Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  miduniq2 Structured version   Unicode version

Theorem miduniq2 23772
 Description: If two point inversions commute, they are identical. Theorem 7.19 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p
mirval.d
mirval.i Itv
mirval.l LineG
mirval.s pInvG
mirval.g TarskiG
miduniq2.a
miduniq2.b
miduniq2.x
miduniq2.e
Assertion
Ref Expression
miduniq2

Proof of Theorem miduniq2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5
2 mirval.d . . . . 5
3 mirval.i . . . . 5 Itv
4 mirval.l . . . . 5 LineG
5 mirval.s . . . . 5 pInvG
6 mirval.g . . . . 5 TarskiG
7 miduniq2.a . . . . 5
8 miduniq2.b . . . . . . 7
9 eqid 2467 . . . . . . 7
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9mirf 23754 . . . . . 6
1110, 7ffvelrnd 6020 . . . . 5
12 miduniq2.x . . . . 5
13 eqid 2467 . . . . . 6
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 12mircl 23755 . . . . 5
15 eqidd 2468 . . . . 5
16 eqid 2467 . . . . . . . 8
17 eqid 2467 . . . . . . . 8
18 eqid 2467 . . . . . . . 8
1910, 12ffvelrnd 6020 . . . . . . . 8
2010, 14ffvelrnd 6020 . . . . . . . 8
21 miduniq2.e . . . . . . . 8
221, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 18, 8, 7, 19, 20, 21mirauto 23769 . . . . . . 7
231, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12mirmir 23756 . . . . . . . 8
2423fveq2d 5868 . . . . . . 7
251, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 14mirmir 23756 . . . . . . 7
2622, 24, 253eqtr3rd 2517 . . . . . 6
2726eqcomd 2475 . . . . 5
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 27miduniq 23770 . . . 4
2928eqcomd 2475 . . 3
301, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 7mirinv 23760 . . 3
3129, 30mpbid 210 . 2
3231eqcomd 2475 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5586  cbs 14486  cds 14560  TarskiGcstrkg 23553  Itvcitv 23560  LineGclng 23561  pInvGcmir 23746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507  df-s2 12772  df-s3 12773  df-trkgc 23572  df-trkgb 23573  df-trkgcb 23574  df-trkg 23578  df-cgrg 23631  df-mir 23747 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator