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Theorem minveclem2 22135
Description: Lemma for minvec 22145. Any two points  K and 
L in  Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minveclem2.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
minveclem2.2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
minveclem2.3  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
minveclem2.4  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
minveclem2.5  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
minveclem2.6  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem2  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, A    y, J    y, K    y, N    ph, y    y, R    y, U    y, X    y, Y    y, D    y, S    y, L
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10655 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
2 minvec.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvec.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvec.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvec.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvec.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvec.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 22134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1312resqcld 12382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
14 remulcl 9609 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( S ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
151, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
16 cphngp 21914 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
18 ngpms 21414 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
20 minvec.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
212, 20msmet 21254 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2219, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
23 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
242, 23lssss 17905 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
256, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
2725, 26sseldd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
2925, 28sseldd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  X )
30 metcl 21129 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  e.  RR )
3122, 27, 29, 30syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K D L )  e.  RR )
3231resqcld 12382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  e.  RR )
3315, 32readdcld 9655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
34 cphlmod 21915 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
36 cphclm 21930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. CMod )
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e. CMod )
38 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
39 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
4038, 39clmzss 21872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U
) ) )
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
42 2z 10939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
4441, 43sseldd 3445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
45 2ne0 10671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
4738, 39cphreccl 21922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  2  =/=  0 )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
485, 44, 46, 47syl3anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
5049, 23lssvacl 17922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( K  e.  Y  /\  L  e.  Y
) )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y )
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  Y )
52 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
5338, 52, 39, 23lssvscl 17923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( ( 1  / 
2 )  e.  (
Base `  (Scalar `  U
) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5525, 54sseldd 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )
562, 3lmodvsubcl 17877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )  -> 
( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
5735, 8, 55, 56syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
582, 4nmcl 21429 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  e.  RR )
5917, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6059resqcld 12382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
61 remulcl 9609 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
621, 60, 61sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
6362, 32readdcld 9655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
64 minveclem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6513, 64readdcld 9655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )
66 remulcl 9609 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
671, 65, 66sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
6968simp3d 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
7068simp1d 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
7168simp2d 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
72 0re 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
73 breq1 4400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
7473ralbidv 2845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7574rspcev 3162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7672, 69, 75sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
78 infmrgelb 10565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8069, 79mpbird 234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
8180, 11syl6breqr 4437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
82 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
83 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
8483fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( N `  ( A  .-  y
) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
8584eqeq2d 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) )  <-> 
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
8685rspcev 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
8754, 82, 86sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
88 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
89 fvex 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
9088, 89elrnmpti 5076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  <->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
9187, 90sylibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
9291, 10syl6eleqr 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )
93 infmrlb 10566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9470, 76, 92, 93syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9511, 94syl5eqbr 4430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
96 le2sq2 12290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR  /\  S  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )  -> 
( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98 4pos 10674 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
991, 98pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
100 lemul2 10438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10199, 100mp3an3 1317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10213, 60, 101syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10397, 102mpbid 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
10415, 62, 32, 103leadd1dd 10208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105 metcl 21129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  e.  RR )
10622, 8, 27, 105syl3anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  e.  RR )
107106resqcld 12382 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  e.  RR )
108 metcl 21129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  e.  RR )
10922, 8, 29, 108syl3anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  e.  RR )
110109resqcld 12382 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  e.  RR )
111 minveclem2.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
112 minveclem2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 10212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
11465recnd 9654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  CC )
1151142timesd 10824 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
116113, 115breqtrrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
117107, 110readdcld 9655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
118 2re 10648 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
119 remulcl 9609 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
120118, 65, 119sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
121 2pos 10670 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
122118, 121pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
123 lemul2 10438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
124122, 123mp3an3 1317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^
2 ) )  <_ 
( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
125117, 120, 124syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  <-> 
( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) ) )
126116, 125mpbid 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
1272, 3lmodvsubcl 17877 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A  .-  K )  e.  X )
12835, 8, 27, 127syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  K
)  e.  X )
1292, 3lmodvsubcl 17877 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A  .-  L )  e.  X )
