Theorem mhmvlin 19066

Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmvlin.b	|- B = ( Base ` M )
mhmvlin.p	|- .+ = ( +g ` M )
mhmvlin.q	|- .+^ = ( +g ` N )

Assertion

Ref	Expression
mhmvlin	|- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. ( X oF .+ Y ) ) = ( ( F o. X ) oF .+^ ( F o. Y ) ) )

Proof of Theorem mhmvlin

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 997	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> F e. ( M MndHom N ) )
2		elmapi 7433	. . . . . 6 |- ( X e. ( B ^m I ) -> X : I --> B )
3	2	3ad2ant2 1016	. . . . 5 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> X : I --> B )
4	3	ffvelrnda 6007	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( X ` y ) e. B )
5		elmapi 7433	. . . . . 6 |- ( Y e. ( B ^m I ) -> Y : I --> B )
6	5	3ad2ant3 1017	. . . . 5 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> Y : I --> B )
7	6	ffvelrnda 6007	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( Y ` y ) e. B )
8		mhmvlin.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
9		mhmvlin.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` M )
10		mhmvlin.q	. . . . 5 |- .+^ = ( +g ` N )
11	8, 9, 10	mhmlin 16172	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ ( X ` y ) e. B /\ ( Y ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) = ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
12	1, 4, 7, 11	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) = ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
13	12	mpteq2dva 4525	. 2 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( y e. I |-> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) ) )
14		mhmrcl1 16168	. . . . . 6 |- ( F e. ( M MndHom N ) -> M e. Mnd )
15	14	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ y e. I ) -> M e. Mnd )
16	15	3ad2antl1 1156	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> M e. Mnd )
17	8, 9	mndcl 16128	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ ( X ` y ) e. B /\ ( Y ` y ) e. B ) -> ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) e. B )
18	16, 4, 7, 17	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) e. B )
19		elmapex 7432	. . . . . 6 |- ( Y e. ( B ^m I ) -> ( B e. _V /\ I e. _V ) )
20	19	simprd 461	. . . . 5 |- ( Y e. ( B ^m I ) -> I e. _V )
21	20	3ad2ant3 1017	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> I e. _V )
22	3	feqmptd 5901	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> X = ( y e. I |-> ( X ` y ) ) )
23	6	feqmptd 5901	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> Y = ( y e. I |-> ( Y ` y ) ) )
24	21, 4, 7, 22, 23	offval2 6529	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( X oF .+ Y ) = ( y e. I |-> ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) )
25		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` N ) = ( Base ` N )
26	8, 25	mhmf 16170	. . . . 5 |- ( F e. ( M MndHom N ) -> F : B --> ( Base ` N ) )
27	26	3ad2ant1 1015	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> F : B --> ( Base ` N ) )
28	27	feqmptd 5901	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> F = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
29		fveq2 5848	. . 3 |- ( z = ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) )
30	18, 24, 28, 29	fmptco 6040	. 2 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. ( X oF .+ Y ) ) = ( y e. I |-> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) ) )
31		fvex 5858	. . . 4 |- ( F ` ( X ` y ) ) e. _V
32	31	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( F ` ( X ` y ) ) e. _V )
33		fvex 5858	. . . 4 |- ( F ` ( Y ` y ) ) e. _V
34	33	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( F ` ( Y ` y ) ) e. _V )
35		fcompt 6043	. . . 4 |- ( ( F : B --> ( Base ` N ) /\ X : I --> B ) -> ( F o. X ) = ( y e. I |-> ( F ` ( X ` y ) ) ) )
36	27, 3, 35	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. X ) = ( y e. I |-> ( F ` ( X ` y ) ) ) )
37		fcompt 6043	. . . 4 |- ( ( F : B --> ( Base ` N ) /\ Y : I --> B ) -> ( F o. Y ) = ( y e. I |-> ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
38	27, 6, 37	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. Y ) = ( y e. I |-> ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
39	21, 32, 34, 36, 38	offval2 6529	. 2 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( ( F o. X ) oF .+^ ( F o. Y ) ) = ( y e. I |-> ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) ) )
40	13, 30, 39	3eqtr4d 2505	1 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. ( X oF .+ Y ) ) = ( ( F o. X ) oF .+^ ( F o. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   |-> cmpt 4497   o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   oFcof 6511   ^m cmap 7412   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   Mndcmnd 16118   MndHom cmhm 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-map 7414  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165

This theorem is referenced by:  mendring  31382