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Theorem minveclem2OLD 22373
Description: Lemma for minvecOLD 22383. Any two points  K and 
L in  Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) Obsolete version of minveclem2 22361 as of 3-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minvecOLD.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvecOLD.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvecOLD.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvecOLD.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvecOLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvecOLD.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvecOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvecOLD.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvecOLD.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvecOLD.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvecOLD.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minveclem2OLD.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
minveclem2OLD.2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
minveclem2OLD.3  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
minveclem2OLD.4  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
minveclem2OLD.5  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
minveclem2OLD.6  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem2OLD  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, A    y, J    y, K    y, N    ph, y    y, R    y, U    y, X    y, Y    y, D    y, S    y, L
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem minveclem2OLD
Dummy variables  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10683 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
2 minvecOLD.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvecOLD.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvecOLD.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvecOLD.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvecOLD.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvecOLD.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvecOLD.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvecOLD.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvecOLD.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvecOLD.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4cOLD 22372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1312resqcld 12439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
14 remulcl 9621 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( S ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
151, 13, 14sylancr 668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
16 cphngp 22144 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
18 ngpms 21607 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
20 minvecOLD.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
212, 20msmet 21465 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2219, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
23 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
242, 23lssss 18153 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
256, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
26 minveclem2OLD.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
2725, 26sseldd 3432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
28 minveclem2OLD.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
2925, 28sseldd 3432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  X )
30 metcl 21340 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  e.  RR )
3122, 27, 29, 30syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K D L )  e.  RR )
3231resqcld 12439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  e.  RR )
3315, 32readdcld 9667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
34 cphlmod 22145 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
36 cphclm 22160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. CMod )
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e. CMod )
38 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
39 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
4038, 39clmzss 22102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U
) ) )
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
42 2z 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
4441, 43sseldd 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
45 2ne0 10699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
4738, 39cphreccl 22152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  2  =/=  0 )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
485, 44, 46, 47syl3anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
49 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
5049, 23lssvacl 18170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( K  e.  Y  /\  L  e.  Y
) )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y )
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  Y )
52 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
5338, 52, 39, 23lssvscl 18171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( ( 1  / 
2 )  e.  (
Base `  (Scalar `  U
) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5525, 54sseldd 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )
562, 3lmodvsubcl 18126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )  -> 
( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
5735, 8, 55, 56syl3anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
582, 4nmcl 21622 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  e.  RR )
5917, 57, 58syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6059resqcld 12439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
61 remulcl 9621 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
621, 60, 61sylancr 668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
6362, 32readdcld 9667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
64 minveclem2OLD.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6513, 64readdcld 9667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )
66 remulcl 9621 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
671, 65, 66sylancr 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
6968simp3d 1021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
7068simp1d 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
7168simp2d 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
72 0re 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
73 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
7473ralbidv 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7574rspcev 3149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7672, 69, 75sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
78 infmrgelbOLD 10592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8069, 79mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
8180, 11syl6breqr 4442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
82 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
83 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
8483fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( N `  ( A  .-  y
) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
8584eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) )  <-> 
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
8685rspcev 3149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
8754, 82, 86sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
88 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
89 fvex 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
9088, 89elrnmpti 5084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  <->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
9187, 90sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
9291, 10syl6eleqr 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )
93 infmrlbOLD 10594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9470, 76, 92, 93syl3anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9511, 94syl5eqbr 4435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
96 le2sq2 12347 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR  /\  S  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )  -> 
( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98 4pos 10702 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
991, 98pm3.2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
100 lemul2 10455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10199, 100mp3an3 1352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10213, 60, 101syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10397, 102mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
10415, 62, 32, 103leadd1dd 10224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105 metcl 21340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  e.  RR )
10622, 8, 27, 105syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  e.  RR )
107106resqcld 12439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  e.  RR )
108 metcl 21340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  e.  RR )
10922, 8, 29, 108syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  e.  RR )
110109resqcld 12439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  e.  RR )
111 minveclem2OLD.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
112 minveclem2OLD.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 10229 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
11465recnd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  CC )
1151142timesd 10852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
116113, 115breqtrrd 4428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
117107, 110readdcld 9667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
118 2re 10676 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
119 remulcl 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
