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Theorem mhmvlin 19066
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mhmvlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mhmvlin.q  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
mhmvlin  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  oF  .+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  oF  .+^  ( F  o.  Y ) ) )

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 997 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
2 elmapi 7433 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
323ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X :
I --> B )
43ffvelrnda 6007 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( X `  y )  e.  B )
5 elmapi 7433 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
653ad2ant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y :
I --> B )
76ffvelrnda 6007 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Y `  y )  e.  B )
8 mhmvlin.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 mhmvlin.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  M )
10 mhmvlin.q . . . . 5  |-  .+^  =  ( +g  `  N )
118, 9, 10mhmlin 16172 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
121, 4, 7, 11syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y
) ) )  =  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) )
1312mpteq2dva 4525 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( F `
 ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `  ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `  y
) ) ) ) )
14 mhmrcl1 16168 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  M  e.  Mnd )
1514adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
16153ad2antl1 1156 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  M  e.  Mnd )
178, 9mndcl 16128 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X `  y )  e.  B  /\  ( Y `  y )  e.  B )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
1816, 4, 7, 17syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( X `  y
)  .+  ( Y `  y ) )  e.  B )
19 elmapex 7432 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
2019simprd 461 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
21203ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  I  e.  _V )
223feqmptd 5901 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  X  =  ( y  e.  I  |->  ( X `  y
) ) )
236feqmptd 5901 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  Y  =  ( y  e.  I  |->  ( Y `  y
) ) )
2421, 4, 7, 22, 23offval2 6529 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( X  oF  .+  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) ) ) )
25 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
268, 25mhmf 16170 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
27263ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F : B
--> ( Base `  N
) )
2827feqmptd 5901 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  F  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) )
29 fveq2 5848 . . 3  |-  ( z  =  ( ( X `
 y )  .+  ( Y `  y ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( X `  y ) 
.+  ( Y `  y ) ) ) )
3018, 24, 28, 29fmptco 6040 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  oF  .+  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( ( X `  y )  .+  ( Y `  y )
) ) ) )
31 fvex 5858 . . . 4  |-  ( F `
 ( X `  y ) )  e. 
_V
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( X `  y ) )  e. 
_V )
33 fvex 5858 . . . 4  |-  ( F `
 ( Y `  y ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( F `  ( Y `  y ) )  e. 
_V )
35 fcompt 6043 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  X : I --> B )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
3627, 3, 35syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  X )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( X `
 y ) ) ) )
37 fcompt 6043 . . . 4  |-  ( ( F : B --> ( Base `  N )  /\  Y : I --> B )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
3827, 6, 37syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  Y )  =  ( y  e.  I  |->  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) )
3921, 32, 34, 36, 38offval2 6529 . 2  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( ( F  o.  X )  oF  .+^  ( F  o.  Y ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( F `
 ( X `  y ) )  .+^  ( F `  ( Y `
 y ) ) ) ) )
4013, 30, 393eqtr4d 2505 1  |-  ( ( F  e.  ( M MndHom  N )  /\  X  e.  ( B  ^m  I
)  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  ->  ( F  o.  ( X  oF  .+  Y ) )  =  ( ( F  o.  X )  oF  .+^  ( F  o.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511    ^m cmap 7412   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   Mndcmnd 16118   MndHom cmhm 16163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-map 7414  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165
This theorem is referenced by:  mendring  31382
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