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Theorem minveclem2 19280
Description: Lemma for minvec 19290. Any two points  K and 
L in  Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to  A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minveclem2.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
minveclem2.2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
minveclem2.3  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
minveclem2.4  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
minveclem2.5  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
minveclem2.6  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem2  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, A    y, J    y, K    y, N    ph, y    y, R    y, U    y, X    y, Y    y, D    y, S    y, L
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10029 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
2 minvec.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  U
)
3 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
4 minvec.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  U
)
5 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 minvec.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
7 minvec.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
8 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 minvec.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
11 minvec.s . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 19279 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1312resqcld 11504 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
14 remulcl 9031 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( S ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
151, 13, 14sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  e.  RR )
16 cphngp 19089 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
175, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
18 ngpms 18600 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  MetSp )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  MetSp )
20 minvec.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
212, 20msmet 18440 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  MetSp  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
23 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
242, 23lssss 15968 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
256, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Y )
2725, 26sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
2925, 28sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  X )
30 metcl 18315 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K D L )  e.  RR )
3122, 27, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K D L )  e.  RR )
3231resqcld 11504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  e.  RR )
3315, 32readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
34 cphlmod 19090 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
355, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
36 cphclm 19105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. CMod )
375, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e. CMod )
38 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
39 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
4038, 39clmzss 19056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U
) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  C_  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
42 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
4441, 43sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
45 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
4738, 39cphreccl 19097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  2  =/=  0 )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
485, 44, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
5049, 23lssvacl 15985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( K  e.  Y  /\  L  e.  Y
) )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y )
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  Y )
52 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
5338, 52, 39, 23lssvscl 15986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )  /\  ( ( 1  / 
2 )  e.  (
Base `  (Scalar `  U
) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  Y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y )
5525, 54sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )
562, 3lmodvsubcl 15944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  X )  -> 
( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
5735, 8, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) )  e.  X )
582, 4nmcl 18615 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  e.  RR )
5917, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR )
6059resqcld 11504 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
61 remulcl 9031 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
621, 60, 61sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
6362, 32readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
64 minveclem2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6513, 64readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )
66 remulcl 9031 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
671, 65, 66sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 19278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
6968simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
7068simp1d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
7168simp2d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
72 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
73 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
7473ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7574rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7672, 69, 75sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
78 infmrgelb 9944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
8069, 79mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
8180, 11syl6breqr 4212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
82 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
83 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )
8483fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( N `  ( A  .-  y
) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
8584eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) )  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) )  <-> 
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
8685rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  e.  Y  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
8754, 82, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
88 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
89 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
9088, 89elrnmpti 5080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  <->  E. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )  =  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
9187, 90sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e. 
ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )
9291, 10syl6eleqr 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )
93 infmrlb 9945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w  /\  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  R )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9470, 76, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )
9511, 94syl5eqbr 4205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( N `  ( A  .-  (
( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
96 le2sq2 11412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  RR  /\  S  <_  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )  -> 
( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98 4pos 10042 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
991, 98pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
100 lemul2 9819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( S ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10199, 100mp3an3 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10213, 60, 101syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  <_  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 )  <->  ( 4  x.  ( S ^
2 ) )  <_ 
( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10397, 102mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
10415, 62, 32, 103leadd1dd 9596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105 metcl 18315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A D K )  e.  RR )
10622, 8, 27, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  e.  RR )
107106resqcld 11504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  e.  RR )
108 metcl 18315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A D L )  e.  RR )
10922, 8, 29, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  e.  RR )
110109resqcld 11504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  e.  RR )
111 minveclem2.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
112 minveclem2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 9600 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
11465recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  CC )
1151142timesd 10166 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( ( S ^ 2 )  +  B )  +  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
116113, 115breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
117107, 110readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR )
118 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
119 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( S ^
2 )  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  e.  RR )
120118, 65, 119sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )
121 2pos 10038 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
122118, 121pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
123 lemul2 9819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
124122, 123mp3an3 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^
2 ) )  <_ 
( 2  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  <->  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) ) ) )
125117, 120, 124syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  <_  (
2  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  <-> 
( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) ) )
126116, 125mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
1272, 3lmodvsubcl 15944 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A  .-  K )  e.  X )
12835, 8, 27, 127syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  K
)  e.  X )
1292, 3lmodvsubcl 15944 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A  .-  L )  e.  X )
13035, 8, 29, 129syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  L
)  e.  X )
