MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min2 Structured version   Unicode version

Theorem min2 11379
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)

Proof of Theorem min2
StepHypRef Expression
1 rexr 9628 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9628 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmin2 11368 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
41, 2, 3syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   ifcif 3932   class class class wbr 4440   RRcr 9480   RR*cxr 9616    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  reccn2  13368  ssblex  20659  nlmvscnlem1  20923  nrginvrcnlem  20927  icccmplem2  21056  xlebnum  21193  ipcnlem1  21413  ivthlem2  21592  ovolicc2lem5  21660  ioombl1lem1  21696  mbfi1fseqlem4  21853  mbfi1fseqlem5  21854  aalioulem5  22459  aalioulem6  22460  cxpcn3lem  22842  ftalem5  23071  chtdif  23153  ppidif  23158  chebbnd1lem1  23375  itg2addnc  29633  mullimc  31113  mullimcf  31120  limcleqr  31141  addlimc  31145  0ellimcdiv  31146  limclner  31148  stoweidlem5  31260  fourierdlem104  31466
  Copyright terms: Public domain W3C validator