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Theorem mhmvlin 18408
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mhmvlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mhmvlin.q  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
mhmvlin  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  oF  .+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  oF  .+^  ( F  o.  Y ) ) )

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
2 elmapi 7336 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
323ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X :
I --> B )
43ffvelrnda 5944 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y )  e.  B )
5 elmapi 7336 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
653ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y :
I --> B )
76ffvelrnda 5944 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Y `  y )  e.  B )
8 mhmvlin.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 mhmvlin.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  M )
10 mhmvlin.q . . . . 5  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
118, 9, 10mhmlin 15575 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
121, 4, 7, 11syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
1312mpteq2dva 4478 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( F `
 ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) ) )
14 mhmrcl1 15571 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  M  e.  Mnd )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
16153ad2antl1 1150 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
178, 9mndcl 15524 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
1816, 4, 7, 17syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
19 elmapex 7335 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
2019simprd 463 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
21203ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
223feqmptd 5845 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X  =  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) )
236feqmptd 5845 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y  =  ( y  e.  I  |->  ( Y `  y
) ) )
2421, 4, 7, 22, 23offval2 6438 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( X  oF  .+  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )
25 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
268, 25mhmf 15573 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
27263ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
2827feqmptd 5845 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) )
29 fveq2 5791 . . 3  |-  ( z  =  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( X `  y ) 
.+  ( Y `  y ) ) ) )
3018, 24, 28, 29fmptco 5977 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  oF  .+  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y )
) ) ) )
31 fvex 5801 . . . 4  |-  ( F `
 ( X `  y ) )  e. 
_V
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( X `  y ) )  e. 
_V )
33 fvex 5801 . . . 4  |-  ( F `
 ( Y `  y ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( Y `  y ) )  e. 
_V )
35 fcompt 5980 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  X : I --> B )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
3627, 3, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
37 fcompt 5980 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  Y : I --> B )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
3827, 6, 37syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
3921, 32, 34, 36, 38offval2 6438 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( ( F  o.  X )  oF  .+^  ( F  o.  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `
 ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) ) )
4013, 30, 393eqtr4d 2502 1  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  oF  .+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  oF  .+^  ( F  o.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    |-> cmpt 4450    o. ccom 4944   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    oFcof 6420    ^m cmap 7316   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   Mndcmnd 15513   MndHom cmhm 15566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-map 7318  df-mnd 15519  df-mhm 15568
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