MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min2 Structured version   Unicode version

Theorem min2 11445
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)

Proof of Theorem min2
StepHypRef Expression
1 rexr 9671 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9671 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmin2 11434 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
41, 2, 3syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1844   ifcif 3887   class class class wbr 4397   RRcr 9523   RR*cxr 9659    <_ cle 9661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666
This theorem is referenced by:  reccn2  13570  ssblex  21225  nlmvscnlem1  21489  nrginvrcnlem  21493  icccmplem2  21622  xlebnum  21759  ipcnlem1  21979  ivthlem2  22158  ovolicc2lem5  22226  ioombl1lem1  22262  mbfi1fseqlem4  22419  mbfi1fseqlem5  22420  aalioulem5  23026  aalioulem6  23027  cxpcn3lem  23419  ftalem5  23733  chtdif  23815  ppidif  23820  chebbnd1lem1  24037  itg2addnc  31455  mullimc  37003  mullimcf  37010  limcleqr  37031  addlimc  37035  0ellimcdiv  37036  limclner  37038  stoweidlem5  37168  fourierdlem104  37374
  Copyright terms: Public domain W3C validator