Theorem minveclem2OLD 22373

Description: Lemma for minvecOLD 22383. Any two points K and L in Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem2 22361 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvecOLD.x	|- X = ( Base ` U )
minvecOLD.m	|- .- = ( -g ` U )
minvecOLD.n	|- N = ( norm ` U )
minvecOLD.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvecOLD.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvecOLD.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvecOLD.a	|- ( ph -> A e. X )
minvecOLD.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvecOLD.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvecOLD.s	|- S = sup ( R , RR , `' < )
minvecOLD.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minveclem2OLD.1	|- ( ph -> B e. RR )
minveclem2OLD.2	|- ( ph -> 0 <_ B )
minveclem2OLD.3	|- ( ph -> K e. Y )
minveclem2OLD.4	|- ( ph -> L e. Y )
minveclem2OLD.5	|- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
minveclem2OLD.6	|- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem2OLD	|- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Distinct variable groups:   y, .-   y, A   y, J   y, K   y, N   ph, y   y, R   y, U   y, X   y, Y   y, D   y, S   y, L

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem minveclem2OLD

Dummy variables w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 10683	. . . . . 6 |- 4 e. RR
2		minvecOLD.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` U )
3		minvecOLD.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` U )
4		minvecOLD.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` U )
5		minvecOLD.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvecOLD.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvecOLD.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvecOLD.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
9		minvecOLD.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvecOLD.r	. . . . . . . 8 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11		minvecOLD.s	. . . . . . . 8 |- S = sup ( R , RR , `' < )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4cOLD 22372	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR )
13	12	resqcld 12439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
14		remulcl 9621	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( S ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
15	1, 13, 14	sylancr 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
16		cphngp 22144	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
17	5, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
18		ngpms 21607	. . . . . . . . 9 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. MetSp )
20		minvecOLD.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
21	2, 20	msmet 21465	. . . . . . . 8 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
23		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
24	2, 23	lssss 18153	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
25	6, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
26		minveclem2OLD.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Y )
27	25, 26	sseldd 3432	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. X )
28		minveclem2OLD.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. Y )
29	25, 28	sseldd 3432	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. X )
30		metcl 21340	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K D L ) e. RR )
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K D L ) e. RR )
32	31	resqcld 12439	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) e. RR )
33	15, 32	readdcld 9667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
34		cphlmod 22145	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
36		cphclm 22160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. CPreHil -> U e. CMod )
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. CMod )
38		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
39		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` U ) ) = ( Base ` (Scalar ` U ) )
40	38, 39	clmzss 22102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. CMod -> ZZ C_ ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ZZ C_ ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
42		2z 10966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
45		2ne0 10699	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
47	38, 39	cphreccl 22152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. CPreHil /\ 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ 2 =/= 0 ) -> ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
48	5, 44, 46, 47	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
49		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
50	49, 23	lssvacl 18170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. LMod /\ Y e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( K e. Y /\ L e. Y ) ) -> ( K ( +g ` U ) L ) e. Y )
51	35, 6, 26, 28, 50	syl22anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) e. Y )
52		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .s ` U ) = ( .s ` U )
53	38, 52, 39, 23	lssvscl 18171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. LMod /\ Y e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. Y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y )
54	35, 6, 48, 51, 53	syl22anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y )
55	25, 54	sseldd 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. X )
56	2, 3	lmodvsubcl 18126	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. X ) -> ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X )
57	35, 8, 55, 56	syl3anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X )
58	2, 4	nmcl 21622	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
59	17, 57, 58	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
60	59	resqcld 12439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
61		remulcl 9621	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
62	1, 60, 61	sylancr 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
63	62, 32	readdcld 9667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
64		minveclem2OLD.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
65	13, 64	readdcld 9667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR )
66		remulcl 9621	. . . . 5 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
67	1, 65, 66	sylancr 668	. . . 4 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
68	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 22359	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
69	68	simp3d 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
70	68	simp1d 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R C_ RR )
71	68	simp2d 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R =/= (/) )
72		0re 9640	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
73		breq1 4404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
74	73	ralbidv 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
75	74	rspcev 3149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
