Theorem minvecdist 9930

Description: Distance of the minimizing vector of minveceu 9928.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = (BaseSet` U)
minvec.m	|- M = (-v` U)
minvec.n	|- N = (norm` U)
minvec.y	|- Y = (BaseSet` W)
minvec.1	|- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
minvec.2	|- P = -usup(R, RR, < )
minvec.u	|- U e. CPreHil
minvec.w	|- W e. ((SubSp` U) i^i CBan)
minvec.a	|- A e. X
minveccl.q	|- Q = U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P}

Assertion

Ref	Expression
minvecdist	|- (N` (AMQ)) = P

Distinct variable groups:   x,b,y,A   M,b,x,y   N,b,x,y   P,b   R,b   x,U,y   W,b,x,y   Y,b,x,y

Proof of Theorem minvecdist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveccl.q	. . 3 |- Q = U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P}
2	1	eqcomi 1888	. 2 |- U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P} = Q
3		minvec.x	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
4		minvec.m	. . . 4 |- M = (-v` U)
5		minvec.n	. . . 4 |- N = (norm` U)
6		minvec.y	. . . 4 |- Y = (BaseSet` W)
7		minvec.1	. . . 4 |- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
8		minvec.2	. . . 4 |- P = -usup(R, RR, < )
9		minvec.u	. . . 4 |- U e. CPreHil
10		minvec.w	. . . 4 |- W e. ((SubSp` U) i^i CBan)
11		minvec.a	. . . 4 |- A e. X
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	minveccl 9929	. . 3 |- Q e. Y
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveceu 9928	. . 3 |- E!b e. Y (N` (AMb)) = P
14		hbrab1 2257	. . . . . 6 |- (f e. {b e. Y | (N` (AMb)) = P} -> A.b f e. {b e. Y | (N` (AMb)) = P})
15	14	hbuni 3183	. . . . 5 |- (f e. U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P} -> A.b f e. U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P})
16	1, 15	hbxfr 1992	. . . 4 |- (f e. Q -> A.b f e. Q)
17		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (f e. N -> A.b f e. N)
18		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (f e. A -> A.b f e. A)
19		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (f e. M -> A.b f e. M)
20	18, 19, 16	hbopr 4904	. . . . . . 7 |- (f e. (AMQ) -> A.b f e. (AMQ))
21	17, 20	hbfv 4686	. . . . . 6 |- (f e. (N` (AMQ)) -> A.b f e. (N` (AMQ)))
22		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (f e. P -> A.b f e. P)
23	21, 22	hbeq 1995	. . . . 5 |- ((N` (AMQ)) = P -> A.b(N` (AMQ)) = P)
24	23	a1i 8	. . . 4 |- (Q e. Y -> ((N` (AMQ)) = P -> A.b(N` (AMQ)) = P))
25		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (b = Q -> (AMb) = (AMQ))
26	25	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (b = Q -> (N` (AMb)) = (N` (AMQ)))
27	26	eqeq1d 1892	. . . 4 |- (b = Q -> ((N` (AMb)) = P <-> (N` (AMQ)) = P))
28	16, 24, 27	reuuni2f 3810	. . 3 |- ((Q e. Y /\ E!b e. Y (N` (AMb)) = P) -> ((N` (AMQ)) = P <-> U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P} = Q))
29	12, 13, 28	mp2an 761	. 2 |- ((N` (AMQ)) = P <-> U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P} = Q)
30	2, 29	mpbir 207	1 |- (N` (AMQ)) = P

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   i^i cin 2592  U.cuni 3177  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  -ucneg 6446   < clt 6653  BaseSetcba 9537  -vcnsb 9540  normcnm 9541  SubSpcss 9719  CPreHilcphl 9812  CBancbn 9864

This theorem is referenced by:  minvecle 9931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-met 9070  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ssp 9720  df-ph 9813  df-bn 9865

Copyright terms: Public domain