Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 4re 10683 |
. . . . . 6
 |
2 | | minvecOLD.x |
. . . . . . . 8
     |
3 | | minvecOLD.m |
. . . . . . . 8
     |
4 | | minvecOLD.n |
. . . . . . . 8
     |
5 | | minvecOLD.u |
. . . . . . . 8
   |
6 | | minvecOLD.y |
. . . . . . . 8
       |
7 | | minvecOLD.w |
. . . . . . . 8
 
↾s  CMetSp |
8 | | minvecOLD.a |
. . . . . . . 8
   |
9 | | minvecOLD.j |
. . . . . . . 8
     |
10 | | minvecOLD.r |
. . . . . . . 8
    
    |
11 | | minvecOLD.s |
. . . . . . . 8
   
 |
12 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | minveclem4cOLD 22372 |
. . . . . . 7
   |
13 | 12 | resqcld 12439 |
. . . . . 6
       |
14 | | remulcl 9621 |
. . . . . 6
               |
15 | 1, 13, 14 | sylancr 668 |
. . . . 5
         |
16 | | cphngp 22144 |
. . . . . . . . . 10
 NrmGrp |
17 | 5, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . 9

NrmGrp |
18 | | ngpms 21607 |
. . . . . . . . 9
 NrmGrp   |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . 8
   |
20 | | minvecOLD.d |
. . . . . . . . 9
         |
21 | 2, 20 | msmet 21465 |
. . . . . . . 8

      |
22 | 19, 21 | syl 17 |
. . . . . . 7
       |
23 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . 10
         |
24 | 2, 23 | lssss 18153 |
. . . . . . . . 9
    
  |
25 | 6, 24 | syl 17 |
. . . . . . . 8

  |
26 | | minveclem2OLD.3 |
. . . . . . . 8
   |
27 | 25, 26 | sseldd 3432 |
. . . . . . 7
   |
28 | | minveclem2OLD.4 |
. . . . . . . 8
   |
29 | 25, 28 | sseldd 3432 |
. . . . . . 7
   |
30 | | metcl 21340 |
. . . . . . 7
     
       |
31 | 22, 27, 29, 30 | syl3anc 1267 |
. . . . . 6
       |
32 | 31 | resqcld 12439 |
. . . . 5
           |
33 | 15, 32 | readdcld 9667 |
. . . 4
                   |
34 | | cphlmod 22145 |
. . . . . . . . . 10
   |
35 | 5, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
   |
36 | | cphclm 22160 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 CMod |
37 | 5, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 CMod |
38 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Scalar  Scalar   |
39 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   Scalar      Scalar    |
40 | 38, 39 | clmzss 22102 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 CMod    Scalar     |
41 | 37, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13

   Scalar     |
42 | | 2z 10966 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
   |
44 | 41, 43 | sseldd 3432 |
. . . . . . . . . . . 12
    Scalar     |
45 | | 2ne0 10699 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
47 | 38, 39 | cphreccl 22152 |
. . . . . . . . . . . 12
     Scalar         Scalar     |
48 | 5, 44, 46, 47 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . 11
      Scalar     |
49 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
50 | 49, 23 | lssvacl 18170 |
. . . . . . . . . . . 12
        
           |
51 | 35, 6, 26, 28, 50 | syl22anc 1268 |
. . . . . . . . . . 11
          |
52 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
53 | 38, 52, 39, 23 | lssvscl 18171 |
. . . . . . . . . . 11
              Scalar                               |
54 | 35, 6, 48, 51, 53 | syl22anc 1268 |
. . . . . . . . . 10
                    |
55 | 25, 54 | sseldd 3432 |
. . . . . . . . 9
                    |
56 | 2, 3 | lmodvsubcl 18126 |
. . . . . . . . 9
 
                                       |
57 | 35, 8, 55, 56 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . 8
                      |
58 | 2, 4 | nmcl 21622 |
. . . . . . . 8
  NrmGrp
                   
                         |
59 | 17, 57, 58 | syl2anc 666 |
. . . . . . 7
                          |
60 | 59 | resqcld 12439 |
. . . . . 6
     
