MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Structured version   Unicode version

Theorem mgpbas 16571
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpbas.2  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
mgpbas  |-  B  =  ( Base `  M
)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mgpbas.1 . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  R )
3 df-base 14162 . . 3  |-  Base  = Slot  1
4 1nn 10321 . . 3  |-  1  e.  NN
5 1ne2 10522 . . 3  |-  1  =/=  2
62, 3, 4, 5mgplem 16570 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
71, 6eqtri 2453 1  |-  B  =  ( Base `  M
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1362   ` cfv 5406   1c1 9271   Basecbs 14157  mulGrpcmgp 16565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-plusg 14234  df-mgp 16566
This theorem is referenced by:  mgptopn  16574  mgpress  16576  dfur2  16584  rngcl  16594  crngcom  16595  iscrng2  16596  rngass  16597  rngideu  16598  rngidcl  16601  rngidmlem  16603  isrngid  16606  rngidss  16607  rngpropd  16612  crngpropd  16613  isrngd  16615  iscrngd  16616  gsummgp0  16634  prdsmgp  16637  oppr1  16660  unitgrpbas  16692  unitsubm  16696  rngidpropd  16721  dfrhm2  16742  rhmmul  16749  isrhm2d  16750  pwsco1rhm  16754  pwsco2rhm  16755  isdrng2  16766  drngmcl  16769  drngid2  16772  isdrngd  16781  subrgsubm  16802  issubrg3  16817  cntzsubr  16821  pwsdiagrhm  16822  rhmpropd  16824  rlmscaf  17211  sraassa  17318  psrcrng  17419  mplcoe3  17479  mplcoe3OLD  17480  mplcoe2  17481  mplcoe2OLD  17482  mplbas2  17483  mplbas2OLD  17484  ply1tmcl  17623  coe1tm  17624  coe1pwmul  17630  ply1scltm  17632  ply1coe  17643  xrsmcmn  17683  cnfldexp  17693  cnmsubglem  17719  expmhm  17724  expghm  17765  expghmOLD  17766  cnmsgnbas  17850  rngvcl  18140  mamuvs2  18152  matgsumcl  18187  madetsmelbas  18191  madetsmelbas2  18192  mdetleib2  18241  mdetf  18248  mdet1  18250  mdetrlin  18251  mdetrsca  18252  mdetralt  18256  mdetunilem7  18266  mdetunilem8  18267  mdetuni0  18269  m2detleiblem2  18276  m2detleiblem3  18277  m2detleiblem4  18278  smadiadetlem4  18317  nrgtrg  20112  evlslem6  21364  evlslem6OLD  21365  evlslem3  21366  evlslem1  21367  evl1expd  21389  mpfind  21396  deg1pwle  21476  deg1pw  21477  ply1remlem  21519  fta1blem  21525  plypf1  21565  amgm  22269  wilthlem2  22292  wilthlem3  22293  dchrelbas2  22461  dchrelbas3  22462  dchrzrhmul  22470  dchrmulcl  22473  dchrn0  22474  dchrinvcl  22477  dchrfi  22479  dchrsum2  22492  sum2dchr  22498  lgsqrlem1  22565  lgsqrlem2  22566  lgsqrlem3  22567  lgsqrlem4  22568  lgseisenlem3  22575  lgseisenlem4  22576  dchrisum0flblem1  22642  srgcl  26048  srgass  26049  srgideu  26050  srgidcl  26053  srgidmlem  26055  issrgid  26058  nn0srg  26063  rge0srg  26064  iistmd  26186  xrge0iifmhm  26223  xrge0pluscn  26224  pl1cn  26239  hbtlem4  29327  subrgacs  29402  cntzsdrg  29404  idomrootle  29405  isdomn3  29417  mon1psubm  29419  deg1mhm  29420  mgpsumunsn  30594  mgpsumz  30595  mgpsumn  30596  invginvrid  30604  ply1vr1smo  30634  ply1moncl  30635  ply1coefsupp  30643  m1detdiag  30664  mdetdiaglem  30665  mdetdiag  30666  mdetdiagid  30667  rng1  30755
  Copyright terms: Public domain W3C validator