MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmrcl2 Structured version   Unicode version

Theorem mhmrcl2 16537
Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmrcl2  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  T  e.  Mnd )

Proof of Theorem mhmrcl2
Dummy variables  f 
s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 16533 . 2  |- MndHom  =  ( s  e.  Mnd , 
t  e.  Mnd  |->  { f  e.  ( (
Base `  t )  ^m  ( Base `  s
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t
) ) } )
21elmpt2cl2 6527 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  T  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297   Mndcmnd 16486   MndHom cmhm 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-xp 4860  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-mhm 16533
This theorem is referenced by:  mhmf1o  16543  resmhm  16557  mhmco  16560  mhmima  16561  pwsco2mhm  16569  gsumwmhm  16580  mhmmulg  16741  mhmhmeotmd  28572
  Copyright terms: Public domain W3C validator