                        |
61 | | remulcl 9621 |
. . . . . 6
      
                                                      |
62 | 1, 60, 61 | sylancr 668 |
. . . . 5
                                |
63 | 62, 32 | readdcld 9667 |
. . . 4
       
                                  |
64 | | minveclem2OLD.1 |
. . . . . 6
   |
65 | 13, 64 | readdcld 9667 |
. . . . 5
         |
66 | | remulcl 9621 |
. . . . 5
                   |
67 | 1, 65, 66 | sylancr 668 |
. . . 4
           |
68 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | minveclem1 22359 |
. . . . . . . . . 10
  
   |
69 | 68 | simp3d 1021 |
. . . . . . . . 9
 
  |
70 | 68 | simp1d 1019 |
. . . . . . . . . 10

  |
71 | 68 | simp2d 1020 |
. . . . . . . . . 10
   |
72 | | 0re 9640 |
. . . . . . . . . . 11
 |
73 | | breq1 4404 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
   |
74 | 73 | ralbidv 2826 |
. . . . . . . . . . . 12
  

   |
75 | 74 | rspcev 3149 |
. . . . . . . . . . 11
    
   |
76 | 72, 69, 75 | sylancr 668 |
. . . . . . . . . 10
     |
77 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
   |
78 | | infmrgelbOLD 10592 |
. . . . . . . . . 10
   

  
  


   |
79 | 70, 71, 76, 77, 78 | syl31anc 1270 |
. . . . . . . . 9
     

   |
80 | 69, 79 | mpbird 236 |
. . . . . . . 8

  
   |
81 | 80, 11 | syl6breqr 4442 |
. . . . . . 7

  |
82 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . 12
                                               |
83 | | oveq2 6296 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 
                       |
84 | 83 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                 
                               |
85 | 84 | eqeq2d 2460 |
. . . . . . . . . . . . 13
                 
                                                                               |
86 | 85 | rspcev 3149 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                                                                  |
87 | 54, 82, 86 | sylancl 667 |
. . . . . . . . . . 11
                                 |
88 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . 12
            
    |
89 | | fvex 5873 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
90 | 88, 89 | elrnmpti 5084 |
. . . . . . . . . . 11
                            
  

                               |
91 | 87, 90 | sylibr 216 |
. . . . . . . . . 10
                            
     |
92 | 91, 10 | syl6eleqr 2539 |
. . . . . . . . 9
                          |
93 | | infmrlbOLD 10594 |
. . . . . . . . 9
 


   
                       
   
                     |
94 | 70, 76, 92, 93 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . 8
    
   
                     |
95 | 11, 94 | syl5eqbr 4435 |
. . . . . . 7

                         |
96 | | le2sq2 12347 |
. . . . . . 7
  
     
                      
                        
                             |
97 | 12, 81, 59, 95, 96 | syl22anc 1268 |
. . . . . 6
    
                             |
98 | | 4pos 10702 |
. . . . . . . . 9
 |
99 | 1, 98 | pm3.2i 457 |
. . . . . . . 8
   |
100 | | lemul2 10455 |
. . . . . . . 8
          
                                  
                                 
                          |
101 | 99, 100 | mp3an3 1352 |
. . . . . . 7
          
                                                      
                                      |
102 | 13, 60, 101 | syl2anc 666 |
. . . . . 6
                                
                                      |
103 | 97, 102 | mpbid 214 |
. . . . 5
            
                         |
104 | 15, 62, 32, 103 | leadd1dd 10224 |
. . . 4
                
                                         |
105 | | metcl 21340 |
. . . . . . . . . 10
     
       |
106 | 22, 8, 27, 105 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . 9
       |
107 | 106 | resqcld 12439 |
. . . . . . . 8
           |
108 | | metcl 21340 |
. . . . . . . . . 10
     
       |
109 | 22, 8, 29, 108 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . 9
       |
110 | 109 | resqcld 12439 |
. . . . . . . 8
           |
111 | | minveclem2OLD.5 |
. . . . . . . 8
        
