MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Unicode version

Theorem mgpbas 15609
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpbas.2  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
mgpbas  |-  B  =  ( Base `  M
)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mgpbas.1 . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  R )
3 df-base 13429 . . 3  |-  Base  = Slot  1
4 1nn 9967 . . 3  |-  1  e.  NN
5 1ne2 10143 . . 3  |-  1  =/=  2
62, 3, 4, 5mgplem 15608 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
71, 6eqtri 2424 1  |-  B  =  ( Base `  M
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649   ` cfv 5413   1c1 8947   Basecbs 13424  mulGrpcmgp 15603
This theorem is referenced by:  mgptopn  15612  mgpress  15614  dfur2  15622  rngcl  15632  crngcom  15633  iscrng2  15634  rngass  15635  rngideu  15636  rngidcl  15639  rngidmlem  15641  isrngid  15644  rngidss  15645  rngpropd  15650  crngpropd  15651  isrngd  15653  iscrngd  15654  prdsmgp  15671  oppr1  15694  unitgrpbas  15726  unitsubm  15730  rngidpropd  15755  dfrhm2  15776  rhmmul  15783  isrhm2d  15784  pwsco1rhm  15788  pwsco2rhm  15789  isdrng2  15800  drngmcl  15803  drngid2  15806  isdrngd  15815  subrgsubm  15836  issubrg3  15851  cntzsubr  15855  pwsdiagrhm  15856  rhmpropd  15858  rlmscaf  16234  sraassa  16339  psrcrng  16431  mplcoe3  16484  mplcoe2  16485  mplbas2  16486  ply1tmcl  16619  coe1tm  16620  coe1pwmul  16626  ply1scltm  16628  ply1coe  16639  xrsmcmn  16679  cnfldexp  16689  cnmsubglem  16716  expmhm  16731  expghm  16732  nrgtrg  18678  evlslem6  19887  evlslem3  19888  evlslem1  19889  evl1expd  19911  mpfind  19918  deg1pwle  19995  deg1pw  19996  ply1remlem  20038  fta1blem  20044  plypf1  20084  amgm  20782  wilthlem2  20805  wilthlem3  20806  dchrelbas2  20974  dchrelbas3  20975  dchrzrhmul  20983  dchrmulcl  20986  dchrn0  20987  dchrinvcl  20990  dchrfi  20992  dchrsum2  21005  sum2dchr  21011  lgsqrlem1  21078  lgsqrlem2  21079  lgsqrlem3  21080  lgsqrlem4  21081  lgseisenlem3  21088  lgseisenlem4  21089  dchrisum0flblem1  21155  iistmd  24253  xrge0iifmhm  24278  xrge0pluscn  24279  hbtlem4  27198  cnmsgnbas  27303  rngvcl  27321  mamuvs2  27332  subrgacs  27376  cntzsdrg  27378  idomrootle  27379  isdomn3  27391  mon1psubm  27393  deg1mhm  27394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mgp 15604
  Copyright terms: Public domain W3C validator