MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgm1 Structured version   Unicode version

Theorem mgm1 16083
Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mgm1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
mgm1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Mgm )

Proof of Theorem mgm1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6273 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
2 opex 4701 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
3 fvsng 6081 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
42, 3mpan 668 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
51, 4syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
6 snidg 4042 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
75, 6eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I } )
8 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) )
98eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I }  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  {
I } ) )
109ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( x  =  I  ->  ( A. y  e.  { I }  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } 
<-> 
A. y  e.  {
I }  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } ) )
1110ralsng 4051 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I }  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } 
<-> 
A. y  e.  {
I }  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } ) )
12 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1312eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( y  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I }  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I } ) )
1413ralsng 4051 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I }  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } 
<->  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  { I }
) )
1511, 14bitrd 253 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I }  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } 
<->  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  { I }
) )
167, 15mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  { I } A. y  e.  { I }  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } )
17 snex 4678 . . . . 5  |-  { I }  e.  _V
18 mgm1.m . . . . . 6  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
1918grpbase 14828 . . . . 5  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
2017, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  { I }  =  ( Base `  M )
21 snex 4678 . . . . 5  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
2218grpplusg 14829 . . . . 5  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
2321, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
2420, 23ismgmn0 16073 . . 3  |-  ( I  e.  { I }  ->  ( M  e. Mgm  <->  A. x  e.  { I } A. y  e.  { I }  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  { I } ) )
256, 24syl 16 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( M  e. Mgm  <->  A. x  e.  {
I } A. y  e.  { I }  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  e.  {
I } ) )
2616, 25mpbird 232 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Mgm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ndxcnx 14713   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Mgmcmgm 16069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mgm 16071
This theorem is referenced by:  sgrp1  16117
  Copyright terms: Public domain W3C validator