MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhm0 Structured version   Unicode version

Theorem mhm0 16296
Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhm0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
mhm0.y  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
mhm0  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F `  .0.  )  =  Y )

Proof of Theorem mhm0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
5 mhm0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
6 mhm0.y . . . 4  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 16290 . . 3  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y ) ) )
87simprbi 462 . 2  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y ) )
98simp3d 1011 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F `  .0.  )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   0gc0g 15052   Mndcmnd 16241   MndHom cmhm 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-mhm 16288
This theorem is referenced by:  mhmf1o  16298  resmhm  16312  resmhm2  16313  resmhm2b  16314  mhmco  16315  mhmima  16316  mhmeql  16317  pwsco2mhm  16324  gsumwmhm  16335  mhmmulg  16496  gsumzmhm  17278  gsumzmhmOLD  17279  rhm1  17697  madetsumid  19253  mdetunilem7  19410  pm2mp  19616  dchrzrh1  23898  dchrmulcl  23903  dchrn0  23904  dchrinvcl  23907  dchrfi  23909  dchrabs  23914  sumdchr2  23924  rpvmasum2  24076
  Copyright terms: Public domain W3C validator