120118, 65, 119sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
121 2pos 10698 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
122118, 121pm3.2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
123 lemul2 10455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
124122, 123mp3an3 1352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^
2 ) )  <_ 
( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
125117, 120, 124syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  <-> 
( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) ) )
126116, 125mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
1272, 3lmodvsubcl 18126 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A  .-  K )  e.  X )
12835, 8, 27, 127syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  K
)  e.  X )
1292, 3lmodvsubcl 18126 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A  .-  L )  e.  X )
13035, 8, 29, 129syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  L
)  e.  X )
1312, 49, 3, 4nmpar 22207 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  K )  e.  X  /\  ( A 
.-  L )  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
1325, 128, 130, 131syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A  .-  K ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133 2cn 10677 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
13459recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )
135 sqmul 12335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
136133, 134, 135sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
137 sq2 12368 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
138137oveq1i 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )
139136, 138syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 22161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1415, 44, 57, 140syl3anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
142 0le2 10697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
143 absid 13352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
144118, 142, 143mp2an 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  2 )  =  2
145144oveq1i 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
146141, 145syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 18138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U ) A ) 
.-  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
148 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  U
)  =  (.g `  U
)
1492, 148, 49mulg2 16760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( A ( +g  `  U
) A ) )
1508, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( A ( +g  `  U ) A ) )
1512, 148, 52clmmulg 22117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  2  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U
) A ) )
15237, 43, 8, 151syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( 2 ( .s
`  U ) A ) )
153150, 152eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ( +g  `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U ) A ) )
1542, 49lmodvacl 18098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )
15535, 27, 29, 154syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  X )
1562, 52clmvs1 22113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )  ->  (
1 ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
15737, 155, 156syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
158133, 45recidi 10335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
159158oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )
1602, 38, 52, 39clmvsass 22111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e. CMod  /\  (
2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
)  /\  ( 1  /  2 )  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X ) )  -> 
( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
162159, 161syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
163157, 162eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
164153, 163oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U
) A )  .-  ( 2 ( .s
`  U ) ( ( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
165 lmodabl 18128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Abel )
16635, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  Abel )
1672, 49, 3ablsub4 17448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Abel  /\  ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  ( K  e.  X  /\  L  e.  X
) )  ->  (
( A ( +g  `  U ) A ) 
.-  ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) )
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) )
169147, 164, 1683eqtr2d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) )
170169fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) )
171146, 170eqtr3d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )  =  ( N `  (
( A  .-  K
) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) )
172171oveq1d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
173139, 172eqtr3d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
174 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
1754, 2, 3, 174ngpdsr 21611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17617, 27, 29, 175syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17720oveqi 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( K D L )  =  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
17827, 29ovresd 6434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( K (
dist `  U ) L ) )
179177, 178syl5eq 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( K ( dist `  U
) L ) )
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 17458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) )  =  ( L  .-  K ) )
181180fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
182176, 179, 1813eqtr4d 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) )
183182oveq1d 6303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) 
.-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )
184173, 183oveq12d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) ) )
18520oveqi 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D K )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )
1868, 27ovresd 6434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )  =  ( A (
dist `  U ) K ) )
187185, 186syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( A ( dist `  U
) K ) )
1884, 2, 3, 174ngpds 21610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
18917, 8, 27, 188syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
190187, 189eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( N `
 ( A  .-  K ) ) )
191190oveq1d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 ) )
19220oveqi 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D L )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
1938, 29ovresd 6434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( A (
dist `  U ) L ) )
194192, 193syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( A ( dist `  U
) L ) )
1954, 2, 3, 174ngpds 21610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
19617, 8, 29, 195syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
197194, 196eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( N `
 ( A  .-  L ) ) )
198197oveq1d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  L ) ) ^ 2 ) )
199191, 198oveq12d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) )
200199oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
201132, 184, 2003eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
202 2t2e4 10756 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
203202oveq1i 6298 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )
204 2cnd 10679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
205204, 204, 114mulassd 9663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
206203, 205syl5eqr 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
207126, 201, 2063brtr4d 4432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) )
20833, 63, 67, 104, 207letrd 9789 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
209 4cn 10684 . . . . 5  |-  4  e.  CC
210209a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
21113recnd 9666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
21264recnd 9666 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
213210, 211, 212adddid 9664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
214208, 213breqtrd 4426 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
215 remulcl 9621 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
2161, 64, 215sylancr 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
21732, 216, 15leadd2d 10205 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K D L ) ^
2 )  <_  (
4  x.  B )  <-> 
( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) ) )
218214, 217mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831   `'ccnv 4832   ran crn 4834    |` cres 4835   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    / cdiv 10266   2c2 10656   4c4 10658   ZZcz 10934   ^cexp 12269   abscabs 13290   Basecbs 15114   ↾s cress 15115   +g cplusg 15183  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   distcds 15192   TopOpenctopn 15313   -gcsg 16664  .gcmg 16665   Abelcabl 17424   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   Metcme 18949   MetSpcmt 21326   normcnm 21584  NrmGrpcngp 21585  CModcclm 22086   CPreHilccph 22137  CMetSpccms 22293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-topgen 15335  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-staf 18066  df-srng 18067  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lmhm 18238  df-lvec 18319  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-phl 19186  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-xms 21328  df-ms 21329  df-nm 21590  df-ngp 21591  df-nlm 21594  df-clm 22087  df-cph 22139
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