Theorem mhmf 16636

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	|- B = ( Base ` S )
mhmf.c	|- C = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhmf	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
2		mhmf.c	. . . 4 |- C = ( Base ` T )
3		eqid 2462	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2462	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		eqid 2462	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6		eqid 2462	. . . 4 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 16633	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
8	7	simprbi 470	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
9	8	simp1d 1026	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   0gc0g 15387   Mndcmnd 16584   MndHom cmhm 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-map 7500  df-mhm 16631

This theorem is referenced by:  mhmf1o  16641  resmhm  16655  resmhm2  16656  resmhm2b  16657  mhmco  16658  mhmima  16659  mhmeql  16660  pwsco2mhm  16667  gsumwmhm  16678  frmdup3lem  16699  frmdup3  16700  mhmmulg  16839  ghmmhmb  16943  cntzmhm  17041  cntzmhm2  17042  frgpup3lem  17476  gsumzmhm  17619  gsummhm2  17621  gsummptmhm  17622  mhmvlin  19471  mdetleib2  19662  mdetf  19669  mdetdiaglem  19672  mdetrlin  19676  mdetrsca  19677  mdetralt  19682  mdetunilem7  19692  mdetunilem8  19693  dchrelbas2  24214  dchrn0  24227  mhmhmeotmd  28782