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Theorem mhmeql 16319
Description: The equalizer of two monoid homomorphisms is a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmeql  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  (SubMnd `  S )
)

Proof of Theorem mhmeql
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
31, 2mhmf 16295 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
43adantr 463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
5 ffn 5714 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
71, 2mhmf 16295 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
87adantl 464 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
9 ffn 5714 . . . 4  |-  ( G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
11 fndmin 5972 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  G  Fn  ( Base `  S
) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } )
126, 10, 11syl2anc 659 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
13 ssrab2 3524 . . . 4  |-  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  C_  ( Base `  S )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  C_  ( Base `  S ) )
15 mhmrcl1 16293 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  S  e.  Mnd )
1615adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  S  e.  Mnd )
17 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
181, 17mndidcl 16262 . . . . 5  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
1916, 18syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )
)
20 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2117, 20mhm0 16298 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2221adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2317, 20mhm0 16298 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2423adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2522, 24eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) )
26 fveq2 5849 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
27 fveq2 5849 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( 0g `  S ) ) )
2826, 27eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) ) )
2928elrab 3207 . . . 4  |-  ( ( 0g `  S )  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  <->  ( ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) ) )
3019, 25, 29sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
3116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  S  e.  Mnd )
32 simplrl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  S )
)
33 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
34 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
351, 34mndcl 16253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
3631, 32, 33, 35syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
37 simplll 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  F  e.  ( S MndHom  T ) )
38 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
391, 34, 38mhmlin 16297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
4037, 32, 33, 39syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
41 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  G  e.  ( S MndHom  T ) )
421, 34, 38mhmlin 16297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
4341, 32, 33, 42syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
44 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
45 simprr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )
4644, 45oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  T ) ( F `  y
) )  =  ( ( G `  x
) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
4743, 46eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
4840, 47eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
49 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
50 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
5149, 50eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) ) )
5251elrab 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  ( ( x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) ) )
5336, 48, 52sylanbrc 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
5453expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 y )  -> 
( x ( +g  `  S ) y )  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } ) )
5554ralrimiva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( F `  y )  =  ( G `  y )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
56 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
57 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
5856, 57eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
5958ralrab 3211 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( F `  y )  =  ( G `  y )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6055, 59sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  A. y  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  (
x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
6160expr 613 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  ->  A. y  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6261ralrimiva 2818 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
)  ->  A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
63 fveq2 5849 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
64 fveq2 5849 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
6563, 64eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
6665ralrab 3211 . . . 4  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
)  ->  A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6762, 66sylibr 212 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } A. y  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
681, 17, 34issubm 16302 . . . 4  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  e.  (SubMnd `  S )  <->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  C_  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S
)  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  /\  A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) ) )
6916, 68syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  e.  (SubMnd `  S )  <->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  C_  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S
)  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  /\  A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) ) )
7014, 30, 67, 69mpbir3and 1180 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  e.  (SubMnd `  S ) )
7112, 70eqeltrd 2490 1  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  (SubMnd `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758    i^i cin 3413    C_ wss 3414   dom cdm 4823    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   Mndcmnd 16243   MndHom cmhm 16288  SubMndcsubmnd 16289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291
This theorem is referenced by:  ghmeql  16613  rhmeql  17779
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