Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumunsn Structured version   Unicode version

Theorem mgpsumunsn 33224
Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpsumunsn.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mgpsumunsn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mgpsumunsn.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mgpsumunsn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mgpsumunsn.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  N )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
mgpsumunsn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  R ) )
mgpsumunsn.e  |-  ( k  =  I  ->  A  =  X )
Assertion
Ref Expression
mgpsumunsn  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  N  |->  A ) )  =  ( ( M  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  A ) )  .x.  X ) )
Distinct variable groups:    k, I    k, M    k, N    R, k    ph, k    k, X
Allowed substitution hints:    A( k)    .x. ( k)

Proof of Theorem mgpsumunsn
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
2 difsnid 4162 . . . . . 6  |-  ( I  e.  N  ->  (
( N  \  {
I } )  u. 
{ I } )  =  N )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  \  { I } )  u.  { I }
)  =  N )
43eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  \  { I } )  u.  {
I } ) )
54mpteq1d 4520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  N  |->  A )  =  ( k  e.  ( ( N  \  { I } )  u.  {
I } )  |->  A ) )
65oveq2d 6286 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  N  |->  A ) )  =  ( M  gsumg  ( k  e.  ( ( N  \  {
I } )  u. 
{ I } ) 
|->  A ) ) )
7 mgpsumunsn.m . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
97, 8mgpbas 17345 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
10 mgpsumunsn.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
117, 10mgpplusg 17343 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  M )
12 mgpsumunsn.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
137crngmgp 17404 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  M  e. CMnd )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e. CMnd )
15 mgpsumunsn.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
16 diffi 7744 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { I }
)  e.  Fin )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  \  {
I } )  e. 
Fin )
18 eldifi 3612 . . . 4  |-  ( k  e.  ( N  \  { I } )  ->  k  e.  N
)
19 mgpsumunsn.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  N )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
2018, 19sylan2 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( N  \  { I } ) )  ->  A  e.  ( Base `  R ) )
21 neldifsnd 4144 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  I  e.  ( N  \  { I } ) )
22 mgpsumunsn.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  R ) )
23 mgpsumunsn.e . . 3  |-  ( k  =  I  ->  A  =  X )
249, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23gsumunsn 17185 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  ( ( N  \  {
I } )  u. 
{ I } ) 
|->  A ) )  =  ( ( M  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  A ) )  .x.  X ) )
256, 24eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  N  |->  A ) )  =  ( ( M  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  A ) )  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    u. cun 3459   {csn 4016    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14719   .rcmulr 14788    gsumg cgsu 14933  CMndccmn 17000  mulGrpcmgp 17339   CRingccrg 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-cring 17399
This theorem is referenced by:  mgpsumz  33225  mgpsumn  33226
  Copyright terms: Public domain W3C validator