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Theorem mhmco 16609
Description: The composition of monoid homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmco  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S MndHom  U ) )

Proof of Theorem mhmco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 16586 . . 3  |-  ( F  e.  ( T MndHom  U
)  ->  U  e.  Mnd )
2 mhmrcl1 16585 . . 3  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  S  e.  Mnd )
31, 2anim12ci 571 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( S  e.  Mnd  /\  U  e. 
Mnd ) )
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
5 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
64, 5mhmf 16587 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T MndHom  U
)  ->  F :
( Base `  T ) --> ( Base `  U )
)
7 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
87, 4mhmf 16587 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
9 fco 5739 . . . 4  |-  ( ( F : ( Base `  T ) --> ( Base `  U )  /\  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )  ->  ( F  o.  G ) : ( Base `  S
) --> ( Base `  U
) )
106, 8, 9syl2an 480 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F  o.  G ) : (
Base `  S ) --> ( Base `  U )
)
11 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
12 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
137, 11, 12mhmlin 16589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
14133expb 1209 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( S MndHom  T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( G `
 x ) ( +g  `  T ) ( G `  y
) ) )
1514adantll 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( G `
 x ) ( +g  `  T ) ( G `  y
) ) )
1615fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) )  =  ( F `  ( ( G `  x ) ( +g  `  T ) ( G `
 y ) ) ) )
17 simpll 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T MndHom  U ) )
188ad2antlr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
19 simprl 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
2018, 19ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( Base `  T ) )
21 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  S ) )
2218, 21ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( Base `  T ) )
23 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
244, 12, 23mhmlin 16589 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( F `  ( ( G `  x ) ( +g  `  T ) ( G `
 y ) ) )  =  ( ( F `  ( G `
 x ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( G `  y ) ) ) )
2517, 20, 22, 24syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  (
( G `  x
) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
2616, 25eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
272adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  S  e.  Mnd )
287, 11mndcl 16545 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
29283expb 1209 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
3027, 29sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( x ( +g  `  S ) y )  e.  ( Base `  S
) )
31 fvco3 5942 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) ) )
3218, 30, 31syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( F `  ( G `  ( x ( +g  `  S
) y ) ) ) )
33 fvco3 5942 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
3418, 19, 33syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
35 fvco3 5942 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3618, 21, 35syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  y
)  =  ( F `
 ( G `  y ) ) )
3734, 36oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
3826, 32, 373eqtr4d 2495 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G ) `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
3938ralrimivva 2809 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
408adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
41 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
427, 41mndidcl 16554 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
4327, 42syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )
)
44 fvco3 5942 . . . . 5  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  ( 0g `  S ) )  =  ( F `  ( G `  ( 0g `  S ) ) ) )
4540, 43, 44syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  ( 0g `  S
) )  =  ( F `  ( G `
 ( 0g `  S ) ) ) )
46 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4741, 46mhm0 16590 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4847adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4948fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( G `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( F `
 ( 0g `  T ) ) )
50 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5146, 50mhm0 16590 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T MndHom  U
)  ->  ( F `  ( 0g `  T
) )  =  ( 0g `  U ) )
5251adantr 467 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  T
) )  =  ( 0g `  U ) )
5345, 49, 523eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  U ) )
5410, 39, 533jca 1188 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : ( Base `  S
) --> ( Base `  U
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) )  /\  (
( F  o.  G
) `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  U
) ) )
557, 5, 11, 23, 41, 50ismhm 16584 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  e.  ( S MndHom  U
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  U  e.  Mnd )  /\  (
( F  o.  G
) : ( Base `  S ) --> ( Base `  U )  /\  A. x  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) )  /\  (
( F  o.  G
) `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  U
) ) ) )
563, 54, 55sylanbrc 670 1  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S MndHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   Mndcmnd 16535   MndHom cmhm 16580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582
This theorem is referenced by:  ghmco  16902  rhmco  17965  zrhpsgnmhm  19152  lgseisenlem4  24280
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