Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmco Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mhmco 16687
 Description: The composition of monoid homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmco MndHom MndHom MndHom

Proof of Theorem mhmco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 16664 . . 3 MndHom
2 mhmrcl1 16663 . . 3 MndHom
31, 2anim12ci 577 . 2 MndHom MndHom
4 eqid 2471 . . . . 5
5 eqid 2471 . . . . 5
64, 5mhmf 16665 . . . 4 MndHom
7 eqid 2471 . . . . 5
87, 4mhmf 16665 . . . 4 MndHom
9 fco 5751 . . . 4
106, 8, 9syl2an 485 . . 3 MndHom MndHom
11 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
12 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
137, 11, 12mhmlin 16667 . . . . . . . . 9 MndHom
14133expb 1232 . . . . . . . 8 MndHom
1514adantll 728 . . . . . . 7 MndHom MndHom
1615fveq2d 5883 . . . . . 6 MndHom MndHom
17 simpll 768 . . . . . . 7 MndHom MndHom MndHom
188ad2antlr 741 . . . . . . . 8 MndHom MndHom
19 simprl 772 . . . . . . . 8 MndHom MndHom
2018, 19ffvelrnd 6038 . . . . . . 7 MndHom MndHom
21 simprr 774 . . . . . . . 8 MndHom MndHom
2218, 21ffvelrnd 6038 . . . . . . 7 MndHom MndHom
23 eqid 2471 . . . . . . . 8
244, 12, 23mhmlin 16667 . . . . . . 7 MndHom
2517, 20, 22, 24syl3anc 1292 . . . . . 6 MndHom MndHom
2616, 25eqtrd 2505 . . . . 5 MndHom MndHom
272adantl 473 . . . . . . 7 MndHom MndHom
287, 11mndcl 16623 . . . . . . . 8
29283expb 1232 . . . . . . 7
3027, 29sylan 479 . . . . . 6 MndHom MndHom
31 fvco3 5957 . . . . . 6
3218, 30, 31syl2anc 673 . . . . 5 MndHom MndHom
33 fvco3 5957 . . . . . . 7
3418, 19, 33syl2anc 673 . . . . . 6 MndHom MndHom
35 fvco3 5957 . . . . . . 7
3618, 21, 35syl2anc 673 . . . . . 6 MndHom MndHom
3734, 36oveq12d 6326 . . . . 5 MndHom MndHom
3826, 32, 373eqtr4d 2515 . . . 4 MndHom MndHom
3938ralrimivva 2814 . . 3 MndHom MndHom
408adantl 473 . . . . 5 MndHom MndHom
41 eqid 2471 . . . . . . 7
427, 41mndidcl 16632 . . . . . 6
4327, 42syl 17 . . . . 5 MndHom MndHom
44 fvco3 5957 . . . . 5
4540, 43, 44syl2anc 673 . . . 4 MndHom MndHom
46 eqid 2471 . . . . . . 7
4741, 46mhm0 16668 . . . . . 6 MndHom
4847adantl 473 . . . . 5 MndHom MndHom
4948fveq2d 5883 . . . 4 MndHom MndHom
50 eqid 2471 . . . . . 6
5146, 50mhm0 16668 . . . . 5 MndHom
5251adantr 472 . . . 4 MndHom MndHom
5345, 49, 523eqtrd 2509 . . 3 MndHom MndHom
5410, 39, 533jca 1210 . 2 MndHom MndHom
557, 5, 11, 23, 41, 50ismhm 16662 . 2 MndHom
563, 54, 55sylanbrc 677 1 MndHom MndHom MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416  cmnd 16613   MndHom cmhm 16658 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660 This theorem is referenced by:  ghmco  16980  rhmco  18043  zrhpsgnmhm  19229  lgseisenlem4  24359
 Copyright terms: Public domain W3C validator