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Theorem mgmhmco 39788
Description: The composition of magma homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmhmco  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S MgmHom  U ) )

Proof of Theorem mgmhmco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmrcl 39768 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T MgmHom  U
)  ->  ( T  e. Mgm  /\  U  e. Mgm )
)
21simprd 465 . . 3  |-  ( F  e.  ( T MgmHom  U
)  ->  U  e. Mgm )
3 mgmhmrcl 39768 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S MgmHom  T
)  ->  ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )
)
43simpld 461 . . 3  |-  ( G  e.  ( S MgmHom  T
)  ->  S  e. Mgm )
52, 4anim12ci 570 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  ->  ( S  e. Mgm  /\  U  e. Mgm )
)
6 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
7 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
86, 7mgmhmf 39771 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T MgmHom  U
)  ->  F :
( Base `  T ) --> ( Base `  U )
)
9 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
109, 6mgmhmf 39771 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S MgmHom  T
)  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
11 fco 5737 . . . 4  |-  ( ( F : ( Base `  T ) --> ( Base `  U )  /\  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )  ->  ( F  o.  G ) : ( Base `  S
) --> ( Base `  U
) )
128, 10, 11syl2an 480 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  ->  ( F  o.  G ) : (
Base `  S ) --> ( Base `  U )
)
13 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
14 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
159, 13, 14mgmhmlin 39773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  ( S MgmHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
16153expb 1208 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( S MgmHom  T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( G `
 x ) ( +g  `  T ) ( G `  y
) ) )
1716adantll 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( G `
 x ) ( +g  `  T ) ( G `  y
) ) )
1817fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) )  =  ( F `  ( ( G `  x ) ( +g  `  T ) ( G `
 y ) ) ) )
19 simpll 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T MgmHom  U ) )
2010ad2antlr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
21 simprl 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
2220, 21ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( Base `  T ) )
23 simprr 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  S ) )
2420, 23ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( Base `  T ) )
25 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
266, 14, 25mgmhmlin 39773 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( F `  ( ( G `  x ) ( +g  `  T ) ( G `
 y ) ) )  =  ( ( F `  ( G `
 x ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( G `  y ) ) ) )
2719, 22, 24, 26syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  (
( G `  x
) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
2818, 27eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
294adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  ->  S  e. Mgm )
309, 13mgmcl 16484 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Mgm  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
31303expb 1208 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Mgm  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( x ( +g  `  S ) y )  e.  ( Base `  S
) )
3229, 31sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( x ( +g  `  S ) y )  e.  ( Base `  S
) )
33 fvco3 5940 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  ( x
( +g  `  S ) y ) )  =  ( F `  ( G `  ( x
( +g  `  S ) y ) ) ) )
3420, 32, 33syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( F `  ( G `  ( x ( +g  `  S
) y ) ) ) )
35 fvco3 5940 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
3620, 21, 35syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
37 fvco3 5940 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  y )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
3820, 23, 37syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  y
)  =  ( F `
 ( G `  y ) ) )
3936, 38oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  G ) `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) ) ( +g  `  U ) ( F `  ( G `  y )
) ) )
4028, 34, 393eqtr4d 2494 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G ) `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
4140ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
4212, 41jca 535 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : ( Base `  S
) --> ( Base `  U
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) ) )
439, 7, 13, 25ismgmhm 39770 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  e.  ( S MgmHom  U
)  <->  ( ( S  e. Mgm  /\  U  e. Mgm )  /\  ( ( F  o.  G ) : ( Base `  S
) --> ( Base `  U
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( F  o.  G ) `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( ( F  o.  G
) `  x )
( +g  `  U ) ( ( F  o.  G ) `  y
) ) ) ) )
445, 42, 43sylanbrc 669 1  |-  ( ( F  e.  ( T MgmHom  U )  /\  G  e.  ( S MgmHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S MgmHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736    o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  Mgmcmgm 16479   MgmHom cmgmhm 39764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-map 7471  df-mgm 16481  df-mgmhm 39766
This theorem is referenced by:  rnghmco  39894
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