Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuval Structured version   Unicode version

Theorem metuval 20785
 Description: Value of the uniform structure generated by metric . (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metuval PsMet metUnif
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem metuval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-metu 18187 . . 3 metUnif PsMet
21a1i 11 . 2 PsMet metUnif PsMet
3 simpr 461 . . . . . . 7 PsMet
43dmeqd 5203 . . . . . 6 PsMet
54dmeqd 5203 . . . . 5 PsMet
6 psmetdmdm 20541 . . . . . 6 PsMet
76adantr 465 . . . . 5 PsMet
85, 7eqtr4d 2511 . . . 4 PsMet
98, 8xpeq12d 5024 . . 3 PsMet
10 simplr 754 . . . . . . 7 PsMet
1110cnveqd 5176 . . . . . 6 PsMet
1211imaeq1d 5334 . . . . 5 PsMet
1312mpteq2dva 4533 . . . 4 PsMet
1413rneqd 5228 . . 3 PsMet
159, 14oveq12d 6300 . 2 PsMet
16 elfvdm 5890 . . . 4 PsMet PsMet
17 fveq2 5864 . . . . . 6 PsMet PsMet
1817eleq2d 2537 . . . . 5 PsMet PsMet
1918rspcev 3214 . . . 4 PsMet PsMet PsMet PsMet
2016, 19mpancom 669 . . 3 PsMet PsMet PsMet
21 df-psmet 18179 . . . . 5 PsMet
2221funmpt2 5623 . . . 4 PsMet
23 elunirn 6149 . . . 4 PsMet PsMet PsMet PsMet
2422, 23ax-mp 5 . . 3 PsMet PsMet PsMet
2520, 24sylibr 212 . 2 PsMet PsMet
26 ovex 6307 . . 3
2726a1i 11 . 2 PsMet
282, 15, 25, 27fvmptd 5953 1 PsMet metUnif
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113  cuni 4245   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cxp 4997  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000  cima 5002   wfun 5580  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmap 7417  cc0 9488  cxr 9623   cle 9625  crp 11216  cxad 11312  cico 11527  PsMetcpsmet 18170  cfg 18175  metUnifcmetu 18178 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-xr 9628  df-psmet 18179  df-metu 18187 This theorem is referenced by:  metuust  20807  cfilucfil2  20809  metuel  20813  psmetutop  20818  restmetu  20822  metucn  20824
 Copyright terms: Public domain W3C validator