Theorem min1 11389

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )

Proof of Theorem min1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 9639	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 9639	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrmin1 11378	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )
4	1, 2, 3	syl2an 477	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447   RRcr 9491   RR*cxr 9627   <_ cle 9629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634

This theorem is referenced by:  reccn2  13382  ssblex  20694  nlmvscnlem1  20958  nrginvrcnlem  20962  icccmplem2  21091  xlebnum  21228  ipcnlem1  21448  ivthlem2  21627  ioombl1lem4  21734  mbfi1fseqlem5  21889  aalioulem5  22494  aalioulem6  22495  logcnlem3  22781  cxpcn3lem  22877  ftalem5  23106  chtdif  23188  ppidif  23193  chebbnd1lem1  23410  itg2addnc  29674  mullimc  31186  mullimcf  31193  limcleqr  31214  addlimc  31218  0ellimcdiv  31219  limclner  31221  stoweidlem5  31333  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539