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Theorem mideulem2 24855
 Description: Lemma for opphllem 24856, which is itself used for mideu 24859. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p
colperpex.d
colperpex.i Itv
colperpex.l LineG
colperpex.g TarskiG
mideu.s pInvG
mideu.1
mideu.2
mideulem.1
mideulem.2
mideulem.3
mideulem.4
mideulem.5 ⟂G
mideulem.6 ⟂G
mideulem.7
mideulem.8
opphllem.1
opphllem.2
opphllem.3
mideulem2.1
mideulem2.2
mideulem2.3
mideulem2.4
mideulem2.5
mideulem2.6
mideulem2.7
mideulem2.8
Assertion
Ref Expression
mideulem2

Proof of Theorem mideulem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6316 . . 3
21breq1d 4405 . 2 ⟂G ⟂G
3 oveq2 6316 . . 3
43breq1d 4405 . 2 ⟂G ⟂G
5 colperpex.p . . 3
6 colperpex.d . . 3
7 colperpex.i . . 3 Itv
8 colperpex.l . . 3 LineG
9 colperpex.g . . 3 TarskiG
10 mideu.1 . . . 4
11 mideu.2 . . . 4
12 mideulem.1 . . . 4
135, 7, 8, 9, 10, 11, 12tgelrnln 24754 . . 3
14 opphllem.1 . . 3
1512adantr 472 . . . . . 6
1615neneqd 2648 . . . . 5
17 mideulem.3 . . . . . . . . 9
18 opphllem.3 . . . . . . . . 9
19 mideulem.6 . . . . . . . . . . 11 ⟂G
208, 9, 19perpln2 24835 . . . . . . . . . 10
215, 7, 8, 9, 10, 17, 20tglnne 24752 . . . . . . . . 9
225, 6, 7, 9, 10, 17, 11, 14, 18, 21tgcgrneq 24606 . . . . . . . 8
2322adantr 472 . . . . . . 7
2423necomd 2698 . . . . . 6
2524neneqd 2648 . . . . 5
2616, 25jca 541 . . . 4
27 mideu.s . . . . . 6 pInvG
289adantr 472 . . . . . 6 TarskiG
2910adantr 472 . . . . . 6
3011adantr 472 . . . . . 6
3114adantr 472 . . . . . 6
32 mideulem.2 . . . . . . . . 9
33 mideulem.5 . . . . . . . . . . . . 13 ⟂G
348, 9, 33perpln2 24835 . . . . . . . . . . . 12
355, 7, 8, 9, 32, 11, 34tglnne 24752 . . . . . . . . . . 11
365, 7, 8, 9, 32, 11, 35tglinerflx2 24758 . . . . . . . . . 10
375, 6, 7, 8, 9, 13, 34, 33perpcom 24837 . . . . . . . . . . 11 ⟂G
385, 7, 8, 9, 10, 11, 12tglinecom 24759 . . . . . . . . . . 11
3937, 38breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10 ⟂G
405, 6, 7, 8, 9, 32, 11, 36, 10, 39perprag 24847 . . . . . . . . 9 ∟G
41 opphllem.2 . . . . . . . . . 10
425, 8, 7, 9, 11, 14, 32, 41btwncolg3 24681 . . . . . . . . 9
435, 6, 7, 8, 27, 9, 32, 11, 10, 14, 40, 35, 42ragcol 24823 . . . . . . . 8 ∟G
445, 6, 7, 8, 27, 9, 14, 11, 10, 43ragcom 24822 . . . . . . 7 ∟G
4544adantr 472 . . . . . 6 ∟G
46 simpr 468 . . . . . . 7
4746orcd 399 . . . . . 6
485, 6, 7, 8, 27, 28, 29, 30, 31, 45, 47ragflat3 24830 . . . . 5
49 oran 504 . . . . 5
5048, 49sylib 201 . . . 4
5126, 50pm2.65da 586 . . 3
525, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 51foot 24843 . 2 ⟂G
535, 7, 8, 9, 10, 11, 12tglinerflx2 24758 . 2
54 mideulem2.1 . . 3
5512neneqd 2648 . . . . 5
56 oveq2 6316 . . . . . . 7
5756breq1d 4405 . . . . . 6 ⟂G ⟂G
5852adantr 472 . . . . . 6 ⟂G
595, 7, 8, 9, 10, 11, 12tglinerflx1 24757 . . . . . . 7
6059adantr 472 . . . . . 6
6153adantr 472 . . . . . 6
629adantr 472 . . . . . . . . 9 TarskiG
6314adantr 472 . . . . . . . . 9
6410adantr 472 . . . . . . . . 9
6551, 55jca 541 . . . . . . . . . . . 12
66 pm4.56 503 . . . . . . . . . . . 12
6765, 66sylib 201 . . . . . . . . . . 11
685, 7, 8, 9, 14, 10, 11, 67ncolne1 24749 . . . . . . . . . 10
6968adantr 472 . . . . . . . . 9
705, 7, 8, 62, 63, 64, 69tglinecom 24759 . . . . . . . 8
7169necomd 2698 . . . . . . . . 9
7217adantr 472 . . . . . . . . 9
7321necomd 2698 . . . . . . . . . 10
7473adantr 472 . . . . . . . . 9
7554adantr 472 . . . . . . . . . . 11
76 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
7776, 71eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . 11
78 mideulem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
795, 6, 7, 9, 14, 54, 17, 78tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 mideulem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 mideulem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 mideulem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
