Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsymOLD Structured version   Unicode version

Theorem metustsymOLD 21356
 Description: Elements of the filter base generated by the metric are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metustsymOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustsymOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4
21metustssOLD 21348 . . 3
3 cnvss 4996 . . . 4
4 cnvxp 5242 . . . 4
53, 4syl6sseq 3488 . . 3
62, 5syl 17 . 2
7 simp-4l 768 . . . . . . . . . 10
8 simpr1r 1055 . . . . . . . . . . 11
983anassrs 1220 . . . . . . . . . 10
10 simpr1l 1054 . . . . . . . . . . 11
11103anassrs 1220 . . . . . . . . . 10
12 xmetsym 21142 . . . . . . . . . 10
137, 9, 11, 12syl3anc 1230 . . . . . . . . 9
14 df-ov 6281 . . . . . . . . 9
15 df-ov 6281 . . . . . . . . 9
1613, 14, 153eqtr3g 2466 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2471 . . . . . . 7
18 xmetf 21124 . . . . . . . . 9
19 ffun 5716 . . . . . . . . 9
207, 18, 193syl 18 . . . . . . . 8
21 simpllr 761 . . . . . . . . . . 11
2221ancomd 449 . . . . . . . . . 10
23 opelxpi 4855 . . . . . . . . . 10
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9
25 fdm 5718 . . . . . . . . . 10
267, 18, 253syl 18 . . . . . . . . 9
2724, 26eleqtrrd 2493 . . . . . . . 8
28 fvimacnv 5980 . . . . . . . 8
2920, 27, 28syl2anc 659 . . . . . . 7
30 opelxpi 4855 . . . . . . . . . 10
3121, 30syl 17 . . . . . . . . 9
3231, 26eleqtrrd 2493 . . . . . . . 8
33 fvimacnv 5980 . . . . . . . 8
3420, 32, 33syl2anc 659 . . . . . . 7
3517, 29, 343bitr3d 283 . . . . . 6
36 simpr 459 . . . . . . 7
3736eleq2d 2472 . . . . . 6
3836eleq2d 2472 . . . . . 6
3935, 37, 383bitr4d 285 . . . . 5
40 eqid 2402 . . . . . . . . 9
4140elrnmpt 5070 . . . . . . . 8
4241ibi 241 . . . . . . 7
4342, 1eleq2s 2510 . . . . . 6
4443ad2antlr 725 . . . . 5
4539, 44r19.29a 2949 . . . 4
46 df-br 4396 . . . . 5
47 vex 3062 . . . . . 6
48 vex 3062 . . . . . 6
4947, 48opelcnv 5005 . . . . 5
5046, 49bitri 249 . . . 4
51 df-br 4396 . . . 4
5245, 50, 513bitr4g 288 . . 3
53523impb 1193 . 2
546, 2, 53eqbrrdva 4993 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2755   wss 3414  cop 3978   class class class wbr 4395   cmpt 4453   cxp 4821  ccnv 4822   cdm 4823   crn 4824  cima 4826   wfun 5563  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cc0 9522  cxr 9657  crp 11265  cico 11584  cxmt 18723 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-xadd 11372  df-xmet 18732 This theorem is referenced by:  metustOLD  21362
 Copyright terms: Public domain W3C validator