MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metxmet Structured version   Unicode version

Theorem metxmet 19750
Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metxmet  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )

Proof of Theorem metxmet
StepHypRef Expression
1 ismet2 19749 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
21simplbi 457 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755    X. cxp 4825   -->wf 5402   ` cfv 5406   RRcr 9268   *Metcxmt 17644   Metcme 17645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-mulcl 9331  ax-i2m1 9337
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-xadd 11077  df-xmet 17653  df-met 17654
This theorem is referenced by:  metdmdm  19752  meteq0  19755  mettri2  19757  met0  19759  metge0  19761  metsym  19766  metrtri  19773  metgt0  19775  metres2  19779  prdsmet  19786  imasf1omet  19792  blpnf  19813  bl2in  19816  isms2  19866  setsms  19896  tmsms  19903  metss2lem  19927  metss2  19928  methaus  19936  dscopn  20007  cnxmet  20193  rexmet  20209  metdcn2  20257  metdsre  20270  metdscn2  20274  lebnumlem1  20374  lebnumlem2  20375  lebnumlem3  20376  lebnum  20377  xlebnum  20378  cmetcaulem  20640  cmetcau  20641  iscmet3lem1  20643  iscmet3lem2  20644  iscmet3  20645  equivcfil  20651  equivcau  20652  cmetss  20666  relcmpcmet  20668  cmpcmet  20669  cncmet  20674  bcthlem2  20677  bcthlem3  20678  bcthlem4  20679  bcthlem5  20680  bcth2  20682  bcth3  20683  cmetcusp1OLD  20704  cmetcusp1  20705  cmetcuspOLD  20706  cmetcusp  20707  minveclem3  20757  imsxmet  23905  blocni  24027  ubthlem1  24093  ubthlem2  24094  minvecolem4a  24100  hhxmet  24399  hilxmet  24419  fmcncfil  26214  blssp  28493  lmclim2  28495  geomcau  28496  caures  28497  caushft  28498  sstotbnd2  28514  equivtotbnd  28518  isbndx  28522  isbnd3  28524  ssbnd  28528  totbndbnd  28529  prdstotbnd  28534  prdsbnd2  28535  heibor1lem  28549  heibor1  28550  heiborlem3  28553  heiborlem6  28556  heiborlem8  28558  heiborlem9  28559  heiborlem10  28560  heibor  28561  bfplem1  28562  bfplem2  28563  rrncmslem  28572  ismrer1  28578  reheibor  28579
  Copyright terms: Public domain W3C validator