835, 7, 8, 9, 80, 10, 11, 54, 81, 82coltr3 24772 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8412necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8584neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8773neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8986, 88jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
909adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TarskiG
9111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9210adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9317adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
945, 7, 8, 9, 11, 10, 84tglinerflx2 24758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9538, 19eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⟂G
965, 6, 7, 8, 9, 11, 10, 94, 17, 95perprag 24847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∟G
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∟G
98 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9998orcd 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1005, 6, 7, 8, 27, 90, 91, 92, 93, 97, 99ragflat3 24830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 oran 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102100, 101sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10389, 102pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104103, 38neleqtrrd 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105 nelne2 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10683, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
1075, 6, 7, 9, 17, 54, 14, 79, 106tgbtwnne 24613 . . . . . . . . . . . . . 14
108107adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
109108necomd 2698 . . . . . . . . . . . 12
11078adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
1115, 7, 8, 62, 63, 72, 75, 109, 110btwnlng1 24743 . . . . . . . . . . 11
1125, 7, 8, 62, 75, 63, 72, 77, 111, 109lnrot2 24748 . . . . . . . . . 10
11376oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
114112, 113eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9
1155, 7, 8, 62, 64, 63, 71, 72, 74, 114tglineelsb2 24756 . . . . . . . 8
11670, 115eqtrd 2505 . . . . . . 7
1175, 6, 7, 8, 9, 13, 20, 19perpcom 24837 . . . . . . . 8 ⟂G
118117adantr 472 . . . . . . 7 ⟂G
119116, 118eqbrtrd 4416 . . . . . 6 ⟂G
12013adantr 472 . . . . . . 7
12122necomd 2698 . . . . . . . . 9
1225, 7, 8, 9, 14, 11, 121tgelrnln 24754 . . . . . . . 8
123122adantr 472 . . . . . . 7
1245, 7, 8, 9, 14, 11, 121tglinerflx2 24758 . . . . . . . . . 10
12553, 124elind 3609 . . . . . . . . 9
1265, 7, 8, 9, 14, 11, 121tglinerflx1 24757 . . . . . . . . 9
1275, 6, 7, 8, 9, 13, 122, 125, 59, 126, 12, 121, 44ragperp 24841 . . . . . . . 8 ⟂G
128127adantr 472 . . . . . . 7 ⟂G
1295, 6, 7, 8, 62, 120, 123, 128perpcom 24837 . . . . . 6 ⟂G
13057, 2, 58, 60, 61, 119, 129reu2eqd 3223 . . . . 5
13155, 130mtand 671 . . . 4
132131neqned 2650 . . 3
133 mideulem2.7 . . 3
134132necomd 2698 . . . 4
135 eqid 2471 . . . . 5
136 eqid 2471 . . . . 5
1375, 6, 7, 8, 27, 9, 10, 135, 17mircl 24785 . . . . 5
138 mideulem2.4 . . . . 5
139 mideulem2.5 . . . . 5
14083orcd 399 . . . . . . . . 9
1415, 8, 7, 9, 10, 11, 54, 140colcom 24682 . . . . . . . 8
1425, 8, 7, 9, 11, 10, 54, 141colrot1 24683 . . . . . . 7
1435, 6, 7, 8, 27, 9, 11, 10, 17, 54, 96, 84, 142ragcol 24823 . . . . . 6 ∟G
1445, 6, 7, 8, 27, 9, 54, 10, 17israg 24821 . . . . . 6 ∟G
145143, 144mpbid 215 . . . . 5
146 mideulem2.6 . . . . . 6
147146eqcomd 2477 . . . . 5
148 eqidd 2472 . . . . 5
149 mideulem2.8 . . . . . . . 8
150149eqcomd 2477 . . . . . . 7
1515, 6, 7, 8, 27, 9, 133, 136, 138, 150mircom 24787 . . . . . 6
152151eqcomd 2477 . . . . 5
1535, 6, 7, 8, 27, 9, 135, 136, 17, 137, 54, 14, 138, 10, 133, 79, 139, 145, 147, 148, 152krippen 24815 . . . 4
