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Theorem mhmf1o 16298
Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf1o.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mhmf1o.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
mhmf1o  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  `' F  e.  ( S MndHom  R ) ) )

Proof of Theorem mhmf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 16292 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  S  e.  Mnd )
2 mhmrcl1 16291 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  R  e.  Mnd )
31, 2jca 530 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( S  e.  Mnd  /\  R  e. 
Mnd ) )
43adantr 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( S  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd ) )
5 f1ocnv 5810 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  ->  `' F : C -1-1-onto-> B )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  `' F : C -1-1-onto-> B )
7 f1of 5798 . . . . 5  |-  ( `' F : C -1-1-onto-> B  ->  `' F : C --> B )
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  `' F : C --> B )
9 simpll 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
108adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  `' F : C --> B )
11 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  x  e.  C )
1210, 11ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( `' F `  x )  e.  B )
13 simprr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  y  e.  C )
1410, 13ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( `' F `  y )  e.  B )
15 mhmf1o.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
16 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
17 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1815, 16, 17mhmlin 16295 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  ( `' F `  x )  e.  B  /\  ( `' F `  y )  e.  B )  -> 
( F `  (
( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
20 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  F : B -1-1-onto-> C )
2120adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  F : B
-1-1-onto-> C )
22 f1ocnvfv2 6163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
2321, 11, 22syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
24 f1ocnvfv2 6163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  y  e.  C )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2521, 13, 24syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2623, 25oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
) ( +g  `  S
) ( F `  ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S
) y ) )
2719, 26eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S
) y ) )
282adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  R  e.  Mnd )
2928adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  R  e.  Mnd )
3015, 16mndcl 16251 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( `' F `  x )  e.  B  /\  ( `' F `  y )  e.  B )  -> 
( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) )  e.  B )
3129, 12, 14, 30syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) )  e.  B )
32 f1ocnvfv 6164 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) )  e.  B )  ->  ( ( F `
 ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) ) )
3321, 31, 32syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) ) )
3427, 33mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( `' F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )
3534ralrimivva 2824 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( `' F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )
36 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
37 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
3836, 37mhm0 16296 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  S ) )
3938adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  S
) )
4039eqcomd 2410 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( 0g `  S )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
4140fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( `' F `  ( F `  ( 0g `  R ) ) ) )
4215, 36mndidcl 16260 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Mnd  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
432, 42syl 17 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
4443adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
45 f1ocnvfv1 6162 . . . . . 6  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( `' F `  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4620, 44, 45syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( 0g `  R ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
4741, 46eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  R ) )
488, 35, 473jca 1177 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) )  /\  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
49 mhmf1o.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  S
)
5049, 15, 17, 16, 37, 36ismhm 16290 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( S MndHom  R )  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd )  /\  ( `' F : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) )  /\  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
514, 48, 50sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )
5215, 49mhmf 16293 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  F : B
--> C )
5352adantr 463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  F : B --> C )
54 ffn 5713 . . . 4  |-  ( F : B --> C  ->  F  Fn  B )
5553, 54syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  F  Fn  B )
5649, 15mhmf 16293 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( S MndHom  R )  ->  `' F : C --> B )
5756adantl 464 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  `' F : C --> B )
58 ffn 5713 . . . 4  |-  ( `' F : C --> B  ->  `' F  Fn  C
)
5957, 58syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  `' F  Fn  C )
60 dff1o4 5806 . . 3  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  ( F  Fn  B  /\  `' F  Fn  C ) )
6155, 59, 60sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  F : B -1-1-onto-> C )
6251, 61impbida 833 1  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  `' F  e.  ( S MndHom  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   `'ccnv 4821    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   0gc0g 15052   Mndcmnd 16241   MndHom cmhm 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288
This theorem is referenced by:  rhmf1o  17699
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