MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Structured version   Unicode version

Theorem mgplem 17671
Description: Lemma for mgpbas 17672. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgplem.2  |-  E  = Slot 
N
mgplem.3  |-  N  e.  NN
mgplem.4  |-  N  =/=  2
Assertion
Ref Expression
mgplem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 mgplem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 15085 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 mgplem.4 . . . 4  |-  N  =/=  2
51, 2ndxarg 15084 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
6 plusgndx 15167 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
75, 6neeq12i 2667 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx ) 
<->  N  =/=  2 )
84, 7mpbir 212 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
93, 8setsnid 15108 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
10 mgpbas.1 . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
11 eqid 2428 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1210, 11mgpval 17669 . . 3  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R
) >. )
1312fveq2i 5828 . 2  |-  ( E `
 M )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
149, 13eqtr4i 2453 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   <.cop 3947   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   NNcn 10560   2c2 10610   ndxcnx 15061   sSet csts 15062  Slot cslot 15063   +g cplusg 15133   .rcmulr 15134  mulGrpcmgp 17666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-nn 10561  df-2 10619  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-sets 15070  df-plusg 15146  df-mgp 17667
This theorem is referenced by:  mgpbas  17672  mgpsca  17673  mgptset  17674  mgpds  17676
  Copyright terms: Public domain W3C validator