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Theorem mhmf1o 15593
Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf1o.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mhmf1o.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
mhmf1o  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  `' F  e.  ( S MndHom  R ) ) )

Proof of Theorem mhmf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 15588 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  S  e.  Mnd )
2 mhmrcl1 15587 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  R  e.  Mnd )
31, 2jca 532 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( S  e.  Mnd  /\  R  e. 
Mnd ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( S  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd ) )
5 f1ocnv 5762 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  ->  `' F : C -1-1-onto-> B )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  `' F : C -1-1-onto-> B )
7 f1of 5750 . . . . 5  |-  ( `' F : C -1-1-onto-> B  ->  `' F : C --> B )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  `' F : C --> B )
9 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
108adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  `' F : C --> B )
11 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  x  e.  C )
1210, 11ffvelrnd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( `' F `  x )  e.  B )
13 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  y  e.  C )
1410, 13ffvelrnd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( `' F `  y )  e.  B )
15 mhmf1o.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
16 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
17 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1815, 16, 17mhmlin 15591 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  ( `' F `  x )  e.  B  /\  ( `' F `  y )  e.  B )  -> 
( F `  (
( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  F : B -1-1-onto-> C )
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  F : B
-1-1-onto-> C )
22 f1ocnvfv2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
2321, 11, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
24 f1ocnvfv2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  y  e.  C )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2521, 13, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2623, 25oveq12d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
) ( +g  `  S
) ( F `  ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S
) y ) )
2719, 26eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S
) y ) )
282adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  R  e.  Mnd )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  R  e.  Mnd )
3015, 16mndcl 15540 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( `' F `  x )  e.  B  /\  ( `' F `  y )  e.  B )  -> 
( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) )  e.  B )
3129, 12, 14, 30syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) )  e.  B )
32 f1ocnvfv 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) )  e.  B )  ->  ( ( F `
 ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) ) )
3321, 31, 32syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) ) ) )
3427, 33mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( `' F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )
3534ralrimivva 2914 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( `' F `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R ) ( `' F `  y ) ) )
36 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
37 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
3836, 37mhm0 15592 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  S ) )
3938adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  S
) )
4039eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( 0g `  S )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
4140fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( `' F `  ( F `  ( 0g `  R ) ) ) )
4215, 36mndidcl 15559 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Mnd  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
432, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
4443adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
45 f1ocnvfv1 6093 . . . . . 6  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  ( 0g `  R )  e.  B )  -> 
( `' F `  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4620, 44, 45syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( 0g `  R ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
4741, 46eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  R ) )
488, 35, 473jca 1168 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  ( `' F : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) )  /\  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
49 mhmf1o.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  S
)
5049, 15, 17, 16, 37, 36ismhm 15586 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( S MndHom  R )  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  R  e.  Mnd )  /\  ( `' F : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( `' F `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  R
) ( `' F `  y ) )  /\  ( `' F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
514, 48, 50sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  F : B -1-1-onto-> C )  ->  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )
5215, 49mhmf 15589 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  F : B
--> C )
5352adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  F : B --> C )
54 ffn 5668 . . . 4  |-  ( F : B --> C  ->  F  Fn  B )
5553, 54syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  F  Fn  B )
5649, 15mhmf 15589 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( S MndHom  R )  ->  `' F : C --> B )
5756adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  `' F : C --> B )
58 ffn 5668 . . . 4  |-  ( `' F : C --> B  ->  `' F  Fn  C
)
5957, 58syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  `' F  Fn  C )
60 dff1o4 5758 . . 3  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  ( F  Fn  B  /\  `' F  Fn  C ) )
6155, 59, 60sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  `' F  e.  ( S MndHom  R ) )  ->  F : B -1-1-onto-> C )
6251, 61impbida 828 1  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  `' F  e.  ( S MndHom  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   `'ccnv 4948    Fn wfn 5522   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   0gc0g 14498   Mndcmnd 15529   MndHom cmhm 15582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-map 7327  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-mhm 15584
This theorem is referenced by:  rhmf1o  16945
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