Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmeql Structured version   Unicode version

Theorem mhmeql 16319
 Description: The equalizer of two monoid homomorphisms is a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmeql MndHom MndHom SubMnd

Proof of Theorem mhmeql
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . . 6
2 eqid 2402 . . . . . 6
31, 2mhmf 16295 . . . . 5 MndHom
43adantr 463 . . . 4 MndHom MndHom
5 ffn 5714 . . . 4
64, 5syl 17 . . 3 MndHom MndHom
71, 2mhmf 16295 . . . . 5 MndHom
87adantl 464 . . . 4 MndHom MndHom
9 ffn 5714 . . . 4
108, 9syl 17 . . 3 MndHom MndHom
11 fndmin 5972 . . 3
126, 10, 11syl2anc 659 . 2 MndHom MndHom
13 ssrab2 3524 . . . 4
1413a1i 11 . . 3 MndHom MndHom
15 mhmrcl1 16293 . . . . . 6 MndHom
1615adantr 463 . . . . 5 MndHom MndHom
17 eqid 2402 . . . . . 6
181, 17mndidcl 16262 . . . . 5
1916, 18syl 17 . . . 4 MndHom MndHom
20 eqid 2402 . . . . . . 7
2117, 20mhm0 16298 . . . . . 6 MndHom
2221adantr 463 . . . . 5 MndHom MndHom
2317, 20mhm0 16298 . . . . . 6 MndHom
2423adantl 464 . . . . 5 MndHom MndHom
2522, 24eqtr4d 2446 . . . 4 MndHom MndHom
26 fveq2 5849 . . . . . 6
27 fveq2 5849 . . . . . 6
2826, 27eqeq12d 2424 . . . . 5
2928elrab 3207 . . . 4
3019, 25, 29sylanbrc 662 . . 3 MndHom MndHom
3116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
32 simplrl 762 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
33 simprl 756 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
34 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
351, 34mndcl 16253 . . . . . . . . . . 11
3631, 32, 33, 35syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10 MndHom MndHom
37 simplll 760 . . . . . . . . . . . 12 MndHom MndHom MndHom
38 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13
391, 34, 38mhmlin 16297 . . . . . . . . . . . 12 MndHom
4037, 32, 33, 39syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
41 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom MndHom MndHom
421, 34, 38mhmlin 16297 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom
4341, 32, 33, 42syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12 MndHom MndHom
44 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom MndHom
45 simprr 758 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom MndHom
4644, 45oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . 12 MndHom MndHom
4743, 46eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
4840, 47eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10 MndHom MndHom
49 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12
50 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . 11
5251elrab 3207 . . . . . . . . . 10
5336, 48, 52sylanbrc 662 . . . . . . . . 9 MndHom MndHom
5453expr 613 . . . . . . . 8 MndHom MndHom
5554ralrimiva 2818 . . . . . . 7 MndHom MndHom
56 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
57 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
5856, 57eqeq12d 2424 . . . . . . . 8
5958ralrab 3211 . . . . . . 7
6055, 59sylibr 212 . . . . . 6 MndHom MndHom
6160expr 613 . . . . 5 MndHom MndHom
6261ralrimiva 2818 . . . 4 MndHom MndHom
63 fveq2 5849 . . . . . 6
64 fveq2 5849 . . . . . 6
6563, 64eqeq12d 2424 . . . . 5
6665ralrab 3211 . . . 4
6762, 66sylibr 212 . . 3 MndHom MndHom
681, 17, 34issubm 16302 . . . 4 SubMnd
6916, 68syl 17 . . 3 MndHom MndHom SubMnd
7014, 30, 67, 69mpbir3and 1180 . 2 MndHom MndHom SubMnd
7112, 70eqeltrd 2490 1 MndHom MndHom SubMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  crab 2758   cin 3413   wss 3414   cdm 4823   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909  c0g 15054  cmnd 16243   MndHom cmhm 16288  SubMndcsubmnd 16289 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291 This theorem is referenced by:  ghmeql  16613  rhmeql  17779
 Copyright terms: Public domain W3C validator