Theorem minveclem2OLD 22458

Description: Lemma for minvecOLD 22468. Any two points K and L in Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem2 22446 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvecOLD.x	|- X = ( Base ` U )
minvecOLD.m	|- .- = ( -g ` U )
minvecOLD.n	|- N = ( norm ` U )
minvecOLD.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvecOLD.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvecOLD.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvecOLD.a	|- ( ph -> A e. X )
minvecOLD.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvecOLD.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvecOLD.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minvecOLD.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minveclem2OLD.1	|- ( ph -> B e. RR )
minveclem2OLD.2	|- ( ph -> 0 <_ B )
minveclem2OLD.3	|- ( ph -> K e. Y )
minveclem2OLD.4	|- ( ph -> L e. Y )
minveclem2OLD.5	|- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
minveclem2OLD.6	|- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem2OLD	|- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Distinct variable groups:   y, .-   y, A   y, J   y, K   y, N   ph, y   y, R   y, U   y, X   y, Y   y, D   y, S   y, L

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem minveclem2OLD

Dummy variables w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 10708	. . . . . 6 |- 4 e. RR
2		minvecOLD.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` U )
3		minvecOLD.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` U )
4		minvecOLD.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` U )
5		minvecOLD.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvecOLD.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvecOLD.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvecOLD.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
9		minvecOLD.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvecOLD.r	. . . . . . . 8 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11		minvecOLD.s	. . . . . . . 8 |- S = sup ( R , RR , `' < )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4cOLD 22457	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR )
13	12	resqcld 12480	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
14		remulcl 9642	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( S ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
15	1, 13, 14	sylancr 676	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
16		cphngp 22229	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
17	5, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
18		ngpms 21692	. . . . . . . . 9 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. MetSp )
20		minvecOLD.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
21	2, 20	msmet 21550	. . . . . . . 8 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
23		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
24	2, 23	lssss 18238	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
25	6, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
26		minveclem2OLD.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Y )
27	25, 26	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. X )
28		minveclem2OLD.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. Y )
29	25, 28	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. X )
30		metcl 21425	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K D L ) e. RR )
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K D L ) e. RR )
32	31	resqcld 12480	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) e. RR )
33	15, 32	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
34		cphlmod 22230	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
36		cphclm 22245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. CPreHil -> U e. CMod )
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. CMod )
38		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
39		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` U ) ) = ( Base ` (Scalar ` U ) )
40	38, 39	clmzss 22187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. CMod -> ZZ C_ ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ZZ C_ ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
42		2z 10993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
45		2ne0 10724	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
47	38, 39	cphreccl 22237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. CPreHil /\ 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ 2 =/= 0 ) -> ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
48	5, 44, 46, 47	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
49		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
50	49, 23	lssvacl 18255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. LMod /\ Y e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( K e. Y /\ L e. Y ) ) -> ( K ( +g ` U ) L ) e. Y )
51	35, 6, 26, 28, 50	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) e. Y )
52		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .s ` U ) = ( .s ` U )
53	38, 52, 39, 23	lssvscl 18256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. LMod /\ Y e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. Y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y )
54	35, 6, 48, 51, 53	syl22anc 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y )
55	25, 54	sseldd 3419	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. X )
56	2, 3	lmodvsubcl 18211	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. X ) -> ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X )
57	35, 8, 55, 56	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X )
58	2, 4	nmcl 21707	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
59	17, 57, 58	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
60	59	resqcld 12480	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
61		remulcl 9642	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
62	1, 60, 61	sylancr 676	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
63	62, 32	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
64		minveclem2OLD.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
65	13, 64	readdcld 9688	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR )
66		remulcl 9642	. . . . 5 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
67	1, 65, 66	sylancr 676	. . . 4 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
68	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 22444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
69	68	simp3d 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
70	68	simp1d 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R C_ RR )
71	68	simp2d 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R =/= (/) )
72		0re 9661	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
73		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
74	73	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
75	74	rspcev 3136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
76	72, 69, 75	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
77	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
78		infmrgelbOLD 10617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
79	70, 71, 76, 77, 78	syl31anc 1295	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
80	69, 79	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
81	80, 11	syl6breqr 4436	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
82		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
83		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( A .- y ) = ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
84	83	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( N ` ( A .- y ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
85	84	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
86	85	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) -> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
87	54, 82, 86	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
88		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
89		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
90	88, 89	elrnmpti 5091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) <-> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
91	87, 90	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
92	91, 10	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. R )
93		infmrlbOLD 10619	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
94	70, 76, 92, 93	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
95	11, 94	syl5eqbr 4429	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
96		le2sq2 12388	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR /\ S <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ) -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
97	12, 81, 59, 95, 96	syl22anc 1293	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98		4pos 10727	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
99	1, 98	pm3.2i 462	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
100		lemul2 10480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
101	99, 100	mp3an3 1379	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
102	13, 60, 101	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
104	15, 62, 32, 103	leadd1dd 10248	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105		metcl 21425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A D K ) e. RR )
106	22, 8, 27, 105	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) e. RR )
107	106	resqcld 12480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) e. RR )
108		metcl 21425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A D L ) e. RR )
109	22, 8, 29, 108	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) e. RR )
110	109	resqcld 12480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) e. RR )
111		minveclem2OLD.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
112		minveclem2OLD.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
113	107, 110, 65, 65, 111, 112	le2addd 10253	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
114	65	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. CC )