76	72, 69, 75	sylancr 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
77	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
78		infmrgelbOLD 10592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
79	70, 71, 76, 77, 78	syl31anc 1270	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
80	69, 79	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sup ( R , RR , `' < ) )
81	80, 11	syl6breqr 4442	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
82		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
83		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( A .- y ) = ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
84	83	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( N ` ( A .- y ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
85	84	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
86	85	rspcev 3149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) -> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
87	54, 82, 86	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
88		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
89		fvex 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
90	88, 89	elrnmpti 5084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) <-> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
91	87, 90	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
92	91, 10	syl6eleqr 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. R )
93		infmrlbOLD 10594	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. R ) -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
94	70, 76, 92, 93	syl3anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( R , RR , `' < ) <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
95	11, 94	syl5eqbr 4435	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
96		le2sq2 12347	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR /\ S <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ) -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
97	12, 81, 59, 95, 96	syl22anc 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98		4pos 10702	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
99	1, 98	pm3.2i 457	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
100		lemul2 10455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
101	99, 100	mp3an3 1352	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
102	13, 60, 101	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
104	15, 62, 32, 103	leadd1dd 10224	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105		metcl 21340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A D K ) e. RR )
106	22, 8, 27, 105	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) e. RR )
107	106	resqcld 12439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) e. RR )
108		metcl 21340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A D L ) e. RR )
109	22, 8, 29, 108	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) e. RR )
110	109	resqcld 12439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) e. RR )
111		minveclem2OLD.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
112		minveclem2OLD.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
113	107, 110, 65, 65, 111, 112	le2addd 10229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
114	65	recnd 9666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. CC )
115	114	2timesd 10852	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
116	113, 115	breqtrrd 4428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
117	107, 110	readdcld 9667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
118		2re 10676	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
119		remulcl 9621	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
120	118, 65, 119	sylancr 668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
121		2pos 10698	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
122	118, 121	pm3.2i 457	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
123		lemul2 10455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
124	122, 123	mp3an3 1352	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
125	117, 120, 124	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
126	116, 125	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
127	2, 3	lmodvsubcl 18126	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A .- K ) e. X )
128	35, 8, 27, 127	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A .- K ) e. X )
129	2, 3	lmodvsubcl 18126	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A .- L ) e. X )
130	35, 8, 29, 129	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A .- L ) e. X )
131	2, 49, 3, 4	nmpar 22207	. . . . . . 7 |- ( ( U e. CPreHil /\ ( A .- K ) e. X /\ ( A .- L ) e. X ) -> ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
132	5, 128, 130, 131	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133		2cn 10677	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
134	59	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. CC )
135		sqmul 12335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
136	133, 134, 135	sylancr 668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
137		sq2 12368	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
138	137	oveq1i 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
139	136, 138	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
140	2, 4, 52, 38, 39	cphnmvs 22161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. CPreHil /\ 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
141	5, 44, 57, 140	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
142		0le2 10697	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 2
143		absid 13352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
144	118, 142, 143	mp2an 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 2 ) = 2
145	144	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
146	141, 145	syl6eq 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
147	2, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55	lmodsubdi 18138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( ( 2 ( .s ` U ) A ) .- ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
148		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (.g ` U ) = (.g ` U )
149	2, 148, 49	mulg2 16760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. X -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( A ( +g ` U ) A ) )
150	8, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( A ( +g ` U ) A ) )
151	2, 148, 52	clmmulg 22117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. CMod /\ 2 e. ZZ /\ A e. X ) -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
152	37, 43, 8, 151	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
153	150, 152	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ( +g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
154	2, 49	lmodvacl 18098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. LMod /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( +g ` U ) L ) e. X )
155	35, 27, 29, 154	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) e. X )
