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Theorem mgmhmpropd 39838
Description: Magma homomorphism depends only on the operation of structures. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgmhmpropd.a  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  J ) )
mgmhmpropd.b  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  K ) )
mgmhmpropd.c  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mgmhmpropd.d  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  M ) )
mgmhmpropd.0  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
mgmhmpropd.C  |-  ( ph  ->  C  =/=  (/) )
mgmhmpropd.e  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
mgmhmpropd.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mgmhmpropd  |-  ( ph  ->  ( J MgmHom  K )  =  ( L MgmHom  M
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, J, y    x, L, y    ph, x, y    x, K, y    x, M, y

Proof of Theorem mgmhmpropd
Dummy variables  w  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmpropd.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
21fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) ) )
32adantlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) ) )
4 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : B --> C  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  e.  C )
5 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : B --> C  /\  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  e.  C )
64, 5anim12dan 848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : B --> C  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  x
)  e.  C  /\  ( f `  y
)  e.  C ) )
7 mgmhmpropd.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
87ralrimivva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
9 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( +g  `  K
) y )  =  ( w ( +g  `  K ) y ) )
10 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( w ( +g  `  M ) y ) )
119, 10eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )  <->  ( w
( +g  `  K ) y )  =  ( w ( +g  `  M
) y ) ) )
12 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
w ( +g  `  K
) y )  =  ( w ( +g  `  K ) z ) )
13 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
w ( +g  `  M
) y )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
1412, 13eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
( w ( +g  `  K ) y )  =  ( w ( +g  `  M ) y )  <->  ( w
( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M
) z ) ) )
1511, 14cbvral2v 3027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  C  A. y  e.  C  (
x ( +g  `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )  <->  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
168, 15sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
17 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) z ) )
18 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w ( +g  `  M
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) z ) )
1917, 18eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z )  <->  ( (
f `  x )
( +g  `  K ) z )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) z ) ) )
20 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) ) )
21 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  M
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
2220, 21eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( ( f `  x ) ( +g  `  K ) z )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) z )  <->  ( (
f `  x )
( +g  `  K ) ( f `  y
) )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
2319, 22rspc2va 3160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f `  x )  e.  C  /\  ( f `  y
)  e.  C )  /\  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M
) z ) )  ->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) )
246, 16, 23syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f : B --> C  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
) )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
2524anassrs 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
263, 25eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
27262ralbidva 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f : B
--> C )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
2827adantrl 722 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
29 mgmhmpropd.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  J ) )
30 raleq 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  ( Base `  J
)  ->  ( A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `  ( x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) ) ) )
3130raleqbi1dv 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  ( Base `  J
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `
 ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) ) ) )
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )
3332adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )
34 mgmhmpropd.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
35 raleq 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `  ( x ( +g  `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) ( f `  y
) ) ) )
3635raleqbi1dv 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `
 ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) ) )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
3837adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
3928, 33, 383bitr3d 287 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
4039anassrs 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm ) )  /\  f : B --> C )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
4140pm5.32da 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )
)  ->  ( (
f : B --> C  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : B --> C  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) ) )
42 mgmhmpropd.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  K ) )
4329, 42feq23d 5723 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K ) ) )
4443adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )
)  ->  ( f : B --> C  <->  f :
( Base `  J ) --> ( Base `  K )
) )
4544anbi1d 711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )
)  ->  ( (
f : B --> C  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  (
Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `  ( x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) ) ) ) )
46 mgmhmpropd.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  M ) )
4734, 46feq23d 5723 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M ) ) )
4847adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )
)  ->  ( f : B --> C  <->  f :
( Base `  L ) --> ( Base `  M )
) )
4948anbi1d 711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )
)  ->  ( (
f : B --> C  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  (
Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `  ( x ( +g  `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) ( f `  y
) ) ) ) )
5041, 45, 493bitr3d 287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )
)  ->  ( (
f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  (
Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `  ( x ( +g  `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) ( f `  y
) ) ) ) )
5150pm5.32da 647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) ) ) )
52 mgmhmpropd.0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
5329, 34, 52, 1mgmpropd 39828 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  e. Mgm  <->  L  e. Mgm ) )
54 mgmhmpropd.C . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =/=  (/) )
5542, 46, 54, 7mgmpropd 39828 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e. Mgm  <->  M  e. Mgm ) )
5653, 55anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  <->  ( L  e. Mgm  /\  M  e. Mgm ) ) )
5756anbi1d 711 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( L  e. Mgm  /\  M  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) ) ) )
5851, 57bitrd 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( L  e. Mgm  /\  M  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) ) ) )
59 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  J )  =  (
Base `  J )
60 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
61 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  J )  =  ( +g  `  J )
62 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
6359, 60, 61, 62ismgmhm 39836 . . 3  |-  ( f  e.  ( J MgmHom  K
)  <->  ( ( J  e. Mgm  /\  K  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) ) )
64 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
65 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
66 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
67 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
6864, 65, 66, 67ismgmhm 39836 . . 3  |-  ( f  e.  ( L MgmHom  M
)  <->  ( ( L  e. Mgm  /\  M  e. Mgm )  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) ) )
6958, 63, 683bitr4g 292 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( J MgmHom  K )  <->  f  e.  ( L MgmHom  M ) ) )
7069eqrdv 2449 1  |-  ( ph  ->  ( J MgmHom  K )  =  ( L MgmHom  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   (/)c0 3731   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  Mgmcmgm 16486   MgmHom cmgmhm 39830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-mgm 16488  df-mgmhm 39832
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