Theorem mhmvlin 18408

Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmvlin.b	|- B = ( Base ` M )
mhmvlin.p	|- .+ = ( +g ` M )
mhmvlin.q	|- .+^ = ( +g ` N )

Assertion

Ref	Expression
mhmvlin	|- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. ( X oF .+ Y ) ) = ( ( F o. X ) oF .+^ ( F o. Y ) ) )

Proof of Theorem mhmvlin

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 991	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> F e. ( M MndHom N ) )
2		elmapi 7336	. . . . . 6 |- ( X e. ( B ^m I ) -> X : I --> B )
3	2	3ad2ant2 1010	. . . . 5 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> X : I --> B )
4	3	ffvelrnda 5944	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( X ` y ) e. B )
5		elmapi 7336	. . . . . 6 |- ( Y e. ( B ^m I ) -> Y : I --> B )
6	5	3ad2ant3 1011	. . . . 5 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> Y : I --> B )
7	6	ffvelrnda 5944	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( Y ` y ) e. B )
8		mhmvlin.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
9		mhmvlin.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` M )
10		mhmvlin.q	. . . . 5 |- .+^ = ( +g ` N )
11	8, 9, 10	mhmlin 15575	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ ( X ` y ) e. B /\ ( Y ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) = ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
12	1, 4, 7, 11	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) = ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
13	12	mpteq2dva 4478	. 2 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( y e. I |-> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) ) )
14		mhmrcl1 15571	. . . . . 6 |- ( F e. ( M MndHom N ) -> M e. Mnd )
15	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ y e. I ) -> M e. Mnd )
16	15	3ad2antl1 1150	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> M e. Mnd )
17	8, 9	mndcl 15524	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ ( X ` y ) e. B /\ ( Y ` y ) e. B ) -> ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) e. B )
18	16, 4, 7, 17	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) e. B )
19		elmapex 7335	. . . . . 6 |- ( Y e. ( B ^m I ) -> ( B e. _V /\ I e. _V ) )
20	19	simprd 463	. . . . 5 |- ( Y e. ( B ^m I ) -> I e. _V )
21	20	3ad2ant3 1011	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> I e. _V )
22	3	feqmptd 5845	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> X = ( y e. I |-> ( X ` y ) ) )
23	6	feqmptd 5845	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> Y = ( y e. I |-> ( Y ` y ) ) )
24	21, 4, 7, 22, 23	offval2 6438	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( X oF .+ Y ) = ( y e. I |-> ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) )
25		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` N ) = ( Base ` N )
26	8, 25	mhmf 15573	. . . . 5 |- ( F e. ( M MndHom N ) -> F : B --> ( Base ` N ) )
27	26	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> F : B --> ( Base ` N ) )
28	27	feqmptd 5845	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> F = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
29		fveq2 5791	. . 3 |- ( z = ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) )
30	18, 24, 28, 29	fmptco 5977	. 2 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. ( X oF .+ Y ) ) = ( y e. I |-> ( F ` ( ( X ` y ) .+ ( Y ` y ) ) ) ) )
31		fvex 5801	. . . 4 |- ( F ` ( X ` y ) ) e. _V
32	31	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( F ` ( X ` y ) ) e. _V )
33		fvex 5801	. . . 4 |- ( F ` ( Y ` y ) ) e. _V
34	33	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) /\ y e. I ) -> ( F ` ( Y ` y ) ) e. _V )
35		fcompt 5980	. . . 4 |- ( ( F : B --> ( Base ` N ) /\ X : I --> B ) -> ( F o. X ) = ( y e. I |-> ( F ` ( X ` y ) ) ) )
36	27, 3, 35	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. X ) = ( y e. I |-> ( F ` ( X ` y ) ) ) )
37		fcompt 5980	. . . 4 |- ( ( F : B --> ( Base ` N ) /\ Y : I --> B ) -> ( F o. Y ) = ( y e. I |-> ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
38	27, 6, 37	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. Y ) = ( y e. I |-> ( F ` ( Y ` y ) ) ) )
39	21, 32, 34, 36, 38	offval2 6438	. 2 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( ( F o. X ) oF .+^ ( F o. Y ) ) = ( y e. I |-> ( ( F ` ( X ` y ) ) .+^ ( F ` ( Y ` y ) ) ) ) )
40	13, 30, 39	3eqtr4d 2502	1 |- ( ( F e. ( M MndHom N ) /\ X e. ( B ^m I ) /\ Y e. ( B ^m I ) ) -> ( F o. ( X oF .+ Y ) ) = ( ( F o. X ) oF .+^ ( F o. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3070   |-> cmpt 4450   o. ccom 4944   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   oFcof 6420   ^m cmap 7316   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   Mndcmnd 15513   MndHom cmhm 15566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-map 7318  df-mnd 15519  df-mhm 15568

This theorem is referenced by:  mendrng  29689