Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustto Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem metustto 21568
 Description: Any two elements of the filter base generated by the metric can be compared, like for RR+ (i.e. it's totally ordered). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metustto PsMet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustto
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 760 . . . . 5
21rpred 11341 . . . 4
3 simplr 762 . . . . 5
43rpred 11341 . . . 4
5 simpllr 769 . . . . . . . 8
65rpred 11341 . . . . . . 7
7 0xr 9687 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
9 simpl 459 . . . . . . . . . 10
109rexrd 9690 . . . . . . . . 9
11 0le0 10699 . . . . . . . . . 10
1211a1i 11 . . . . . . . . 9
13 simpr 463 . . . . . . . . 9
14 icossico 11704 . . . . . . . . 9
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 1269 . . . . . . . 8
16 imass2 5204 . . . . . . . 8
1715, 16syl 17 . . . . . . 7
186, 17sylancom 673 . . . . . 6
19 simplrl 770 . . . . . 6
20 simplrr 771 . . . . . 6
2118, 19, 203sstr4d 3475 . . . . 5
2221orcd 394 . . . 4
23 simplll 768 . . . . . . . 8
2423rpred 11341 . . . . . . 7
257a1i 11 . . . . . . . . 9
26 simpl 459 . . . . . . . . . 10
2726rexrd 9690 . . . . . . . . 9
2811a1i 11 . . . . . . . . 9
29 simpr 463 . . . . . . . . 9
30 icossico 11704 . . . . . . . . 9
3125, 27, 28, 29, 30syl22anc 1269 . . . . . . . 8
32 imass2 5204 . . . . . . . 8
3331, 32syl 17 . . . . . . 7
3424, 33sylancom 673 . . . . . 6
35 simplrr 771 . . . . . 6
36 simplrl 770 . . . . . 6
3734, 35, 363sstr4d 3475 . . . . 5
3837olcd 395 . . . 4
392, 4, 22, 38lecasei 9740 . . 3
41 metust.1 . . . . . 6
4241metustel 21565 . . . . 5 PsMet
4342biimpa 487 . . . 4 PsMet
44433adant3 1028 . . 3 PsMet
45 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10
4645imaeq2d 5168 . . . . . . . . 9
4746cbvmptv 4495 . . . . . . . 8
4847rneqi 5061 . . . . . . 7
4941, 48eqtri 2473 . . . . . 6
5049metustel 21565 . . . . 5 PsMet
5150biimpa 487 . . . 4 PsMet
52513adant2 1027 . . 3 PsMet
53 reeanv 2958 . . 3
5444, 52, 53sylanbrc 670 . 2 PsMet
5540, 54r19.29vva 2934 1 PsMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 370   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wrex 2738   wss 3404   class class class wbr 4402   cmpt 4461  ccnv 4833   crn 4835  cima 4837  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539  cxr 9674   cle 9676  crp 11302  cico 11637  PsMetcpsmet 18954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-rp 11303  df-ico 11641 This theorem is referenced by:  metustfbas  21572
 Copyright terms: Public domain W3C validator