Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem minveclem2 22446
 Description: Lemma for minvec 22456. Any two points and in are close to each other if they are close to the infimum of distance to . (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x
minvec.m
minvec.n
minvec.u
minvec.y
minvec.w s CMetSp
minvec.a
minvec.j
minvec.r
minvec.s inf
minvec.d
minveclem2.1
minveclem2.2
minveclem2.3
minveclem2.4
minveclem2.5
minveclem2.6
Assertion
Ref Expression
minveclem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10708 . . . . . 6
2 minvec.x . . . . . . . 8
3 minvec.m . . . . . . . 8
4 minvec.n . . . . . . . 8
5 minvec.u . . . . . . . 8
6 minvec.y . . . . . . . 8
7 minvec.w . . . . . . . 8 s CMetSp
8 minvec.a . . . . . . . 8
9 minvec.j . . . . . . . 8
10 minvec.r . . . . . . . 8
11 minvec.s . . . . . . . 8 inf
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 22445 . . . . . . 7
1312resqcld 12480 . . . . . 6
14 remulcl 9642 . . . . . 6
151, 13, 14sylancr 676 . . . . 5
16 cphngp 22229 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9 NrmGrp
18 ngpms 21692 . . . . . . . . 9 NrmGrp
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8
20 minvec.d . . . . . . . . 9
212, 20msmet 21550 . . . . . . . 8
2219, 21syl 17 . . . . . . 7
23 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
242, 23lssss 18238 . . . . . . . . 9
256, 24syl 17 . . . . . . . 8
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8
2725, 26sseldd 3419 . . . . . . 7
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8
2925, 28sseldd 3419 . . . . . . 7
30 metcl 21425 . . . . . . 7
3122, 27, 29, 30syl3anc 1292 . . . . . 6
3231resqcld 12480 . . . . 5
3315, 32readdcld 9688 . . . 4
34 cphlmod 22230 . . . . . . . . . 10
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9
36 cphclm 22245 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMod
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 CMod
38 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
39 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
4038, 39clmzss 22187 . . . . . . . . . . . . . 14 CMod Scalar
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
42 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . 14
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 43sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
45 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . 13
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4738, 39cphreccl 22237 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
485, 44, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 Scalar
49 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
5049, 23lssvacl 18255 . . . . . . . . . . . 12
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
5338, 52, 39, 23lssvscl 18256 . . . . . . . . . . 11 Scalar
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10
5525, 54sseldd 3419 . . . . . . . . 9
562, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . . . . 9
5735, 8, 55, 56syl3anc 1292 . . . . . . . 8
582, 4nmcl 21707 . . . . . . . 8 NrmGrp
5917, 57, 58syl2anc 673 . . . . . . 7
6059resqcld 12480 . . . . . 6
61 remulcl 9642 . . . . . 6
621, 60, 61sylancr 676 . . . . 5
6362, 32readdcld 9688 . . . 4
64 minveclem2.1 . . . . . 6
6513, 64readdcld 9688 . . . . 5
66 remulcl 9642 . . . . 5
671, 65, 66sylancr 676 . . . 4
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22444 . . . . . . . . . 10
6968simp3d 1044 . . . . . . . . 9
7068simp1d 1042 . . . . . . . . . 10
7168simp2d 1043 . . . . . . . . . 10
72 0re 9661 . . . . . . . . . . 11
73 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13
7473ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . 12
7574rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11
7672, 69, 75sylancr 676 . . . . . . . . . 10
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10
78 infregelb 10616 . . . . . . . . . 10 inf
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1295 . . . . . . . . 9 inf
8069, 79mpbird 240 . . . . . . . 8 inf
8180, 11syl6breqr 4436 . . . . . . 7
82 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
83 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
8584eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13
8685rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12
8754, 82, 86sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
89 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . 11
9187, 90sylibr 217 . . . . . . . . . 10
9291, 10syl6eleqr 2560 . . . . . . . . 9
93 infrelb 10618 . . . . . . . . 9 inf
9470, 76, 92, 93syl3anc 1292 . . . . . . . 8 inf
9511, 94syl5eqbr 4429 . . . . . . 7
96 le2sq2 12388 . . . . . . 7
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1293 . . . . . 6
98 4pos 10727 . . . . . . . . 9
991, 98pm3.2i 462 . . . . . . . 8
100 lemul2 10480 . . . . . . . 8
10199, 100mp3an3 1379 . . . . . . 7
10213, 60, 101syl2anc 673 . . . . . 6
10397, 102mpbid 215 . . . . 5
10415, 62, 32, 103leadd1dd 10248 . . . 4
105 metcl 21425 . . . . . . . . . 10
10622, 8, 27, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
107106resqcld 12480 . . . . . . . 8
108 metcl 21425 . . . . . . . . . 10
10922, 8, 29, 108syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
110109resqcld 12480 . . . . . . . 8
111 minveclem2.5 . . . . . . . 8
112 minveclem2.6 . . . . . . . 8
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 10253 . . . . . . 7
11465recnd 9687 . . . . . . . 8
1151142timesd 10878 . . . . . . 7
116113, 115breqtrrd 4422 . . . . . 6
117107, 110readdcld 9688 . . . . . . 7
118 2re 10701 . . . . . . . 8
119 remulcl 9642 . . . . . . . 8
120118, 65, 119sylancr 676 . . . . . . 7
