MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min2 Structured version   Unicode version

Theorem min2 11484
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)

Proof of Theorem min2
StepHypRef Expression
1 rexr 9686 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9686 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmin2 11473 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
41, 2, 3syl2an 479 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1868   ifcif 3909   class class class wbr 4420   RRcr 9538   RR*cxr 9674    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681
This theorem is referenced by:  reccn2  13645  ssblex  21427  nlmvscnlem1  21673  nrginvrcnlem  21677  icccmplem2  21825  xlebnum  21980  ipcnlem1  22200  ivthlem2  22387  ovolicc2lem5  22459  ioombl1lem1  22495  mbfi1fseqlem4  22660  mbfi1fseqlem5  22661  aalioulem5  23276  aalioulem6  23277  cxpcn3lem  23671  ftalem5  23985  ftalem5OLD  23987  chtdif  24069  ppidif  24074  chebbnd1lem1  24291  itg2addnc  31907  mullimc  37513  mullimcf  37520  limcleqr  37542  addlimc  37546  0ellimcdiv  37547  limclner  37549  stoweidlem5  37682  fourierdlem104  37891
  Copyright terms: Public domain W3C validator