13035, 8, 29, 129syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  L
)  e.  X )
1312, 49, 3, 4nmpar 21977 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  K )  e.  X  /\  ( A 
.-  L )  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
1325, 128, 130, 131syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A  .-  K ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133 2cn 10649 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
13459recnd 9654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )
135 sqmul 12278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
136133, 134, 135sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
137 sq2 12311 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
138137oveq1i 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )
139136, 138syl6eq 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 21931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1415, 44, 57, 140syl3anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
142 0le2 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
143 absid 13280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
144118, 142, 143mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  2 )  =  2
145144oveq1i 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
146141, 145syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 17889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U ) A ) 
.-  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
148 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  U
)  =  (.g `  U
)
1492, 148, 49mulg2 16477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( A ( +g  `  U
) A ) )
1508, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( A ( +g  `  U ) A ) )
1512, 148, 52clmmulg 21887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  2  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U
) A ) )
15237, 43, 8, 151syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( 2 ( .s
`  U ) A ) )
153150, 152eqtr3d 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ( +g  `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U ) A ) )
1542, 49lmodvacl 17848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )
15535, 27, 29, 154syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  X )
1562, 52clmvs1 21883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )  ->  (
1 ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
15737, 155, 156syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
158133, 45recidi 10318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
159158oveq1i 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )
1602, 38, 52, 39clmvsass 21881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e. CMod  /\  (
2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
)  /\  ( 1  /  2 )  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X ) )  -> 
( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
162159, 161syl5eqr 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
163157, 162eqtr3d 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
164153, 163oveq12d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U
) A )  .-  ( 2 ( .s
`  U ) ( ( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
165 lmodabl 17879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Abel )
16635, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  Abel )
1672, 49, 3ablsub4 17149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Abel  /\  ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  ( K  e.  X  /\  L  e.  X
) )  ->  (
( A ( +g  `  U ) A ) 
.-  ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) )
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) )
169147, 164, 1683eqtr2d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) )
170169fveq2d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) )
171146, 170eqtr3d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )  =  ( N `  (
( A  .-  K
) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) )
172171oveq1d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
173139, 172eqtr3d 2447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
174 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
1754, 2, 3, 174ngpdsr 21418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17617, 27, 29, 175syl3anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17720oveqi 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( K D L )  =  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
17827, 29ovresd 6426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( K (
dist `  U ) L ) )
179177, 178syl5eq 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( K ( dist `  U
) L ) )
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 17159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) )  =  ( L  .-  K ) )
181180fveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
182176, 179, 1813eqtr4d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) )
183182oveq1d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) 
.-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )
184173, 183oveq12d 6298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) ) )
18520oveqi 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D K )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )
1868, 27ovresd 6426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )  =  ( A (
dist `  U ) K ) )
187185, 186syl5eq 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( A ( dist `  U
) K ) )
1884, 2, 3, 174ngpds 21417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
18917, 8, 27, 188syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
190187, 189eqtrd 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( N `
 ( A  .-  K ) ) )
191190oveq1d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 ) )
19220oveqi 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D L )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
1938, 29ovresd 6426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( A (
dist `  U ) L ) )
194192, 193syl5eq 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( A ( dist `  U
) L ) )
1954, 2, 3, 174ngpds 21417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
19617, 8, 29, 195syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
197194, 196eqtrd 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( N `
 ( A  .-  L ) ) )
198197oveq1d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  L ) ) ^ 2 ) )
199191, 198oveq12d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) )
200199oveq2d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
201132, 184, 2003eqtr4d 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
202 2t2e4 10728 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
203202oveq1i 6290 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )
204 2cnd 10651 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
205204, 204, 114mulassd 9651 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
206203, 205syl5eqr 2459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
207126, 201, 2063brtr4d 4427 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) )
20833, 63, 67, 104, 207letrd 9775 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
209 4cn 10656 . . . . 5  |-  4  e.  CC
210209a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
21113recnd 9654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
21264recnd 9654 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
213210, 211, 212adddid 9652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
214208, 213breqtrd 4421 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
215 remulcl 9609 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
2161, 64, 215sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
21732, 216, 15leadd2d 10189 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K D L ) ^
2 )  <_  (
4  x.  B )  <-> 
( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) ) )
218214, 217mpbird 234 1  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3416   (/)c0 3740   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   `'ccnv 4824   ran crn 4826    |` cres 4827   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   supcsup 7936   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529    < clt 9660    <_ cle 9661    / cdiv 10249   2c2 10628   4c4 10630   ZZcz 10907   ^cexp 12212   abscabs 13218   Basecbs 14843   ↾s cress 14844   +g cplusg 14911  Scalarcsca 14914   .scvsca 14915   distcds 14920   TopOpenctopn 15038   -gcsg 16381  .gcmg 16382   Abelcabl 17125   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900   Metcme 18726   MetSpcmt 21115   normcnm 21391  NrmGrpcngp 21392  CModcclm 21856   CPreHilccph 21907  CMetSpccms 22065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-fz 11729  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-0g 15058  df-topgen 15060  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-rnghom 17686  df-drng 17720  df-subrg 17749  df-staf 17816  df-srng 17817  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lmhm 17990  df-lvec 18071  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-phl 18961  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-xms 21117  df-ms 21118  df-nm 21397  df-ngp 21398  df-nlm 21401  df-clm 21857  df-cph 21909
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