1545, 7, 8, 9, 10, 54, 133, 134, 153btwnlng3 24745 . . 3
1555, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 54, 132, 83, 133, 154tglineeltr 24755 . 2
1565, 6, 7, 8, 9, 13, 122, 127perpcom 24837 . 2 ⟂G
157 nelne2 2740 . . . . . 6
158155, 51, 157syl2anc 673 . . . . 5
159158necomd 2698 . . . 4
1605, 7, 8, 9, 14, 133, 159tgelrnln 24754 . . 3
1615, 7, 8, 9, 14, 133, 159tglinerflx2 24758 . . . . 5
162155, 161elind 3609 . . . 4
1635, 7, 8, 9, 14, 133, 159tglinerflx1 24757 . . . 4
164 simpr 468 . . . . . . . 8
1659adantr 472 . . . . . . . . 9 TarskiG
166133adantr 472 . . . . . . . . 9
16710adantr 472 . . . . . . . . 9
16817adantr 472 . . . . . . . . 9
169137adantr 472 . . . . . . . . . . 11
170145adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
171164oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
172164oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
173170, 171, 1723eqtr4rd 2516 . . . . . . . . . . 11
174138adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
17514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
176149adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177176oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
1785, 6, 7, 8, 27, 165, 166, 136, 174mircgr 24781 . . . . . . . . . . . . . . 15
179177, 178eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14
1805, 6, 7, 165, 166, 175, 166, 174, 179tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . . . . . . 13
18183adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182164, 181eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15
18351adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
184182, 183, 157syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
185184necomd 2698 . . . . . . . . . . . . 13
1865, 6, 7, 165, 175, 166, 174, 166, 180, 185tgcgrneq 24606 . . . . . . . . . . . 12
1875, 6, 7, 8, 27, 9, 133, 136, 138mirbtwn 24782 . . . . . . . . . . . . . . 15
188149oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
189187, 188eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . 14
190189adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
1915, 6, 7, 165, 175, 166, 174, 190tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . 12
192139adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
193164, 192eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13
1945, 6, 7, 165, 169, 166, 174, 193tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . 12
19578adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
196164, 195eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12
1975, 7, 165, 174, 166, 175, 169, 168, 186, 185, 191, 194, 196tgbtwnconn22 24703 . . . . . . . . . . 11
1985, 6, 7, 8, 27, 165, 166, 136, 168, 169, 173, 197ismir 24783 . . . . . . . . . 10
199198eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
2005, 6, 7, 8, 27, 165, 166, 167, 168, 199miduniq1 24810 . . . . . . . 8
201164, 200eqtr3d 2507 . . . . . . 7
202131, 201mtand 671 . . . . . 6
203202neqned 2650 . . . . 5
204203necomd 2698 . . . 4
205151oveq2d 6324 . . . . . 6
206205, 146eqtr2d 2506 . . . . 5
2075, 6, 7, 8, 27, 9, 54, 133, 14israg 24821 . . . . 5 ∟G
208206, 207mpbird 240 . . . 4 ∟G
2095, 6, 7, 8, 9, 13, 160, 162, 83, 163, 204, 159, 208ragperp 24841 . . 3 ⟂G
2105, 6, 7, 8, 9, 13, 160, 209perpcom 24837 . 2 ⟂G
2112, 4, 52, 53, 155, 156, 210reu2eqd 3223 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wreu 2758   class class class wbr 4395   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cs3 12997  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564  pInvGcmir 24776  ∟Gcrag 24817  ⟂Gcperpg 24819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-leg 24707  df-mir 24777  df-rag 24818  df-perpg 24820 This theorem is referenced by:  opphllem  24856
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