1312, 49, 3, 4nmpar 19150 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  K )  e.  X  /\  ( A 
.-  L )  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
1325, 128, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A  .-  K ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
13459recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )
135 sqmul 11400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
136133, 134, 135sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
137 sq2 11432 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
138137oveq1i 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `  ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )
139136, 138syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) ) )
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 19106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  CPreHil  /\  2  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) )  e.  X )  -> 
( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1415, 44, 57, 140syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
14272, 118, 121ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
143 absid 12056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
144118, 142, 143mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  2 )  =  2
145144oveq1i 6050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `
 ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
146141, 145syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) )
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 15956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U ) A ) 
.-  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
148 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  U
)  =  (.g `  U
)
1492, 148, 49mulg2 14854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( A ( +g  `  U
) A ) )
1508, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( A ( +g  `  U ) A ) )
1512, 148, 52clmmulg 19071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  2  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
2 (.g `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U
) A ) )
15237, 43, 8, 151syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2 (.g `  U
) A )  =  ( 2 ( .s
`  U ) A ) )
153150, 152eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ( +g  `  U ) A )  =  ( 2 ( .s `  U ) A ) )
1542, 49lmodvacl 15919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )
15535, 27, 29, 154syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  e.  X )
1562, 52clmvs1 19067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e. CMod  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X )  ->  (
1 ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
15737, 155, 156syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( K ( +g  `  U ) L ) )
158133, 45recidi 9701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
159158oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )
1602, 38, 52, 39clmvsass 19065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e. CMod  /\  (
2  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
)  /\  ( 1  /  2 )  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) )  /\  ( K ( +g  `  U
) L )  e.  X ) )  -> 
( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
162159, 161syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
163157, 162eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K ( +g  `  U ) L )  =  ( 2 ( .s `  U ) ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) )
164153, 163oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( 2 ( .s `  U
) A )  .-  ( 2 ( .s
`  U ) ( ( 1  /  2
) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )
165 lmodabl 15946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Abel )
16635, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  Abel )
1672, 49, 3ablsub4 15392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Abel  /\  ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  ( K  e.  X  /\  L  e.  X
) )  ->  (
( A ( +g  `  U ) A ) 
.-  ( K ( +g  `  U ) L ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) )
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  U ) A )  .-  ( K ( +g  `  U
) L ) )  =  ( ( A 
.-  K ) ( +g  `  U ) ( A  .-  L
) ) )
169147, 164, 1683eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ( .s
`  U ) ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) )  =  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) )
170169fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  (
2 ( .s `  U ) ( A 
.-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) )  =  ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) )
171146, 170eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  / 
2 ) ( .s
`  U ) ( K ( +g  `  U
) L ) ) ) ) )  =  ( N `  (
( A  .-  K
) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) )
172171oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
173139, 172eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U ) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U ) ( A 
.-  L ) ) ) ^ 2 ) )
174 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
1754, 2, 3, 174ngpdsr 18604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  K  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( K ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17617, 27, 29, 175syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
17720oveqi 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( K D L )  =  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
17827, 29ovresd 6173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( K (
dist `  U ) L ) )
179177, 178syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( K ( dist `  U
) L ) )
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 15402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) )  =  ( L  .-  K ) )
181180fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .-  K
)  .-  ( A  .-  L ) ) )  =  ( N `  ( L  .-  K ) ) )
182176, 179, 1813eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K D L )  =  ( N `
 ( ( A 
.-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) )
183182oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A  .-  K ) 
.-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) )
184173, 183oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A  .-  K ) ( +g  `  U
) ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( ( A  .-  K )  .-  ( A  .-  L ) ) ) ^ 2 ) ) )
18520oveqi 6053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D K )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )
1868, 27ovresd 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) K )  =  ( A (
dist `  U ) K ) )
187185, 186syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( A ( dist `  U
) K ) )
1884, 2, 3, 174ngpds 18603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  K  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
18917, 8, 27, 188syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) K )  =  ( N `  ( A  .-  K ) ) )
190187, 189eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D K )  =  ( N `
 ( A  .-  K ) ) )
191190oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D K ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 ) )
19220oveqi 6053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A D L )  =  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )
1938, 29ovresd 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) ) L )  =  ( A (
dist `  U ) L ) )
194192, 193syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( A ( dist `  U
) L ) )
1954, 2, 3, 174ngpds 18603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  L  e.  X )  ->  ( A ( dist `  U
) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
19617, 8, 29, 195syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( dist `  U ) L )  =  ( N `  ( A  .-  L ) ) )
197194, 196eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D L )  =  ( N `
 ( A  .-  L ) ) )
198197oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A D L ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A 
.-  L ) ) ^ 2 ) )
199191, 198oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) )
200199oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A D K ) ^ 2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A 
.-  K ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( A  .-  L ) ) ^ 2 ) ) ) )
201132, 184, 2003eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A D K ) ^
2 )  +  ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
202 2t2e4 10083 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
203202oveq1i 6050 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )
204133a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
205204, 204, 114mulassd 9067 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
206203, 205syl5eqr 2450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) ) )
207126, 201, 2063brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( N `  ( A  .-  ( ( 1  /  2 ) ( .s `  U
) ( K ( +g  `  U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^
2 )  +  B
) ) )
20833, 63, 67, 104, 207letrd 9183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( ( S ^ 2 )  +  B ) ) )
209 4cn 10030 . . . . 5  |-  4  e.  CC
210209a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
21113recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
21264recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
213210, 211, 212adddid 9068 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( S ^ 2 )  +  B ) )  =  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
214208, 213breqtrd 4196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) )
215 remulcl 9031 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
2161, 64, 215sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  B
)  e.  RR )
21732, 216, 15leadd2d 9577 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( K D L ) ^
2 )  <_  (
4  x.  B )  <-> 
( ( 4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( ( K D L ) ^ 2 ) )  <_  ( (
4  x.  ( S ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  B ) ) ) )
218214, 217mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( ( K D L ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   4c4 10007   ZZcz 10238   ^cexp 11337   abscabs 11994   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   distcds 13493   TopOpenctopn 13604   -gcsg 14643  .gcmg 14644   Abelcabel 15368   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   Metcme 16642   MetSpcmt 18301   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578  CModcclm 19040   CPreHilccph 19082  CMetSpccms 19238
This theorem is referenced by:  minveclem3  19283  minveclem7  19289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-xms 18303  df-ms 18304  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nlm 18587  df-clm 19041  df-cph 19084
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