156	2, 52	clmvs1 22113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. CMod /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. X ) -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( K ( +g ` U ) L ) )
157	37, 155, 156	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( K ( +g ` U ) L ) )
158	133, 45	recidi 10335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
159	158	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) )
160	2, 38, 52, 39	clmvsass 22111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. CMod /\ ( 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. X ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
161	37, 44, 48, 155, 160	syl13anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
162	159, 161	syl5eqr 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
163	157, 162	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
164	153, 163	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( 2 ( .s ` U ) A ) .- ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
165		lmodabl 18128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. LMod -> U e. Abel )
166	35, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. Abel )
167	2, 49, 3	ablsub4 17448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Abel /\ ( A e. X /\ A e. X ) /\ ( K e. X /\ L e. X ) ) -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
168	166, 8, 8, 27, 29, 167	syl122anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
169	147, 164, 168	3eqtr2d 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
170	169	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) )
171	146, 170	eqtr3d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) )
172	171	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
173	139, 172	eqtr3d 2486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
174		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
175	4, 2, 3, 174	ngpdsr 21611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmGrp /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
176	17, 27, 29, 175	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
177	20	oveqi 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( K D L ) = ( K ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L )
178	27, 29	ovresd 6434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L ) = ( K ( dist ` U ) L ) )
179	177, 178	syl5eq 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K D L ) = ( K ( dist ` U ) L ) )
180	2, 3, 166, 8, 27, 29	ablnnncan1 17458	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) = ( L .- K ) )
181	180	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
182	176, 179, 181	3eqtr4d 2494	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K D L ) = ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) )
183	182	oveq1d 6303	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
184	173, 183	oveq12d 6306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) )
185	20	oveqi 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( A D K ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) K )
186	8, 27	ovresd 6434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) K ) = ( A ( dist ` U ) K ) )
187	185, 186	syl5eq 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A D K ) = ( A ( dist ` U ) K ) )
188	4, 2, 3, 174	ngpds 21610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A ( dist ` U ) K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
189	17, 8, 27, 188	syl3anc 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
190	187, 189	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
191	190	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) )
192	20	oveqi 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( A D L ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L )
193	8, 29	ovresd 6434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L ) = ( A ( dist ` U ) L ) )
194	192, 193	syl5eq 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A D L ) = ( A ( dist ` U ) L ) )
195	4, 2, 3, 174	ngpds 21610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
196	17, 8, 29, 195	syl3anc 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
197	194, 196	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
198	197	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) )
199	191, 198	oveq12d 6306	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) )
200	199	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
201	132, 184, 200	3eqtr4d 2494	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
202		2t2e4 10756	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
203	202	oveq1i 6298	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) )
204		2cnd 10679	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
205	204, 204, 114	mulassd 9663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
206	203, 205	syl5eqr 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
207	126, 201, 206	3brtr4d 4432	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
208	33, 63, 67, 104, 207	letrd 9789	. . 3 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
209		4cn 10684	. . . . 5 |- 4 e. CC
210	209	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 4 e. CC )
211	13	recnd 9666	. . . 4 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. CC )
212	64	recnd 9666	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
213	210, 211, 212	adddid 9664	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
214	208, 213	breqtrd 4426	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
215		remulcl 9621	. . . 4 |- ( ( 4 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 4 x. B ) e. RR )
216	1, 64, 215	sylancr 668	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. B ) e. RR )
217	32, 216, 15	leadd2d 10205	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) <-> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) ) )
218	214, 217	mpbird 236	1 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   X. cxp 4831   `'ccnv 4832   ran crn 4834   |` cres 4835   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   / cdiv 10266   2c2 10656   4c4 10658   ZZcz 10934   ^cexp 12269   abscabs 13290   Basecbs 15114   ↾_s cress 15115   +g cplusg 15183  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   distcds 15192   TopOpenctopn 15313   -gcsg 16664  ._gcmg 16665   Abelcabl 17424   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   Metcme 18949   MetSpcmt 21326   normcnm 21584  NrmGrpcngp 21585  CModcclm 22086   CPreHilccph 22137  CMetSpccms 22293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-topgen 15335  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-staf 18066  df-srng 18067  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lmhm 18238  df-lvec 18319  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-phl 19186  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-xms 21328  df-ms 21329  df-nm 21590  df-ngp 21591  df-nlm 21594  df-clm 22087  df-cph 22139

This theorem is referenced by:  minveclem3OLD  22376  minveclem7OLD  22382