MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Structured version   Unicode version

Theorem mgplem 17018
Description: Lemma for mgpbas 17019. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgplem.2  |-  E  = Slot 
N
mgplem.3  |-  N  e.  NN
mgplem.4  |-  N  =/=  2
Assertion
Ref Expression
mgplem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 mgplem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 14528 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 mgplem.4 . . . 4  |-  N  =/=  2
51, 2ndxarg 14527 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
6 plusgndx 14606 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
75, 6neeq12i 2756 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx ) 
<->  N  =/=  2 )
84, 7mpbir 209 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
93, 8setsnid 14549 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
10 mgpbas.1 . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1210, 11mgpval 17016 . . 3  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R
) >. )
1312fveq2i 5875 . 2  |-  ( E `
 M )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
149, 13eqtr4i 2499 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   <.cop 4039   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   NNcn 10548   2c2 10597   ndxcnx 14504   sSet csts 14505  Slot cslot 14506   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573  mulGrpcmgp 17013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mgp 17014
This theorem is referenced by:  mgpbas  17019  mgpsca  17020  mgptset  17021  mgpds  17023
  Copyright terms: Public domain W3C validator