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Theorem minveclem1 18620
Description: Lemma for minvec 18632. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w,  .-    w, A, y    w, J, y    w, N, y    ph, w, y    w, R, y    w, U, y   
w, X, y    w, Y, y

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
3 cphngp 18441 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
6 cphlmod 18442 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
72, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
87adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
9 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
109adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
11 minvec.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
12 minvec.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  U
)
13 eqid 2253 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1412, 13lssss 15529 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1615sselda 3103 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
17 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
1812, 17lmodvsubcl 15505 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
198, 10, 16, 18syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
20 minvec.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( norm `  U
)
2112, 20nmcl 17969 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
225, 19, 21syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
23 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2422, 23fmptd 5536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) : Y --> RR )
25 frn 5252 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
2624, 25syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
271, 26syl5eqss 3143 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2813lssn0 15533 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  =/=  (/) )
2911, 28syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
301eqeq1i 2260 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
31 dm0rn0 4802 . . . . 5  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
32 fvex 5391 . . . . . . 7  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
3332, 23dmmpti 5230 . . . . . 6  |-  dom  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )  =  Y
3433eqeq1i 2260 . . . . 5  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3530, 31, 343bitr2i 266 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3635necon3bii 2444 . . 3  |-  ( R  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) )
3729, 36sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
3812, 20nmge0 17970 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
395, 19, 38syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
4039ralrimiva 2588 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) )
4132rgenw 2572 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
42 breq2 3924 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) )
4323, 42ralrnmpt 5521 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
4441, 43ax-mp 10 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
4540, 44sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
461raleqi 2692 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
4745, 46sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
4827, 37, 473jca 1137 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   (/)c0 3362   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   dom cdm 4580   ran crn 4581   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616   0cc0 8617    <_ cle 8748   Basecbs 13022   ↾s cress 13023   TopOpenctopn 13200   -gcsg 14200   LModclmod 15462   LSubSpclss 15524   normcnm 17931  NrmGrpcngp 17932   CPreHilccph 18434  CMetSpccms 18586
This theorem is referenced by:  minveclem4c  18621  minveclem2  18622  minveclem3b  18624  minveclem4  18628  minveclem6  18630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-topgen 13218  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-xms 17717  df-ms 17718  df-nm 17937  df-ngp 17938  df-nlm 17941  df-cph 18436
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