Theorem mhmf 16098

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	|- B = ( Base ` S )
mhmf.c	|- C = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhmf	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
2		mhmf.c	. . . 4 |- C = ( Base ` T )
3		eqid 2457	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2457	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		eqid 2457	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6		eqid 2457	. . . 4 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 16095	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
8	7	simprbi 464	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
9	8	simp1d 1008	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Mndcmnd 16046   MndHom cmhm 16091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-mhm 16093

This theorem is referenced by:  mhmf1o  16103  resmhm  16117  resmhm2  16118  resmhm2b  16119  mhmco  16120  mhmima  16121  mhmeql  16122  pwsco2mhm  16129  gsumwmhm  16140  frmdup3lem  16161  frmdup3  16162  mhmmulg  16301  ghmmhmb  16405  cntzmhm  16503  cntzmhm2  16504  frgpup3lem  16922  gsumzmhm  17084  gsumzmhmOLD  17085  gsummhm2  17088  gsummhm2OLD  17089  gsummptmhm  17090  mhmvlin  19026  mdetleib2  19217  mdetf  19224  mdetdiaglem  19227  mdetrlin  19231  mdetrsca  19232  mdetralt  19237  mdetunilem7  19247  mdetunilem8  19248  dchrelbas2  23638  dchrn0  23651  mhmhmeotmd  28070