        |
112 | | minveclem2OLD.6 |
. . . . . . . 8
        
        |
113 | 107, 110,
65, 65, 111, 112 | le2addd 10229 |
. . . . . . 7
                  
                |
114 | 65 | recnd 9666 |
. . . . . . . 8
         |
115 | 114 | 2timesd 10852 |
. . . . . . 7
                         |
116 | 113, 115 | breqtrrd 4428 |
. . . . . 6
                  
          |
117 | 107, 110 | readdcld 9667 |
. . . . . . 7
                     |
118 | | 2re 10676 |
. . . . . . . 8
 |
119 | | remulcl 9621 |
. . . . . . . 8
                   |
120 | 118, 65, 119 | sylancr 668 |
. . . . . . 7
           |
121 | | 2pos 10698 |
. . . . . . . . 9
 |
122 | 118, 121 | pm3.2i 457 |
. . . . . . . 8
   |
123 | | lemul2 10455 |
. . . . . . . 8
                              
                          
                                 |
124 | 122, 123 | mp3an3 1352 |
. . . . . . 7
                                                                                         |
125 | 117, 120,
124 | syl2anc 666 |
. . . . . 6
                                               
             |
126 | 116, 125 | mpbid 214 |
. . . . 5
                    
            |
127 | 2, 3 | lmodvsubcl 18126 |
. . . . . . . 8
 
     |
128 | 35, 8, 27, 127 | syl3anc 1267 |
. . . . . . 7
     |
129 | 2, 3 | lmodvsubcl 18126 |
. . . . . . . 8
 
     |
130 | 35, 8, 29, 129 | syl3anc 1267 |
. . . . . . 7
     |
131 | 2, 49, 3, 4 | nmpar 22207 |
. . . . . . 7
                                  
                       
         |
132 | 5, 128, 130, 131 | syl3anc 1267 |
. . . . . 6
                           
                                  |
133 | | 2cn 10677 |
. . . . . . . . . 10
 |
134 | 59 | recnd 9666 |
. . . . . . . . . 10
                          |
135 | | sqmul 12335 |
. . . . . . . . . 10
                                                                                          |
136 | 133, 134,
135 | sylancr 668 |
. . . . . . . . 9
                                                                 |
137 | | sq2 12368 |
. . . . . . . . . 10
     |
138 | 137 | oveq1i 6298 |
. . . . . . . . 9
                                                               |
139 | 136, 138 | syl6eq 2500 |
. . . . . . . 8
                                                             |
140 | 2, 4, 52, 38, 39 | cphnmvs 22161 |
. . . . . . . . . . . 12
     Scalar   
                                                                                 |
141 | 5, 44, 57, 140 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . 11
                                                               |
142 | | 0le2 10697 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
143 | | absid 13352 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
144 | 118, 142,
143 | mp2an 677 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
145 | 144 | oveq1i 6298 |
. . . . . . . . . . 11
        
                                              |
146 | 141, 145 | syl6eq 2500 |
. . . . . . . . . 10
                                                           |
147 | 2, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55 | lmodsubdi 18138 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                                 |
148 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
.g  .g   |
149 | 2, 148, 49 | mulg2 16760 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   .g             |
150 | 8, 149 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   .g             |
151 | 2, 148, 52 | clmmulg 22117 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  CMod    .g              |
152 | 37, 43, 8, 151 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   .g              |
153 | 150, 152 | eqtr3d 2486 |
. . . . . . . . . . . . 13
                  |
154 | 2, 49 | lmodvacl 18098 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
          |
155 | 35, 27, 29, 154 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
          |
156 | 2, 52 | clmvs1 22113 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  CMod                                 |
157 | 37, 155, 156 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                         |
158 | 133, 45 | recidi 10335 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     |
159 | 158 | oveq1i 6298 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                   |
160 | 2, 38, 52, 39 | clmvsass 22111 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
  CMod     Scalar  
     Scalar                                                          |
161 | 37, 44, 48, 155, 160 | syl13anc 1269 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                               |
162 | 159, 161 | syl5eqr 2498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                           |
163 | 157, 162 | eqtr3d 2486 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                   |
164 | 153, 163 | oveq12d 6306 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                      |
165 | | lmodabl 18128 |
. . . . . . . . . . . . . 14

  |
166 | 35, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
   |
167 | 2, 49, 3 | ablsub4 17448 |
. . . . . . . . . . . . 13
  
