  |`  (
( Base `  ( Us  Y
) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
42, 3cmscmet 21612 . . 3  |-  ( ( Us  Y )  e. CMetSp  ->  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )  e.  ( CMet `  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )  e.  ( CMet `  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
6 minvec.d . . . 4  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
76reseq1i 5269 . . 3  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )
8 minvec.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
9 minvec.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  U
)
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
119, 10lssss 17395 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
128, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
13 xpss12 5108 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  X  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  X ) )
1412, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  X ) )
15 resabs1 5302 . . . . 5  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  (
( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
17 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Us  Y )  =  ( Us  Y )
18 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
1917, 18ressds 14672 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  ( dist `  U )  =  (
dist `  ( Us  Y
) ) )
208, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  =  ( dist `  ( Us  Y ) ) )
2117, 9ressbas2 14549 . . . . . . 7  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  =  ( Base `  ( Us  Y ) ) )
2212, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( Base `  ( Us  Y ) ) )
2322, 22xpeq12d 5024 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  =  ( (
Base `  ( Us  Y
) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
2420, 23reseq12d 5274 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  U
)  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) ) )
2516, 24eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  U )  |`  ( X  X.  X ) )  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) ) )
267, 25syl5eq 2520 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  ( ( dist `  ( Us  Y ) )  |`  ( ( Base `  ( Us  Y ) )  X.  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) ) )
2722fveq2d 5870 . 2  |-  ( ph  ->  ( CMet `  Y
)  =  ( CMet `  ( Base `  ( Us  Y ) ) ) )
285, 26, 273eltr4d 2570 1  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   supcsup 7901   RRcr 9492    < clt 9629   Basecbs 14493   ↾s cress 14494   distcds 14567   TopOpenctopn 14680   -gcsg 15733   LSubSpclss 17390   normcnm 20924   CPreHilccph 21440   CMetcms 21520  CMetSpccms 21598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-ds 14580  df-lss 17391  df-cms 21601
This theorem is referenced by:  minveclem3  21671  minveclem4a  21672
  Copyright terms: Public domain W3C validator