Theorem min1 11310

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )

Proof of Theorem min1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 9550	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 9550	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrmin1 11299	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )
4	1, 2, 3	syl2an 475	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> if ( A <_ B , A , B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1826   ifcif 3857   class class class wbr 4367   RRcr 9402   RR*cxr 9538   <_ cle 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545

This theorem is referenced by:  reccn2  13421  ssblex  21016  nlmvscnlem1  21280  nrginvrcnlem  21284  icccmplem2  21413  xlebnum  21550  ipcnlem1  21770  ivthlem2  21949  ioombl1lem4  22056  mbfi1fseqlem5  22211  aalioulem5  22817  aalioulem6  22818  logcnlem3  23112  cxpcn3lem  23208  ftalem5  23467  chtdif  23549  ppidif  23554  chebbnd1lem1  23771  itg2addnc  30235  mullimc  31788  mullimcf  31795  limcleqr  31816  addlimc  31820  0ellimcdiv  31821  limclner  31823  stoweidlem5  31953  fourierdlem103  32158  fourierdlem104  32159