MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metxmet Structured version   Unicode version

Theorem metxmet 21129
Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metxmet  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )

Proof of Theorem metxmet
StepHypRef Expression
1 ismet2 21128 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
21simplbi 458 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842    X. cxp 4821   -->wf 5565   ` cfv 5569   RRcr 9521   *Metcxmt 18723   Metcme 18724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-mulcl 9584  ax-i2m1 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-xadd 11372  df-xmet 18732  df-met 18733
This theorem is referenced by:  metdmdm  21131  meteq0  21134  mettri2  21136  met0  21138  metge0  21140  metsym  21145  metrtri  21152  metgt0  21154  metres2  21158  prdsmet  21165  imasf1omet  21171  blpnf  21192  bl2in  21195  isms2  21245  setsms  21275  tmsms  21282  metss2lem  21306  metss2  21307  methaus  21315  dscopn  21386  cnxmet  21572  rexmet  21588  metdcn2  21636  metdsre  21649  metdscn2  21653  lebnumlem1  21753  lebnumlem2  21754  lebnumlem3  21755  lebnum  21756  xlebnum  21757  cmetcaulem  22019  cmetcau  22020  iscmet3lem1  22022  iscmet3lem2  22023  iscmet3  22024  equivcfil  22030  equivcau  22031  cmetss  22045  relcmpcmet  22047  cmpcmet  22048  cncmet  22053  bcthlem2  22056  bcthlem3  22057  bcthlem4  22058  bcthlem5  22059  bcth2  22061  bcth3  22062  cmetcusp1OLD  22083  cmetcusp1  22084  cmetcuspOLD  22085  cmetcusp  22086  minveclem3  22136  imsxmet  26012  blocni  26134  ubthlem1  26200  ubthlem2  26201  minvecolem4a  26207  hhxmet  26506  hilxmet  26526  fmcncfil  28366  blssp  31531  lmclim2  31533  geomcau  31534  caures  31535  caushft  31536  sstotbnd2  31552  equivtotbnd  31556  isbndx  31560  isbnd3  31562  ssbnd  31566  totbndbnd  31567  prdstotbnd  31572  prdsbnd2  31573  heibor1lem  31587  heibor1  31588  heiborlem3  31591  heiborlem6  31594  heiborlem8  31596  heiborlem9  31597  heiborlem10  31598  heibor  31599  bfplem1  31600  bfplem2  31601  rrncmslem  31610  ismrer1  31616  reheibor  31617
  Copyright terms: Public domain W3C validator