Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metusttoOLD Structured version   Unicode version

Theorem metusttoOLD 21186
 Description: Any two elements of the filter base generated by the metric can be compared, like for RR+ (i.e. it's totally ordered). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metusttoOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metusttoOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 755 . . . . 5
21rpred 11281 . . . 4
3 simpll 753 . . . . 5
43rpred 11281 . . . 4
5 simplll 759 . . . . . . . 8
65rpred 11281 . . . . . . 7
7 0xr 9657 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
9 simpl 457 . . . . . . . . . 10
109rexrd 9660 . . . . . . . . 9
11 0le0 10646 . . . . . . . . . 10
1211a1i 11 . . . . . . . . 9
13 simpr 461 . . . . . . . . 9
14 icossico 11619 . . . . . . . . 9
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 1229 . . . . . . . 8
16 imass2 5382 . . . . . . . 8
1715, 16syl 16 . . . . . . 7
186, 17sylancom 667 . . . . . 6
19 simplrr 762 . . . . . 6
20 simplrl 761 . . . . . 6
2118, 19, 203sstr4d 3542 . . . . 5
2221olcd 393 . . . 4
23 simpllr 760 . . . . . . . 8
2423rpred 11281 . . . . . . 7
257a1i 11 . . . . . . . . 9
26 simpl 457 . . . . . . . . . 10
2726rexrd 9660 . . . . . . . . 9
2811a1i 11 . . . . . . . . 9
29 simpr 461 . . . . . . . . 9
30 icossico 11619 . . . . . . . . 9
3125, 27, 28, 29, 30syl22anc 1229 . . . . . . . 8
32 imass2 5382 . . . . . . . 8
3331, 32syl 16 . . . . . . 7
3424, 33sylancom 667 . . . . . 6
35 simplrl 761 . . . . . 6
36 simplrr 762 . . . . . 6
3734, 35, 363sstr4d 3542 . . . . 5
3837orcd 392 . . . 4
392, 4, 22, 38lecasei 9707 . . 3
4039adantlll 717 . 2
41 metust.1 . . . . . 6
4241metustelOLD 21180 . . . . 5
4342biimpa 484 . . . 4
44433adant3 1016 . . 3
45 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
4645imaeq2d 5347 . . . . . . . . 9
4746cbvmptv 4548 . . . . . . . 8
4847rneqi 5239 . . . . . . 7
4941, 48eqtri 2486 . . . . . 6
5049metustelOLD 21180 . . . . 5
5150biimpa 484 . . . 4
52513adant2 1015 . . 3
53 reeanv 3025 . . 3
5444, 52, 53sylanbrc 664 . 2
5540, 54r19.29_2a 3001 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wrex 2808   wss 3471   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007   crn 5009  cima 5011  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cc0 9509  cxr 9644   cle 9646  crp 11245  cico 11556  cxmt 18530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-rp 11246  df-ico 11560 This theorem is referenced by:  metustfbasOLD  21194
 Copyright terms: Public domain W3C validator