MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmrcl1 Structured version   Unicode version

Theorem mhmrcl1 16291
Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmrcl1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  S  e.  Mnd )

Proof of Theorem mhmrcl1
Dummy variables  f 
s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 16288 . 2  |- MndHom  =  ( s  e.  Mnd , 
t  e.  Mnd  |->  { f  e.  ( (
Base `  t )  ^m  ( Base `  s
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t
) ) } )
21elmpt2cl1 6498 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  S  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   {crab 2757   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   0gc0g 15052   Mndcmnd 16241   MndHom cmhm 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-xp 4828  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-mhm 16288
This theorem is referenced by:  mhmf1o  16298  resmhm2  16313  resmhm2b  16314  mhmco  16315  mhmeql  16317  pwsco2mhm  16324  gsumwmhm  16335  mhmmulg  16496  mhmvlin  19189  mhmhmeotmd  28348
  Copyright terms: Public domain W3C validator