MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metxmet Structured version   Unicode version

Theorem metxmet 20567
Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metxmet  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )

Proof of Theorem metxmet
StepHypRef Expression
1 ismet2 20566 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
21simplbi 460 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762    X. cxp 4992   -->wf 5577   ` cfv 5581   RRcr 9482   *Metcxmt 18169   Metcme 18170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-mulcl 9545  ax-i2m1 9551
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-xadd 11310  df-xmet 18178  df-met 18179
This theorem is referenced by:  metdmdm  20569  meteq0  20572  mettri2  20574  met0  20576  metge0  20578  metsym  20583  metrtri  20590  metgt0  20592  metres2  20596  prdsmet  20603  imasf1omet  20609  blpnf  20630  bl2in  20633  isms2  20683  setsms  20713  tmsms  20720  metss2lem  20744  metss2  20745  methaus  20753  dscopn  20824  cnxmet  21010  rexmet  21026  metdcn2  21074  metdsre  21087  metdscn2  21091  lebnumlem1  21191  lebnumlem2  21192  lebnumlem3  21193  lebnum  21194  xlebnum  21195  cmetcaulem  21457  cmetcau  21458  iscmet3lem1  21460  iscmet3lem2  21461  iscmet3  21462  equivcfil  21468  equivcau  21469  cmetss  21483  relcmpcmet  21485  cmpcmet  21486  cncmet  21491  bcthlem2  21494  bcthlem3  21495  bcthlem4  21496  bcthlem5  21497  bcth2  21499  bcth3  21500  cmetcusp1OLD  21521  cmetcusp1  21522  cmetcuspOLD  21523  cmetcusp  21524  minveclem3  21574  imsxmet  25262  blocni  25384  ubthlem1  25450  ubthlem2  25451  minvecolem4a  25457  hhxmet  25756  hilxmet  25776  fmcncfil  27537  blssp  29841  lmclim2  29843  geomcau  29844  caures  29845  caushft  29846  sstotbnd2  29862  equivtotbnd  29866  isbndx  29870  isbnd3  29872  ssbnd  29876  totbndbnd  29877  prdstotbnd  29882  prdsbnd2  29883  heibor1lem  29897  heibor1  29898  heiborlem3  29901  heiborlem6  29904  heiborlem8  29906  heiborlem9  29907  heiborlem10  29908  heibor  29909  bfplem1  29910  bfplem2  29911  rrncmslem  29920  ismrer1  29926  reheibor  29927
  Copyright terms: Public domain W3C validator