 
                               |
168 | 166, 8, 8, 27, 29, 167 | syl122anc 1276 |
. . . . . . . . . . . 12
                              |
169 | 147, 164,
168 | 3eqtr2d 2490 |
. . . . . . . . . . 11
                                         |
170 | 169 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . 10
                                                 |
171 | 146, 170 | eqtr3d 2486 |
. . . . . . . . 9
                                           |
172 | 171 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . 8
                                                   |
173 | 139, 172 | eqtr3d 2486 |
. . . . . . 7
                                                   |
174 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . 11
         |
175 | 4, 2, 3, 174 | ngpdsr 21611 |
. . . . . . . . . 10
  NrmGrp
                 |
176 | 17, 27, 29, 175 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . 9
            
    |
177 | 20 | oveqi 6301 |
. . . . . . . . . 10
                 |
178 | 27, 29 | ovresd 6434 |
. . . . . . . . . 10
                       |
179 | 177, 178 | syl5eq 2496 |
. . . . . . . . 9
               |
180 | 2, 3, 166, 8, 27, 29 | ablnnncan1 17458 |
. . . . . . . . . 10
           |
181 | 180 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . 9
      
       
    |
182 | 176, 179,
181 | 3eqtr4d 2494 |
. . . . . . . 8
           
     |
183 | 182 | oveq1d 6303 |
. . . . . . 7
                         |
184 | 173, 183 | oveq12d 6306 |
. . . . . 6
       
                                                                     |
185 | 20 | oveqi 6301 |
. . . . . . . . . . 11
                 |
186 | 8, 27 | ovresd 6434 |
. . . . . . . . . . 11
                       |
187 | 185, 186 | syl5eq 2496 |
. . . . . . . . . 10
               |
188 | 4, 2, 3, 174 | ngpds 21610 |
. . . . . . . . . . 11
  NrmGrp
                 |
189 | 17, 8, 27, 188 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . 10
            
    |
190 | 187, 189 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . 9
             |
191 | 190 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . 8
                     |
192 | 20 | oveqi 6301 |
. . . . . . . . . . 11
                 |
193 | 8, 29 | ovresd 6434 |
. . . . . . . . . . 11
                       |
194 | 192, 193 | syl5eq 2496 |
. . . . . . . . . 10
               |
195 | 4, 2, 3, 174 | ngpds 21610 |
. . . . . . . . . . 11
  NrmGrp
                 |
196 | 17, 8, 29, 195 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . 10
            
    |
197 | 194, 196 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . 9
             |
198 | 197 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . 8
                     |
199 | 191, 198 | oveq12d 6306 |
. . . . . . 7
                                  
        |
200 | 199 | oveq2d 6304 |
. . . . . 6
                                     
         |
201 | 132, 184,
200 | 3eqtr4d 2494 |
. . . . 5
       
                                                      |
202 | | 2t2e4 10756 |
. . . . . . 7
   |
203 | 202 | oveq1i 6298 |
. . . . . 6
                   |
204 | | 2cnd 10679 |
. . . . . . 7
   |
205 | 204, 204,
114 | mulassd 9663 |
. . . . . 6
                       |
206 | 203, 205 | syl5eqr 2498 |
. . . . 5
                     |
207 | 126, 201,
206 | 3brtr4d 4432 |
. . . 4
       
                                          |
208 | 33, 63, 67, 104, 207 | letrd 9789 |
. . 3
                
          |
209 | | 4cn 10684 |
. . . . 5
 |
210 | 209 | a1i 11 |
. . . 4
   |
211 | 13 | recnd 9666 |
. . . 4
       |
212 | 64 | recnd 9666 |
. . . 4
   |
213 | 210, 211,
212 | adddid 9664 |
. . 3
                     |
214 | 208, 213 | breqtrd 4426 |
. 2
                
            |
215 | | remulcl 9621 |
. . . 4
 
     |
216 | 1, 64, 215 | sylancr 668 |
. . 3
     |
217 | 32, 216, 15 | leadd2d 10205 |
. 2
                           
             |
218 | 214, 217 | mpbird 236 |
1
        
    |