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Theorem mhmmnd 16410
Description: The image of a monoid  G under a monoid homomorphism  F is a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmgrp.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) )
ghmgrp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ghmgrp.y  |-  Y  =  ( Base `  H
)
ghmgrp.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ghmgrp.q  |-  .+^  =  ( +g  `  H )
ghmgrp.1  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
mhmmnd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Assertion
Ref Expression
mhmmnd  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x,  .+ , y    x, H, y   
x, X, y    x, Y, y    x,  .+^ , y    ph, x, y

Proof of Theorem mhmmnd
Dummy variables  a 
d  i  j  k  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  i )  =  a )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  j )  =  b )
31, 2oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  j
) )  =  ( a  .+^  b )
)
4 simp-5l 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ph )
5 ghmgrp.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) )
64, 5syl3an1 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) )
7 simp-4r 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  i  e.  X )
8 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  j  e.  X )
96, 7, 8mhmlem 16408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) ) )
10 ghmgrp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
11 fof 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
1312ad5antr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  F : X
--> Y )
14 mhmmnd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
1514ad5antr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  G  e.  Mnd )
16 ghmgrp.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
17 ghmgrp.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1816, 17mndcl 16147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X )  ->  ( i  .+  j
)  e.  X )
1915, 7, 8, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( i  .+  j )  e.  X
)
2013, 19ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  e.  Y
)
219, 20eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  j
) )  e.  Y
)
223, 21eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( a  .+^  b )  e.  Y
)
23 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  b  e.  Y )
24 foelrni 5921 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  b  e.  Y
)  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
2510, 23, 24syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
2625ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
2722, 26r19.29a 2999 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  -> 
( a  .+^  b )  e.  Y )
28 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  a  e.  Y )
29 foelrni 5921 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  a  e.  Y
)  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
3010, 28, 29syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
3127, 30r19.29a 2999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( a  .+^  b )  e.  Y )
32 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  ph )
33 simplrl 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  a  e.  Y )
34 simplrr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  b  e.  Y )
35 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  c  e.  Y )
3614ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y )
)  /\  i  e.  X )  ->  G  e.  Mnd )
3736ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  G  e.  Mnd )
38 simp-6r 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  i  e.  X )
39 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  j  e.  X )
40 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  k  e.  X )
4116, 17mndass 16148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  X  /\  k  e.  X
) )  ->  (
( i  .+  j
)  .+  k )  =  ( i  .+  ( j  .+  k
) ) )
4237, 38, 39, 40, 41syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
i  .+  j )  .+  k )  =  ( i  .+  ( j 
.+  k ) ) )
4342fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( ( i  .+  j )  .+  k
) )  =  ( F `  ( i 
.+  ( j  .+  k ) ) ) )
44 simp-7l 773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ph )
4544, 5syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
4637, 38, 39, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( i  .+  j )  e.  X
)
4745, 46, 40mhmlem 16408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( ( i  .+  j )  .+  k
) )  =  ( ( F `  (
i  .+  j )
)  .+^  ( F `  k ) ) )
4816, 17mndcl 16147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  j  e.  X  /\  k  e.  X )  ->  ( j  .+  k
)  e.  X )
4937, 39, 40, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( j  .+  k )  e.  X
)
5045, 38, 49mhmlem 16408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( i  .+  (
j  .+  k )
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  ( j  .+  k
) ) ) )
5143, 47, 503eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  ( i  .+  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  i ) 
.+^  ( F `  ( j  .+  k
) ) ) )
52 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  ph )
5352, 5syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
54 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  i  e.  X )
55 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  j  e.  X )
5653, 54, 55mhmlem 16408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X  /\  j  e.  X
)  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) ) )
5744, 38, 39, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( i  .+  j
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) ) )
5857oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  ( i  .+  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( ( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) )  .+^  ( F `  k ) ) )
5945, 39, 40mhmlem 16408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  ( j  .+  k
) )  =  ( ( F `  j
)  .+^  ( F `  k ) ) )
6059oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  (
j  .+  k )
) )  =  ( ( F `  i
)  .+^  ( ( F `
 j )  .+^  ( F `  k ) ) ) )
6151, 58, 603eqtr3d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  i ) 
.+^  ( ( F `
 j )  .+^  ( F `  k ) ) ) )
62 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  i )  =  a )
63 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  j )  =  b )
6462, 63oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  j
) )  =  ( a  .+^  b )
)
65 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( F `  k )  =  c )
6664, 65oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
( F `  i
)  .+^  ( F `  j ) )  .+^  ( F `  k ) )  =  ( ( a  .+^  b )  .+^  c ) )
6763, 65oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  j )  .+^  ( F `  k
) )  =  ( b  .+^  c )
)
6862, 67oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( ( F `  j )  .+^  ( F `
 k ) ) )  =  ( a 
.+^  ( b  .+^  c ) ) )
6961, 66, 683eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  j  e.  X )  /\  ( F `  j
)  =  b )  /\  k  e.  X
