Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem minveclem1 22444
 Description: Lemma for minvec 22456. The set of all distances from points of to are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x
minvec.m
minvec.n
minvec.u
minvec.y
minvec.w s CMetSp
minvec.a
minvec.j
minvec.r
Assertion
Ref Expression
minveclem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3
2 minvec.u . . . . . . . 8
3 cphngp 22229 . . . . . . . 8 NrmGrp
42, 3syl 17 . . . . . . 7 NrmGrp
54adantr 472 . . . . . 6 NrmGrp
6 cphlmod 22230 . . . . . . . . 9
72, 6syl 17 . . . . . . . 8
87adantr 472 . . . . . . 7
9 minvec.a . . . . . . . 8
109adantr 472 . . . . . . 7
11 minvec.y . . . . . . . . 9
12 minvec.x . . . . . . . . . 10
13 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
1412, 13lssss 18238 . . . . . . . . 9
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8
1615sselda 3418 . . . . . . 7
17 minvec.m . . . . . . . 8
1812, 17lmodvsubcl 18211 . . . . . . 7
198, 10, 16, 18syl3anc 1292 . . . . . 6
20 minvec.n . . . . . . 7
2112, 20nmcl 21707 . . . . . 6 NrmGrp
225, 19, 21syl2anc 673 . . . . 5
23 eqid 2471 . . . . 5
2422, 23fmptd 6061 . . . 4
25 frn 5747 . . . 4
2624, 25syl 17 . . 3
271, 26syl5eqss 3462 . 2
2813lssn0 18242 . . . 4
2911, 28syl 17 . . 3
301eqeq1i 2476 . . . . 5
31 dm0rn0 5057 . . . . 5
32 fvex 5889 . . . . . . 7
3332, 23dmmpti 5717 . . . . . 6
3433eqeq1i 2476 . . . . 5
3530, 31, 343bitr2i 281 . . . 4
3635necon3bii 2695 . . 3
3729, 36sylibr 217 . 2
3812, 20nmge0 21708 . . . . . 6 NrmGrp
395, 19, 38syl2anc 673 . . . . 5
4039ralrimiva 2809 . . . 4
4132rgenw 2768 . . . . 5
42 breq2 4399 . . . . . 6
4323, 42ralrnmpt 6046 . . . . 5
4441, 43ax-mp 5 . . . 4
4540, 44sylibr 217 . . 3
461raleqi 2977 . . 3
4745, 46sylibr 217 . 2
4827, 37, 473jca 1210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557   cle 9694  cbs 15199   ↾s cress 15200  ctopn 15398  csg 16749  clmod 18169  clss 18233  cnm 21669  NrmGrpcngp 21670  ccph 22222  CMetSpccms 22378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413  df-ms 21414  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nlm 21679  df-cph 22224 This theorem is referenced by:  minveclem4c  22445  minveclem2  22446  minveclem3b  22448  minveclem4  22452  minveclem6  22454  minveclem4cOLD  22457  minveclem2OLD  22458  minveclem3bOLD  22460  minveclem4OLD  22464  minveclem6OLD  22466
 Copyright terms: Public domain W3C validator