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Theorem mhmco 16315
Description: The composition of monoid homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmco  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S MndHom  U ) )

Proof of Theorem mhmco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 16292 . . 3  |-  ( F  e.  ( T MndHom  U
)  ->  U  e.  Mnd )
2 mhmrcl1 16291 . . 3  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  S  e.  Mnd )
31, 2anim12ci 565 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( S  e.  Mnd  /\  U  e. 
Mnd ) )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
64, 5mhmf 16293 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T MndHom  U
)  ->  F :
( Base `  T ) --> ( Base `  U )
)
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
87, 4mhmf 16293 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
9 fco 5723 . . . 4  |-  ( ( F : ( Base `  T ) --> ( Base `  U )  /\  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )  ->  ( F  o.  G ) : ( Base `  S
) --> ( Base `  U
) )
106, 8, 9syl2an 475 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F  o.  G ) : (
Base `  S ) --> ( Base `  U )
)
11 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
12 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
137, 11, 12mhmlin 16295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
14133expb 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( S MndHom  T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( G `
 x ) ( +g  `  T ) ( G `  y
) ) )
1514adantll 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( G `
 x ) ( +g  `  T ) ( G `  y
) ) )
1615fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) )  =  ( F `  ( ( G `  x ) ( +g  `  T ) ( G `
 y ) ) ) )
17 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T MndHom  U ) )
188ad2antlr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
19 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
2018, 19ffvelrnd 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( Base `  T ) )
21 simprr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  S ) )
2218, 21ffvelrnd 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( Base `  T ) )
23 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
244, 12, 23mhmlin 16295 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( F `  ( ( G `  x ) ( +g  `  T ) ( G `
 y ) ) )  =  ( ( F `  ( G `
 x ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( G `  y ) ) ) )
2517, 20, 22, 24syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  (
( G `  x
) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
2616, 25eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
272adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  S  e.  Mnd )
287, 11mndcl 16251 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
29283expb 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
3027, 29sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( x ( +g  `  S ) y )  e.  ( Base `  S
) )
31 fvco3 5925 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) ) )
3218, 30, 31syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( F `  ( G `  ( x ( +g  `  S
) y ) ) ) )
33 fvco3 5925 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
3418, 19, 33syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
35 fvco3 5925 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3618, 21, 35syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  y
)  =  ( F `
 ( G `  y ) ) )
3734, 36oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
3826, 32, 373eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G ) `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
3938ralrimivva 2824 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
408adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
41 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
427, 41mndidcl 16260 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
4327, 42syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )
)
44 fvco3 5925 . . . . 5  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  ( 0g `  S ) )  =  ( F `  ( G `  ( 0g `  S ) ) ) )
4540, 43, 44syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  ( 0g `  S
) )  =  ( F `  ( G `
 ( 0g `  S ) ) ) )
46 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4741, 46mhm0 16296 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4847adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4948fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( G `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( F `
 ( 0g `  T ) ) )
50 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5146, 50mhm0 16296 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T MndHom  U
)  ->  ( F `  ( 0g `  T
) )  =  ( 0g `  U ) )
5251adantr 463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  T
) )  =  ( 0g `  U ) )
5345, 49, 523eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  U ) )
5410, 39, 533jca 1177 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : ( Base `  S
) --> ( Base `  U
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) )  /\  (
( F  o.  G
) `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  U
) ) )
557, 5, 11, 23, 41, 50ismhm 16290 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  e.  ( S MndHom  U
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  U  e.  Mnd )  /\  (
( F  o.  G
) : ( Base `  S ) --> ( Base `  U )  /\  A. x  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) )  /\  (
( F  o.  G
) `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  U
) ) ) )
563, 54, 55sylanbrc 662 1  |-  ( ( F  e.  ( T MndHom  U )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S MndHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    o. ccom 4826   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   0gc0g 15052   Mndcmnd 16241   MndHom cmhm 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288
This theorem is referenced by:  ghmco  16608  rhmco  17704  zrhpsgnmhm  18916  lgseisenlem4  24006
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