MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Structured version   Unicode version

Theorem mgpbas 17273
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpbas.2  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
mgpbas  |-  B  =  ( Base `  M
)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mgpbas.1 . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  R )
3 df-base 14648 . . 3  |-  Base  = Slot  1
4 1nn 10567 . . 3  |-  1  e.  NN
5 1ne2 10769 . . 3  |-  1  =/=  2
62, 3, 4, 5mgplem 17272 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
71, 6eqtri 2486 1  |-  B  =  ( Base `  M
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395   ` cfv 5594   1c1 9510   Basecbs 14643  mulGrpcmgp 17267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-mgp 17268
This theorem is referenced by:  mgptopn  17276  mgpress  17278  dfur2  17282  srgcl  17290  srgass  17291  srgideu  17292  srgidcl  17295  srgidmlem  17297  issrgid  17300  srg1zr  17306  srgpcomp  17309  srgpcompp  17310  srgpcomppsc  17311  srgbinomlem1  17317  srgbinomlem4  17320  srgbinomlem  17321  srgbinom  17322  csrgbinom  17323  ringcl  17338  crngcom  17339  iscrng2  17340  ringass  17341  ringideu  17342  ringidcl  17345  ringidmlem  17347  isringid  17350  ringidss  17351  ringpropd  17356  crngpropd  17357  isringd  17359  iscrngd  17360  ring1  17374  gsummgp0  17382  prdsmgp  17385  oppr1  17409  unitgrpbas  17441  unitsubm  17445  rngidpropd  17470  dfrhm2  17492  rhmmul  17502  isrhm2d  17503  idrhm  17506  rhmf1o  17507  pwsco1rhm  17513  pwsco2rhm  17514  isdrng2  17532  drngmcl  17535  drngid2  17538  isdrngd  17547  subrgsubm  17568  issubrg3  17583  cntzsubr  17587  pwsdiagrhm  17588  rhmpropd  17590  rlmscaf  17980  sraassa  18100  assamulgscmlem1  18123  assamulgscmlem2  18124  psrcrng  18194  mplcoe3  18254  mplcoe3OLD  18255  mplcoe5lem  18256  mplcoe5  18257  mplcoe2OLD  18259  mplbas2  18260  mplbas2OLD  18261  evlslem6  18307  evlslem6OLD  18308  evlslem3  18309  evlslem1  18310  mpfind  18331  ply1moncl  18438  coe1tm  18440  coe1pwmul  18446  ply1scltm  18448  ply1coefsupp  18462  ply1coe  18463  ply1coeOLD  18464  gsummoncoe1  18472  lply1binomsc  18475  evls1gsummul  18488  evls1varpw  18489  evl1expd  18507  evl1gsummul  18522  evl1scvarpw  18525  evl1scvarpwval  18526  evl1gsummon  18527  xrsmcmn  18567  cnfldexp  18577  cnmsubglem  18606  expmhm  18611  nn0srg  18612  rge0srg  18613  expghm  18655  expghmOLD  18656  cnmsgnbas  18740  ringvcl  19026  mamuvs2  19034  matgsumcl  19088  madetsmelbas  19092  madetsmelbas2  19093  mat1mhm  19112  scmatmhm  19162  mdetleib2  19216  mdetf  19223  m1detdiag  19225  mdetdiaglem  19226  mdetdiag  19227  mdetdiagid  19228  mdetrlin  19230  mdetrsca  19231  mdetralt  19236  mdetunilem7  19246  mdetunilem8  19247  mdetuni0  19249  m2detleiblem2  19256  m2detleiblem3  19257  m2detleiblem4  19258  smadiadetlem4  19297  mat2pmatmhm  19360  pmatcollpwscmatlem1  19416  mply1topmatcllem  19430  mply1topmatcl  19432  pm2mpghm  19443  pm2mpmhm  19447  monmat2matmon  19451  pm2mp  19452  chpscmat  19469  chpscmatgsumbin  19471  chpscmatgsummon  19472  chp0mat  19473  chpidmat  19474  chfacfscmulcl  19484  chfacfscmul0  19485  chfacfscmulgsum  19487  chfacfpmmulcl  19488  chfacfpmmul0  19489  chfacfpmmulgsum  19491  chfacfpmmulgsum2  19492  cayhamlem1  19493  cpmadugsumlemB  19501  cpmadugsumlemC  19502  cpmadugsumlemF  19503  cayhamlem2  19511  cayhamlem4  19515  nrgtrg  21323  deg1pw  22646  ply1remlem  22688  fta1blem  22694  plypf1  22734  efabl  23062  efsubm  23063  amgm  23445  wilthlem2  23468  wilthlem3  23469  dchrelbas2  23637  dchrelbas3  23638  dchrzrhmul  23646  dchrmulcl  23649  dchrn0  23650  dchrinvcl  23653  dchrfi  23655  dchrsum2  23668  sum2dchr  23674  lgsqrlem1  23741  lgsqrlem2  23742  lgsqrlem3  23743  lgsqrlem4  23744  lgseisenlem3  23751  lgseisenlem4  23752  dchrisum0flblem1  23818  iistmd  28037  xrge0iifmhm  28074  xrge0pluscn  28075  pl1cn  28090  hbtlem4  31237  subrgacs  31311  cntzsdrg  31313  idomrootle  31314  isdomn3  31326  mon1psubm  31328  deg1mhm  31329  isringrng  32789  rngcl  32791  isrnghmmul  32801  rnghmf1o  32811  idrnghm  32816  c0rhm  32820  c0rnghm  32821  lidlmmgm  32833  lidlmsgrp  32834  2zrngmmgm  32854  2zrngmsgrp  32855  2zrngnring  32860  cznrng  32865  cznnring  32866  mgpsumunsn  33053  mgpsumz  33054  mgpsumn  33055  invginvrid  33062  ply1vr1smo  33083  ply1mulgsumlem4  33091  ply1mulgsum  33092
  Copyright terms: Public domain W3C validator