MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmnsgrpex Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mgmnsgrpex 16743
Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmnsgrpex  |-  E. m  e. Mgm  m  e/ SGrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex
Dummy variables  x  y  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prhash2ex 12614 . 2  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
2 c0ex 9655 . . . . 5  |-  0  e.  _V
3 1ex 9656 . . . . 5  |-  1  e.  _V
42, 3pm3.2i 462 . . . 4  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
5 eqid 2471 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  { 0 ,  1 }
6 prex 4642 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
7 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  0  <->  u  =  0 ) )
87anbi1d 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  =  0  /\  y  =  0 )  <->  ( u  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
98ifbid 3894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 )  =  if ( ( u  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )
10 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  0  <->  v  =  0 ) )
1110anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  =  0  /\  y  =  0 )  <->  ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ) )
1211ifbid 3894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  if ( ( u  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 )  =  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )
139, 12cbvmpt2v 6390 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { 0 ,  1 } ,  y  e.  { 0 ,  1 }  |->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )  =  ( u  e.  {
0 ,  1 } ,  v  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )
1413opeq2i 4162 . . . . . . . . 9  |-  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >.  =  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( u  e. 
{ 0 ,  1 } ,  v  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >.
1514preq2i 4046 . . . . . . . 8  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( u  e.  { 0 ,  1 } ,  v  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }
1615grpbase 15315 . . . . . . 7  |-  ( { 0 ,  1 }  e.  _V  ->  { 0 ,  1 }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. } ) )
176, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. } )
1817eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  { 0 ,  1 } ,  y  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. } )  =  { 0 ,  1 }
196, 6mpt2ex 6889 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { 0 ,  1 } ,  v  e.  { 0 ,  1 }  |->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )  e. 
_V
2015grpplusg 15316 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  { 0 ,  1 } , 
v  e.  { 0 ,  1 }  |->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )  e.  _V  ->  (
u  e.  { 0 ,  1 } , 
v  e.  { 0 ,  1 }  |->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  { 0 ,  1 } ,  y  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. } ) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( u  e.  { 0 ,  1 } ,  v  e.  { 0 ,  1 }  |->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  { 0 ,  1 } ,  y  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. } )
2221eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  { 0 ,  1 } ,  y  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. } )  =  ( u  e. 
{ 0 ,  1 } ,  v  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( u  =  0  /\  v  =  0 ) ,  1 ,  0 ) )
235, 18, 22mgm2nsgrplem1 16730 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  { 0 ,  1 } ,  y  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }  e. Mgm )
244, 23mp1i 13 . . 3  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }  e. Mgm )
25 neleq1 2748 . . . 4  |-  ( m  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }  ->  (
m  e/ SGrp  <->  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  { 0 ,  1 } ,  y  e. 
{ 0 ,  1 }  |->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }  e/ SGrp ) )
2625adantl 473 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2  /\  m  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. } )  -> 
( m  e/ SGrp  <->  { <. ( Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }  e/ SGrp )
)
275, 18, 22mgm2nsgrplem4 16733 . . 3  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  { 0 ,  1 } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  {
0 ,  1 } ,  y  e.  {
0 ,  1 } 
|->  if ( ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ,  1 ,  0 ) ) >. }  e/ SGrp )
2824, 26, 27rspcedvd 3143 . 2  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2  ->  E. m  e. Mgm  m  e/ SGrp )
291, 28ax-mp 5 1  |-  E. m  e. Mgm  m  e/ SGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    e/ wnel 2642   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   ifcif 3872   {cpr 3961   <.cop 3965   ` cfv 5589    |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   1c1 9558   2c2 10681   #chash 12553   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Mgmcmgm 16564  SGrpcsgrp 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mgm 16566  df-sgrp 16605
This theorem is referenced by:  sgrpssmgm  16745
  Copyright terms: Public domain W3C validator