115	114	2timesd 10878	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
116	113, 115	breqtrrd 4422	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
117	107, 110	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
118		2re 10701	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
119		remulcl 9642	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
120	118, 65, 119	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
121		2pos 10723	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
122	118, 121	pm3.2i 462	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
123		lemul2 10480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
124	122, 123	mp3an3 1379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
125	117, 120, 124	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
126	116, 125	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
127	2, 3	lmodvsubcl 18211	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A .- K ) e. X )
128	35, 8, 27, 127	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A .- K ) e. X )
129	2, 3	lmodvsubcl 18211	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A .- L ) e. X )
130	35, 8, 29, 129	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A .- L ) e. X )
131	2, 49, 3, 4	nmpar 22292	. . . . . . 7 |- ( ( U e. CPreHil /\ ( A .- K ) e. X /\ ( A .- L ) e. X ) -> ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
132	5, 128, 130, 131	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133		2cn 10702	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
134	59	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. CC )
135		sqmul 12376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
136	133, 134, 135	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
137		sq2 12409	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
138	137	oveq1i 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
139	136, 138	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
140	2, 4, 52, 38, 39	cphnmvs 22246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. CPreHil /\ 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
141	5, 44, 57, 140	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
142		0le2 10722	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 2
143		absid 13436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
144	118, 142, 143	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 2 ) = 2
145	144	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
146	141, 145	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
147	2, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55	lmodsubdi 18223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( ( 2 ( .s ` U ) A ) .- ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
148		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (.g ` U ) = (.g ` U )
149	2, 148, 49	mulg2 16845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. X -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( A ( +g ` U ) A ) )
150	8, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( A ( +g ` U ) A ) )
151	2, 148, 52	clmmulg 22202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. CMod /\ 2 e. ZZ /\ A e. X ) -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
152	37, 43, 8, 151	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
153	150, 152	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ( +g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
154	2, 49	lmodvacl 18183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. LMod /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( +g ` U ) L ) e. X )
155	35, 27, 29, 154	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) e. X )
156	2, 52	clmvs1 22198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. CMod /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. X ) -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( K ( +g ` U ) L ) )
157	37, 155, 156	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( K ( +g ` U ) L ) )
158	133, 45	recidi 10360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
159	158	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) )
160	2, 38, 52, 39	clmvsass 22196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. CMod /\ ( 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. X ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
161	37, 44, 48, 155, 160	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
162	159, 161	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
163	157, 162	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
164	153, 163	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( 2 ( .s ` U ) A ) .- ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
165		lmodabl 18213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. LMod -> U e. Abel )
166	35, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. Abel )
167	2, 49, 3	ablsub4 17533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Abel /\ ( A e. X /\ A e. X ) /\ ( K e. X /\ L e. X ) ) -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
168	166, 8, 8, 27, 29, 167	syl122anc 1301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
169	147, 164, 168	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
170	169	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) )
171	146, 170	eqtr3d 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) )
172	171	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
173	139, 172	eqtr3d 2507	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
174		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
175	4, 2, 3, 174	ngpdsr 21696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmGrp /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
176	17, 27, 29, 175	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
177	20	oveqi 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( K D L ) = ( K ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L )
178	27, 29	ovresd 6456	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L ) = ( K ( dist ` U ) L ) )
179	177, 178	syl5eq 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K D L ) = ( K ( dist ` U ) L ) )
180	2, 3, 166, 8, 27, 29	ablnnncan1 17543	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) = ( L .- K ) )
181	180	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
182	176, 179, 181	3eqtr4d 2515	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K D L ) = ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) )
183	182	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
184	173, 183	oveq12d 6326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) )
185	20	oveqi 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( A D K ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) K )
186	8, 27	ovresd 6456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) K ) = ( A ( dist ` U ) K ) )
187	185, 186	syl5eq 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A D K ) = ( A ( dist ` U ) K ) )
188	4, 2, 3, 174	ngpds 21695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A ( dist ` U ) K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
189	17, 8, 27, 188	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
190	187, 189	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
191	190	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) )
192	20	oveqi 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( A D L ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L )
193	8, 29	ovresd 6456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L ) = ( A ( dist ` U ) L ) )
194	192, 193	syl5eq 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A D L ) = ( A ( dist ` U ) L ) )
195	4, 2, 3, 174	ngpds 21695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
196	17, 8, 29, 195	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
197	194, 196	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
198	197	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) )
199	191, 198	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) )
200	199	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
201	132, 184, 200	3eqtr4d 2515	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
202		2t2e4 10782	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
203	202	oveq1i 6318	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) )
204		2cnd 10704	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
205	204, 204, 114	mulassd 9684	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
206	203, 205	syl5eqr 2519	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
207	126, 201, 206	3brtr4d 4426	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
208	33, 63, 67, 104, 207	letrd 9809	. . 3 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
209		4cn 10709	. . . . 5 |- 4 e. CC
210	209	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 4 e. CC )
211	13	recnd 9687	. . . 4 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. CC )
212	64	recnd 9687	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
213	210, 211, 212	adddid 9685	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
214	208, 213	breqtrd 4420	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
215		remulcl 9642	. . . 4 |- ( ( 4 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 4 x. B ) e. RR )
216	1, 64, 215	sylancr 676	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. B ) e. RR )
217	32, 216, 15	leadd2d 10229	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) <-> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) ) )
218	214, 217	mpbird 240	1 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840   |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   2c2 10681   4c4 10683   ZZcz 10961   ^cexp 12310   abscabs 13374   Basecbs 15199   ↾_s cress 15200   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   -gcsg 16749  ._gcmg 16750   Abelcabl 17509   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   Metcme 19033   MetSpcmt 21411   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670  CModcclm 22171   CPreHilccph 22222  CMetSpccms 22378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224

This theorem is referenced by:  minveclem3OLD  22461  minveclem7OLD  22467