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Theorem minveclem3 19283
Description: Lemma for minvec 19290. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
Assertion
Ref Expression
minveclem3  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, F    y, N    ph, r, y    y, R   
y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables  w  s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR+ )
2 2z 10268 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
3 rpexpcl 11355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
s ^ 2 )  e.  RR+ )
41, 2, 3sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR+ )
54rphalfcld 10616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR+ )
6 4nn 10091 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
7 nnrp 10577 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR+
9 rpdivcl 10590 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 )  e.  RR+ )
105, 8, 9sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR+ )
11 minvec.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
1211adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
13 rabexg 4313 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )
15 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
16 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  (
( S ^ 2 )  +  r )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )
1716breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r )  <->  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
1817rabbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  r ) }  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } )
1915, 18elrnmpt1s 5077 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
)  e.  RR+  /\  {
y  e.  Y  | 
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
2010, 14, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  r ) } ) )
21 minvec.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
2220, 21syl6eleqr 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  e.  F )
23 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  ( A D y )  =  ( A D u ) )
2423oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D u ) ^
2 ) )
2524breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) )  <->  ( ( A D u ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
2625elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  <->  ( u  e.  Y  /\  (
( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) )
27 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  ( A D y )  =  ( A D v ) )
2827oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D v ) ^
2 ) )
2928breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) )  <->  ( ( A D v ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) ) )
3029elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  <->  ( v  e.  Y  /\  (
( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) )
3126, 30anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  /\  v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } )  <-> 
( ( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) )  /\  (
v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )
32 simprll 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  u  e.  Y )
33 simprrl 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  v  e.  Y )
3432, 33ovresd 6173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  =  ( u D v ) )
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
36 cphngp 19089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
38 ngpms 18600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
39 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ( Base `  U
)
40 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
4139, 40msmet 18440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4237, 38, 413syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
44 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4539, 44lssss 15968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
4611, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
4847, 32sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  u  e.  X )
4947, 33sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  v  e.  X )
50 metcl 18315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  (
u D v )  e.  RR )
5143, 48, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u D v )  e.  RR )
5251resqcld 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  e.  RR )
535adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR+ )
5453rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
554adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR+ )
5655rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( s ^ 2 )  e.  RR )
57 minvec.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  U )
58 minvec.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( norm `  U
)
5935ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil )
6011ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U )
)
61 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( Us  Y
)  e. CMetSp )
63 minvec.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  A  e.  X )
65 minvec.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
66 minvec.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
67 minvec.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
6810adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR+ )
6968rpred 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 )  e.  RR )
7068rpge0d 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) )
71 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( ( A D u ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) )
72 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( ( A D v ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) )
7339, 57, 58, 59, 60, 62, 64, 65, 66, 67, 40, 69, 70, 32, 33, 71, 72minveclem2 19280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  <_ 
( 4  x.  (
( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) )
7453rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
75 4cn 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  4  e.  CC )
776nnne0i 9990 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  4  =/=  0 )
7974, 76, 78divcan2d 9748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( 4  x.  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  / 
4 ) )  =  ( ( s ^
2 )  /  2
) )
8073, 79breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  <_ 
( ( s ^
2 )  /  2
) )
81 rphalflt 10594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( s ^ 2 )  /  2 )  < 
( s ^ 2 ) )
8255, 81syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
s ^ 2 )  /  2 )  < 
( s ^ 2 ) )
8352, 54, 56, 80, 82lelttrd 9184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v ) ^ 2 )  < 
( s ^ 2 ) )
84 rpre 10574 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
8584ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
86 metge0 18328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  0  <_  ( u D v ) )
8743, 48, 49, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( u D v ) )
88 rpge0 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  <_ 
s )
8988ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  0  <_  s )
9051, 85, 87, 89lt2sqd 11512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( (
u D v )  <  s  <->  ( (
u D v ) ^ 2 )  < 
( s ^ 2 ) ) )
9183, 90mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u D v )  < 
s )
9234, 91eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
( u  e.  Y  /\  ( ( A D u ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) )  /\  ( v  e.  Y  /\  ( ( A D v ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) ) ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9331, 92sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  /\  v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } ) )  ->  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9493ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } A. v  e. 
{ y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s )
95 raleq 2864 . . . . . 6  |-  ( w  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  ->  ( A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s  <->  A. v  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s ) )
9695raleqbi1dv 2872 . . . . 5  |-  ( w  =  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( ( ( s ^
2 )  /  2
)  /  4 ) ) }  ->  ( A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s  <->  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) } A. v  e. 
{ y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s ) )
9796rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  /  2 )  /  4 ) ) }  e.  F  /\  A. u  e.  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) } A. v  e.  { y  e.  Y  |  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( ( ( s ^ 2 )  / 
2 )  /  4
) ) }  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )  ->  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )
9822, 94, 97syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
)
9998ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s )
10039, 57, 58, 35, 11, 61, 63, 65, 66, 67, 40minveclem3a 19281 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
101 cmetmet 19192 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
102 metxmet 18317 . . . 4  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
103100, 101, 1023syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y ) )
10439, 57, 58, 35, 11, 61, 63, 65, 66, 67, 40, 21minveclem3b 19282 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
105 fgcfil 19177 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  s
) )
106103, 104, 105syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  A. s  e.  RR+  E. w  e.  F  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  s ) )
10799, 106mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   distcds 13493   TopOpenctopn 13604   -gcsg 14643   LSubSpclss 15963   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   fBascfbas 16644   filGencfg 16645   MetSpcmt 18301   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578   CPreHilccph 19082  CauFilccfil 19158   CMetcms 19160  CMetSpccms 19238
This theorem is referenced by:  minveclem4a  19284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-fil 17831  df-xms 18303  df-ms 18304  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nlm 18587  df-clm 19041  df-cph 19084  df-cfil 19161  df-cmet 19163  df-cms 19241
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