Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmf1o Structured version   Unicode version

Theorem mhmf1o 16298
 Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf1o.b
mhmf1o.c
Assertion
Ref Expression
mhmf1o MndHom MndHom

Proof of Theorem mhmf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 16292 . . . . 5 MndHom
2 mhmrcl1 16291 . . . . 5 MndHom
31, 2jca 530 . . . 4 MndHom
43adantr 463 . . 3 MndHom
5 f1ocnv 5810 . . . . . 6
65adantl 464 . . . . 5 MndHom
7 f1of 5798 . . . . 5
86, 7syl 17 . . . 4 MndHom
9 simpll 752 . . . . . . . 8 MndHom MndHom
108adantr 463 . . . . . . . . 9 MndHom
11 simprl 756 . . . . . . . . 9 MndHom
1210, 11ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8 MndHom
13 simprr 758 . . . . . . . . 9 MndHom
1410, 13ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8 MndHom
15 mhmf1o.b . . . . . . . . 9
16 eqid 2402 . . . . . . . . 9
17 eqid 2402 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17mhmlin 16295 . . . . . . . 8 MndHom
199, 12, 14, 18syl3anc 1230 . . . . . . 7 MndHom
20 simpr 459 . . . . . . . . . 10 MndHom
2120adantr 463 . . . . . . . . 9 MndHom
22 f1ocnvfv2 6163 . . . . . . . . 9
2321, 11, 22syl2anc 659 . . . . . . . 8 MndHom
24 f1ocnvfv2 6163 . . . . . . . . 9
2521, 13, 24syl2anc 659 . . . . . . . 8 MndHom
2623, 25oveq12d 6295 . . . . . . 7 MndHom
2719, 26eqtrd 2443 . . . . . 6 MndHom
282adantr 463 . . . . . . . . 9 MndHom
2928adantr 463 . . . . . . . 8 MndHom
3015, 16mndcl 16251 . . . . . . . 8
3129, 12, 14, 30syl3anc 1230 . . . . . . 7 MndHom
32 f1ocnvfv 6164 . . . . . . 7
3321, 31, 32syl2anc 659 . . . . . 6 MndHom
3427, 33mpd 15 . . . . 5 MndHom
3534ralrimivva 2824 . . . 4 MndHom
36 eqid 2402 . . . . . . . . 9
37 eqid 2402 . . . . . . . . 9
3836, 37mhm0 16296 . . . . . . . 8 MndHom
3938adantr 463 . . . . . . 7 MndHom
4039eqcomd 2410 . . . . . 6 MndHom
4140fveq2d 5852 . . . . 5 MndHom
4215, 36mndidcl 16260 . . . . . . . 8
432, 42syl 17 . . . . . . 7 MndHom
4443adantr 463 . . . . . 6 MndHom
45 f1ocnvfv1 6162 . . . . . 6
4620, 44, 45syl2anc 659 . . . . 5 MndHom
4741, 46eqtrd 2443 . . . 4 MndHom
488, 35, 473jca 1177 . . 3 MndHom
49 mhmf1o.c . . . 4
5049, 15, 17, 16, 37, 36ismhm 16290 . . 3 MndHom
514, 48, 50sylanbrc 662 . 2 MndHom MndHom
5215, 49mhmf 16293 . . . . 5 MndHom
5352adantr 463 . . . 4 MndHom MndHom
54 ffn 5713 . . . 4
5553, 54syl 17 . . 3 MndHom MndHom
5649, 15mhmf 16293 . . . . 5 MndHom
5756adantl 464 . . . 4 MndHom MndHom
58 ffn 5713 . . . 4
5957, 58syl 17 . . 3 MndHom MndHom
60 dff1o4 5806 . . 3
6155, 59, 60sylanbrc 662 . 2 MndHom MndHom
6251, 61impbida 833 1 MndHom MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753  ccnv 4821   wfn 5563  wf 5564  wf1o 5567  cfv 5568  (class class class)co 6277  cbs 14839   cplusg 14907  c0g 15052  cmnd 16241   MndHom cmhm 16286 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288 This theorem is referenced by:  rhmf1o  17699
 Copyright terms: Public domain W3C validator