)  /\  ( F `  k )  =  c )  ->  ( (
a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
70 foelrni 5921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  c  e.  Y
)  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
7110, 70sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  Y )  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
72713ad2antr3 1163 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
7372ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  E. k  e.  X  ( F `  k )  =  c )
7469, 73r19.29a 2999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i
)  =  a )  /\  j  e.  X
)  /\  ( F `  j )  =  b )  ->  ( (
a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
75253adantr3 1157 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
7675ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  E. j  e.  X  ( F `  j )  =  b )
7774, 76r19.29a 2999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y
) )  /\  i  e.  X )  /\  ( F `  i )  =  a )  -> 
( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
78303adantr3 1157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
7977, 78r19.29a 2999 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  -> 
( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
8032, 33, 34, 35, 79syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  Y  /\  b  e.  Y )
)  /\  c  e.  Y )  ->  (
( a  .+^  b ) 
.+^  c )  =  ( a  .+^  ( b 
.+^  c ) ) )
8180ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  A. c  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) )
8231, 81jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( ( a  .+^  b )  e.  Y  /\  A. c  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) ) )
8382ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  e.  Y  /\  A. c  e.  Y  ( ( a  .+^  b )  .+^  c )  =  ( a  .+^  ( b  .+^  c ) ) ) )
84 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
8516, 84mndidcl 16156 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8614, 85syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  X )
8712, 86ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  e.  Y )
88 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ph )
8988, 5syl3an1 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
9014ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  G  e.  Mnd )
9190, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
92 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  i  e.  X )
9389, 91, 92mhmlem 16408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( ( 0g `  G )  .+  i
) )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  ( F `  i ) ) )
9416, 17, 84mndlid 16159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  i  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  i
)  =  i )
9590, 92, 94syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  i )  =  i )
9695fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( ( 0g `  G )  .+  i
) )  =  ( F `  i ) )
9793, 96eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  ( F `  i ) )  =  ( F `
 i ) )
98 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  i )  =  a )
9998oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  ( F `  i ) )  =  ( ( F `  ( 0g
`  G ) ) 
.+^  a ) )
10097, 99, 983eqtr3d 2506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a )
10189, 92, 91mhmlem 16408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( i  .+  ( 0g `  G ) ) )  =  ( ( F `  i ) 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) ) )
10216, 17, 84mndrid 16160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  i  e.  X )  ->  ( i  .+  ( 0g `  G ) )  =  i )
10390, 92, 102syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( i  .+  ( 0g `  G
) )  =  i )
104103fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( F `  ( i  .+  ( 0g `  G ) ) )  =  ( F `
 i ) )
105101, 104eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  ( F `
 i ) )
10698oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( ( F `  i )  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  ( a 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) ) )
107105, 106, 983eqtr3d 2506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( a  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a )
108100, 107jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  Y )  /\  i  e.  X
)  /\  ( F `  i )  =  a )  ->  ( (
( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) )
10910, 29sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  E. i  e.  X  ( F `  i )  =  a )
110108, 109r19.29a 2999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a  /\  (
a  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) )
111110ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  ( ( ( F `
 ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a  /\  ( a  .+^  ( F `  ( 0g
`  G ) ) )  =  a ) )
112 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( d  .+^  a )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  a ) )
113112eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( (
d  .+^  a )  =  a  <->  ( ( F `
 ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a ) )
114 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( a  .+^  d )  =  ( a  .+^  ( F `  ( 0g `  G
) ) ) )
115114eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( (
a  .+^  d )  =  a  <->  ( a  .+^  ( F `  ( 0g
`  G ) ) )  =  a ) )
116113, 115anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( (
( d  .+^  a )  =  a  /\  (
a  .+^  d )  =  a )  <->  ( (
( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) ) )
117116ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( d  =  ( F `  ( 0g `  G ) )  ->  ( A. a  e.  Y  (
( d  .+^  a )  =  a  /\  (
a  .+^  d )  =  a )  <->  A. a  e.  Y  ( (
( F `  ( 0g `  G ) ) 
.+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) ) )
118117rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( ( F `  ( 0g `  G ) )  e.  Y  /\  A. a  e.  Y  (
( ( F `  ( 0g `  G ) )  .+^  a )  =  a  /\  (
a  .+^  ( F `  ( 0g `  G ) ) )  =  a ) )  ->  E. d  e.  Y  A. a  e.  Y  ( (
d  .+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  d )  =  a ) )
11987, 111, 118syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  Y  A. a  e.  Y  ( ( d  .+^  a )  =  a  /\  ( a  .+^  d )  =  a ) )
120 ghmgrp.y . . 3  |-  Y  =  ( Base `  H
)
121 ghmgrp.q . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  H )
122120, 121ismnd 16141 . 2  |-  ( H  e.  Mnd  <->  ( A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  (
( a  .+^  b )  e.  Y  /\  A. c  e.  Y  (
( a  .+^  b ) 
.+^  c )  =  ( a  .+^  ( b 
.+^  c ) ) )  /\  E. d  e.  Y  A. a  e.  Y  ( (
d  .+^  a )  =  a  /\  ( a 
.+^  d )  =  a ) ) )
12383, 119, 122sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   +g cplusg 14803   0gc0g 14948   Mndcmnd 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fo 5600  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-0g 14950  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139
This theorem is referenced by:  mhmfmhm  16411  ghmgrp  16412  ghmcmn  17058
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