Theorem mhmf 15782

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	|- B = ( Base ` S )
mhmf.c	|- C = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhmf	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
2		mhmf.c	. . . 4 |- C = ( Base ` T )
3		eqid 2467	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2467	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		eqid 2467	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6		eqid 2467	. . . 4 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 15779	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
8	7	simprbi 464	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
9	8	simp1d 1008	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> F : B --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Mndcmnd 15722   MndHom cmhm 15775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-mhm 15777

This theorem is referenced by:  mhmf1o  15786  resmhm  15800  resmhm2  15801  resmhm2b  15802  mhmco  15803  mhmima  15804  mhmeql  15805  pwsco2mhm  15812  gsumwmhm  15836  frmdup3  15857  mhmmulg  15974  ghmmhmb  16073  cntzmhm  16171  cntzmhm2  16172  frgpup3lem  16591  gsumzmhm  16748  gsumzmhmOLD  16749  gsummhm2  16752  gsummhm2OLD  16753  gsummptmhm  16754  mhmvlin  18666  mdetleib2  18857  mdetf  18864  mdetdiaglem  18867  mdetrlin  18871  mdetrsca  18872  mdetralt  18877  mdetunilem7  18887  mdetunilem8  18888  dchrelbas2  23240  dchrn0  23253  mhmhmeotmd  27545