121 2pos 10723 . . . . . . . . 9
122118, 121pm3.2i 462 . . . . . . . 8
123 lemul2 10480 . . . . . . . 8
124122, 123mp3an3 1379 . . . . . . 7
125117, 120, 124syl2anc 673 . . . . . 6
126116, 125mpbid 215 . . . . 5
1272, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . . . 8
12835, 8, 27, 127syl3anc 1292 . . . . . . 7
1292, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . . . 8
13035, 8, 29, 129syl3anc 1292 . . . . . . 7
1312, 49, 3, 4nmpar 22292 . . . . . . 7
1325, 128, 130, 131syl3anc 1292 . . . . . 6
133 2cn 10702 . . . . . . . . . 10
13459recnd 9687 . . . . . . . . . 10
135 sqmul 12376 . . . . . . . . . 10
136133, 134, 135sylancr 676 . . . . . . . . 9
137 sq2 12409 . . . . . . . . . 10
138137oveq1i 6318 . . . . . . . . 9
139136, 138syl6eq 2521 . . . . . . . 8
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 22246 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
1415, 44, 57, 140syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
142 0le2 10722 . . . . . . . . . . . . 13
143 absid 13436 . . . . . . . . . . . . 13
144118, 142, 143mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12
145144oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11
146141, 145syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 18223 . . . . . . . . . . . 12
148 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 .g .g
1492, 148, 49mulg2 16845 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
1508, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
1512, 148, 52clmmulg 22202 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMod .g
15237, 43, 8, 151syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
153150, 152eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . 13
1542, 49lmodvacl 18183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15535, 27, 29, 154syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
1562, 52clmvs1 22198 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMod
15737, 155, 156syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
158133, 45recidi 10360 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159158oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15
1602, 38, 52, 39clmvsass 22196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMod Scalar Scalar
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15
162159, 161syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . 14
163157, 162eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . 13
164153, 163oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
165 lmodabl 18213 . . . . . . . . . . . . . 14
16635, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
1672, 49, 3ablsub4 17533 . . . . . . . . . . . . 13
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1301 . . . . . . . . . . . 12
169147, 164, 1683eqtr2d 2511 . . . . . . . . . . 11
170169fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
171146, 170eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9
172171oveq1d 6323 . . . . . . . 8
173139, 172eqtr3d 2507 . . . . . . 7
174 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
1754, 2, 3, 174ngpdsr 21696 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
17617, 27, 29, 175syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
17720oveqi 6321 . . . . . . . . . 10
17827, 29ovresd 6456 . . . . . . . . . 10
179177, 178syl5eq 2517 . . . . . . . . 9
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 17543 . . . . . . . . . 10
181180fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
182176, 179, 1813eqtr4d 2515 . . . . . . . 8
183182oveq1d 6323 . . . . . . 7
184173, 183oveq12d 6326 . . . . . 6
18520oveqi 6321 . . . . . . . . . . 11
1868, 27ovresd 6456 . . . . . . . . . . 11
187185, 186syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
1884, 2, 3, 174ngpds 21695 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
18917, 8, 27, 188syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
190187, 189eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
191190oveq1d 6323 . . . . . . . 8
19220oveqi 6321 . . . . . . . . . . 11
1938, 29ovresd 6456 . . . . . . . . . . 11
194192, 193syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
1954, 2, 3, 174ngpds 21695 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
19617, 8, 29, 195syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
197194, 196eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
198197oveq1d 6323 . . . . . . . 8
199191, 198oveq12d 6326 . . . . . . 7
200199oveq2d 6324 . . . . . 6
201132, 184, 2003eqtr4d 2515 . . . . 5
202 2t2e4 10782 . . . . . . 7
203202oveq1i 6318 . . . . . 6
204 2cnd 10704 . . . . . . 7
205204, 204, 114mulassd 9684 . . . . . 6
206203, 205syl5eqr 2519 . . . . 5
207126, 201, 2063brtr4d 4426 . . . 4
20833, 63, 67, 104, 207letrd 9809 . . 3
209 4cn 10709 . . . . 5
210209a1i 11 . . . 4
21113recnd 9687 . . . 4
21264recnd 9687 . . . 4
213210, 211, 212adddid 9685 . . 3
214208, 213breqtrd 4420 . 2
215 remulcl 9642 . . . 4
2161, 64, 215sylancr 676 . . 3
21732, 216, 15leadd2d 10229 . 2
218214, 217mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840   cres 4841  cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  c2 10681  c4 10683  cz 10961  cexp 12310  cabs 13374  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  Scalarcsca 15271  cvsca 15272  cds 15277  ctopn 15398  csg 16749  .gcmg 16750  cabl 17509  clmod 18169  clss 18233  cme 19033  cmt 21411  cnm 21669  NrmGrpcngp 21670  CModcclm 22171  ccph 22222  CMetSpccms 22378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224 This theorem is referenced by:  minveclem3  22449  minveclem7  22455
 Copyright terms: Public domain W3C validator